第06講計數(shù)原理目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 4知能解碼 4知識點1分類加法計數(shù)原理(也稱加法原理) 4知識點2分步乘法計數(shù)原理 4知識點3分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用 5題型破譯 6題型1分類加法計數(shù)原理 6題型2分步乘法計數(shù)原理 8題型3兩個原理的對比應(yīng)用 11題型4涂色問題 1304真題溯源·考向感知 1605課本典例·高考素材 18考點要求考察形式2025年2024年2023年（1）分類加法計數(shù)原理(也稱加法原理)（2）分步乘法計數(shù)原理（3）分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用單選題多選題填空題解答題考情分析：后面在本節(jié)的考查形式主要以選擇或者填空為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中等偏下，與教材相當(dāng)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．

知識點1分類加法計數(shù)原理(也稱加法原理)1．分類加法計數(shù)原理：2．加法原理的特點是：①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和。自主檢測盒子甲中有5個紅球和3個藍球；盒子乙中有6個紅球和2個藍球．若從甲、乙兩個盒子中各隨機取出2個球，則取出的4個球中恰有1個藍球的不同取法共有（

）A．150種 B．180種 C．300種 D．345種【答案】D【分析】就甲盒取出1紅1藍、乙盒取出兩紅和甲盒取出兩紅、乙盒取出1紅1藍兩種情況分類計算后可得不同的取法總數(shù).【詳解】4個球中恰有1個藍球，可分為兩種情況：故共有種不同的取法，故選：D.知識點2分步乘法計數(shù)原理1.分步乘法計數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．2．乘法原理的特點：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積。自主檢測某學(xué)校在讀書節(jié)活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學(xué)獲獎，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學(xué)相鄰，且乙班的2名同學(xué)不相鄰的站法種數(shù)共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種【答案】C【分析】甲班的2名同學(xué)相鄰，用“捆綁法”，乙班的2名同學(xué)不相鄰，用“插空法”，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.故選：C知識點3分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用1．分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個和分步有關(guān).完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．2.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型①分類或分步。②先分類，再在每一類里再分步。③先分步，再在每一步里再分類，等等。（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？自主檢測用四種顏色給下圖的6個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂法（

）A．72 B．96 C．120 D．144【答案】C【分析】根據(jù)分類相加計數(shù)原理，先分四種顏色都用和只有三種顏色兩種情況，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，將涂色過程分成若干步，每一步確定一個區(qū)域的顏色，再根據(jù)相鄰區(qū)域不同色的條件，確定每一步的涂色方案數(shù)，最后將各步方法數(shù)相乘得到總的涂色方案數(shù).【詳解】設(shè)四種顏色分別為1、2、3、4，（1）四種顏色都用：先涂區(qū)域，有4種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色1，再涂區(qū)域，有3種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色2，再涂區(qū)域，有2種填涂方案，不妨設(shè)涂顏色3，（2）四種顏色只用其中的三種顏色：故選：C題型1分類加法計數(shù)原理A．144 B．184 C．232 D．252【答案】C故選：C.A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得解.【詳解】分甲站在第二位和不站在第二位兩種情況討論，故選：B.方法技巧應(yīng)用分類計數(shù)原理，應(yīng)注意：①分類時，要按一個標(biāo)準(zhǔn)來分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類；②每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)；它的起點、終點就是完成這件事情的開始和結(jié)束；【變式訓(xùn)練11】我們稱各個數(shù)位上的數(shù)字之和為8的三位數(shù)為“幸運數(shù)”，例如107和224，則所有的“幸運數(shù)”共有（

）A．66個 B．55個 C．36個 D．28個【答案】C【分析】按照首位數(shù)字為1~8進行分類，相加得到答案.【詳解】當(dāng)首位數(shù)字為1時，后兩位相加為7，“幸運數(shù)”分別是116,161,125,152,134,143,107,170，共8個；當(dāng)首位數(shù)字為2時，后兩位相加為6，“幸運數(shù)”分別是206,260,215,251,224,242,233，共7個；當(dāng)首位數(shù)字為3時，后兩位相加為5，“幸運數(shù)”分別是305,350,314,341,323,332，共6個；當(dāng)首位數(shù)字為4時，后兩位相加為4，“幸運數(shù)”分別是404,440,413,431,422，共5個；當(dāng)首位數(shù)字為5時，后兩位相加為3，“幸運數(shù)”分別是503,530,512,521，共4個；當(dāng)首位數(shù)字為6時，后兩位相加為2，“幸運數(shù)”分別是602,620,611，共3個；當(dāng)首位數(shù)字為7時，后兩位相加為1，“幸運數(shù)”分別是701,710，共2個；當(dāng)首位數(shù)字為8時，后兩位相加為0，“幸運數(shù)”是800，共1個.故選：C.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分類加法的計數(shù)原理結(jié)合古典概率的計算公式即可得答案.故選：C.【變式訓(xùn)練13】（2025·天津·調(diào)研）某體育賽事組委會需從甲、乙、丙、丁位志愿者中選位安排到物資分發(fā)、路線指引、醫(yī)療協(xié)助三個不同服務(wù)點，每個服務(wù)點人．已知甲不能安排在物資分發(fā)服務(wù)點，且乙不能在路線指引服務(wù)點，則不同的安排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】分別討論甲不入選、乙不入選和甲乙同時入選的情況根據(jù)分類加法計數(shù)原理可求得結(jié)果.故選：D．題型2分步乘法計數(shù)原理例21（2025·天津·聯(lián)考）現(xiàn)將2本不同的數(shù)學(xué)書、3本不同的物理書、1本化學(xué)書放在一個單層的書架上，且同類的書各不相鄰，則不同的放法有（

）A．120種 B．144種 C．96種 D．160種【答案】A【分析】分化學(xué)書在2本數(shù)學(xué)書之間，或是1本物理書在2本數(shù)學(xué)書直接，再按照分步計數(shù)原理，插空法解決問題.故選：A例22（2526高三上·天津·開學(xué)考試）甲、乙、丙三人各自計劃暑假去重慶旅游，他們都從武隆天生三橋、長江索道、重慶動物園、白帝城這4個景區(qū)中任選一個，若甲不去重慶動物園，且甲、乙、丙三人去的景區(qū)互不相同，則這三人的不同選擇方法共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種【答案】B【分析】根據(jù)排列的定義，結(jié)合分步計數(shù)原理進行求解即可.【詳解】因為甲不去重慶動物園，所以甲有三種不同的去處，又因為甲、乙、丙三人去的景區(qū)互不相同，故選：B方法技巧解決這類問題的關(guān)鍵是搞清分類還是分步．用分步乘法計數(shù)原理解決問題時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個分步的可行標(biāo)準(zhǔn)；其次還要注意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事情才算圓滿完成，這時才能使用分步乘法計數(shù)原理．同時，要弄清每一步驟中完成本步驟的方法種數(shù)．【變式訓(xùn)練21】從4個漢字、10個數(shù)字、3種顏色中選元素組成3個標(biāo)識，每個標(biāo)識含1個漢字、1個數(shù)字、1種顏色，且同一組內(nèi)漢字、數(shù)字、顏色均不重復(fù).最多可設(shè)計不同標(biāo)識組的數(shù)量為（

）A．2400 B．3200 C．4320 D．5760【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)，以顏色為序?qū)?個漢字、10個數(shù)字填入，應(yīng)用分步乘法求出所有可能標(biāo)識個數(shù)，再由每3個標(biāo)識構(gòu)成一個標(biāo)識組求出不同標(biāo)識組最多個數(shù).【詳解】由題設(shè)，3種顏色（假設(shè)為紅黃藍）分別填入3條標(biāo)識的顏色欄，如下表，顏色漢字?jǐn)?shù)字紅**黃**藍**再將4個漢字、10個數(shù)字安排到上表的3條標(biāo)識中，且各條標(biāo)識間的漢字、數(shù)字不重復(fù)，故選：D【變式訓(xùn)練22】（2025·天津·調(diào)研）某市為了實施教育振興計劃，依托本市一些優(yōu)質(zhì)教育資源，每年都對本市所有在高校就讀的定向師范生實施教育教學(xué)技能培訓(xùn)，以提高定向師范生的畢業(yè)質(zhì)量.現(xiàn)有5名即將畢業(yè)的定向師范生擬分配到3所學(xué)校進行跟崗培訓(xùn)，每名師范生只能跟崗1所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1名師范生，則不同的跟崗分配方案共有（）A．90種 B．150種 C．300種 D．360種【答案】B【分析】分類討論人數(shù)的配比，結(jié)合捆綁法和部分平均分組法運算求解.故選：B【變式訓(xùn)練23·變載體】（2025·天津·調(diào)研）社火，又稱“演社火”，是指在傳統(tǒng)節(jié)日里扮演的各種雜戲，屬于民間的一種自演自娛活動，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表性項目．某地舉行的一次社火活動一共持續(xù)了三天，5名小朋友希望參加該活動，每天從中任選2名小朋友參加，則這5人中恰有1人連續(xù)參加三天的選法有（

）A．210種 B．300種 C．360種 D．480種【答案】B【分析】應(yīng)用分步分類計數(shù)原理，結(jié)合排列組合數(shù)求不同的選法數(shù).【詳解】從5個人中任選一個人連續(xù)參加三天的活動，有5種選擇，若剩下的4個人中有3人參加了此項活動，則這三個人每人參加其中一天的活動，有種方法，故選：B題型3兩個原理的對比應(yīng)用例31（2025·天津·調(diào)研）已知甲乙丙3名同學(xué)從學(xué)校的2個科技類社團，2個藝術(shù)類社團，1個體育類社團中選擇報名參加，每人只能報名參加一個社團，則有人報名參加體育類社團且僅有一人報名科技類社團的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用排列組合數(shù)及分類分步計數(shù)求有人報名參加體育類社團且僅有一人報名科技類社團的情況數(shù)，由分步計數(shù)求3人任意報名社團情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.余下2人報名其余3個社團，有人報名參加體育類社團，則報名情況分類如下:2人都報名體育類社團，有1種報名方法，故選：BA．180 B．240 C．300 D．360【答案】C【分析】利用特殊位置優(yōu)先處理及相同元素定位計算得到答案.故選：C.方法技巧在用兩個原理解決問題時，一定要分清完成這件事，是有，l類辦法還是需分成n個步驟．應(yīng)用分類加法計數(shù)原理必須要求各類中的每一種方法都保證完成這件事．應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理則是需各步均是完成這件事必須經(jīng)由的若干彼此獨立的步驟．【變式訓(xùn)練31】重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分步計數(shù)原理及分類計數(shù)原理即得.【詳解】由題可知中間格只有一種放法；十字格有四個位置，種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有種放法；四角格有四個位置，種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有種放法，或每種都放兩個位置，有種放法，故四角格共有種放法；故選：C.A． B． C． D．【答案】A【分析】分類討論個位上的數(shù)字是0和不是0的情況.，再分類討論這個四位數(shù)既滿足是偶數(shù)，又滿足個位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況，求出對應(yīng)的個數(shù)，結(jié)合古典概型概率的計算公式求解即可.故四位數(shù)是偶數(shù)的有156個.下面考慮這個四位數(shù)既滿足是偶數(shù)，又滿足個位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況：若個位?十位和百位上的數(shù)字是1個偶數(shù)和2個奇數(shù)，綜上，滿足這兩個條件的四位數(shù)有60個.故選：A【變式訓(xùn)練33】為推動旅游發(fā)展，某旅行社設(shè)計了5條不同的旅游路線，分別記為、、、、．某團隊要從中任選3條路線，在假期分三批組織隊員出游，且路線和路線不能同時被選中，不同的選擇及安排方法有（

）A．24種 B．36種 C．42種 D．72種【答案】C【分析】由分組分配原理求出總的情況減去同時選到、路線的情況即可.故選：C.題型4涂色問題例41（2025·天津·調(diào)研）現(xiàn)要用4種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色．已知這4個區(qū)縣的連接關(guān)系如下：區(qū)A與區(qū)B、區(qū)C相鄰；區(qū)B與區(qū)A、區(qū)D相鄰；區(qū)C與區(qū)A、區(qū)D相鄰；區(qū)D與區(qū)B、區(qū)C相鄰．則共有（

）種不同的著色方法．A．72 B．84 C．96 D．180【答案】B【分析】分為和顏色相同和和顏色不同討論，再結(jié)合組合公式計算即可.故選：B.例42給圖中五個區(qū)域染色，有4種不同的顏色可供選擇，要求有公共邊的區(qū)域染上不同的顏色，則不同的染色方法有（

）A．216種 B．192種 C．180種 D．168種【答案】D【分析】按照一定的順序?qū)ξ鍌€區(qū)域進行染色，依次考慮每個區(qū)域的染色選擇，根據(jù)相鄰區(qū)域顏色不同的要求來確定每種情況下的染色方法數(shù).故選：D.【變式訓(xùn)練41】高二某班為了準(zhǔn)備校園櫻花文化節(jié)活動的展示牌，計劃用5種不同顏色的筆書寫圖中A、B、C、D四個區(qū)域的文字，規(guī)定每個區(qū)域只用一種顏色的筆書寫文字，相鄰區(qū)域書寫的文字顏色不同，則不同的書寫方法數(shù)為（）A．120 B．160C．180 D．240【答案】C【分析】由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域書寫的文字顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，討論C，A同色和異色，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．【詳解】由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色的筆書寫文字，相鄰的區(qū)域書寫的文字顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C，A不同色，C有3種，D有2種涂法，有5×4×3×2=120種，C，A同色，D有3種涂法，有5×4×3=60種，∴共有180種不同的涂色方案.故選：C.【變式訓(xùn)練42】如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色給池州市4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，且青陽與東至不能使用同一種顏色，共有（

）種不同的著色方法.A．180 B．120 C．60 D．240【答案】B【分析】由分步乘法計數(shù)原理可求解.【詳解】給青陽著色有5種不同的方法，給貴池著色有4種不同的方法，給石臺著色有3種不同的方法，因為青陽與東至不能使用同一種顏色，故給東至著色有2種不同的方法，故選：B.【變式訓(xùn)練43·變載體】（2024·天津·模擬預(yù)測）用四種不同的顏色給圖中5個區(qū)域染色，要求邊界有重合部分的區(qū)域（僅頂點與邊重合或僅頂點與頂點重合不算)染上不同的顏色，則不同的染色方法有（

）A．112種 B．146種 C．192種 D．168種【答案】D【分析】先對1，4，5染色，再分1和3同色，或1和3不同色，兩種情況討論即可.【詳解】對1，4，5染色，有種方法．綜上，不同的染色方法有168種.故選：D1．（2005·天津·高考真題）在三角形的每條邊上各取三個分點（如圖）．以這9個分點為頂點可畫出若干個三角形，若從中任意抽取一個三角形，則其三個頂點分別落在原三角形的三條不同邊上的概率為．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，首先分析可得9個點能構(gòu)成三角形總個數(shù)，再由分步計數(shù)原理可得符合條件的三角形個數(shù)，由等可能事件的概率公式，計算可得答案.故答案為：.2．（2007·天津·高考真題）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．【答案】630.【分析】分別計算第三個格子與第一個格子同色，以及第三個格子與第一個格子不同色，所對應(yīng)的不同涂色方法，即可求出結(jié)果.【詳解】用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，若第三個格子與第一個格子同色，若第三個格子與第一個格子不同色，故答案為6303．（2003·天津·高考真題）．將3種作物種植在如圖5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有種.（以數(shù)字做答）【答案】424．（2007·天津·高考真題）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）．【答案】390【詳解】用2色涂格子有種方法,用3色涂格子,第一步選色有,第二步涂色,共有種,所以涂色方法種方法,故總共有390種方法.故答案為:3905．（2017·天津·高考真題）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）【答案】1080【考點】計數(shù)原理、排列、組合【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理（加法）和分步計數(shù)原理（乘法），組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，利用加法原理計數(shù).6．（2006·天津·高考真題）用數(shù)字0、1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1、2相鄰的偶數(shù)有個（用數(shù)字作答）．【答案】24【分析】對末位數(shù)字討論，再結(jié)合排列知識求解即可.故答案為：24.1．某藥品研究所研制了5種消炎藥（，，，，）、4種退熱藥（，，，），現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退熱藥同時使用進行療效試驗，但已知，兩種藥必須同時使用，且，兩種藥不能同時使用，則不同的試驗方案有多少種？【答案】14【分析】根據(jù)取出消炎藥與退熱藥的要求，分三類情況進行討論，根據(jù)加法原理得到結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)取，時，再取退燒藥有（種）方案，此時不同的試驗方案有4（種）方案；當(dāng)不取，且取時，取另一種消炎藥的方法有（種）方案，由于，兩種藥不能同時使用，所以再取退燒藥有（種）方案，當(dāng)取，時，再取退燒藥有（種）方案，此時不同的試驗方案有4（種）方案；2．（1）用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字，并且小于60000的正整數(shù)？（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)共有多少個？【答案】（1）360；（2）2899；（3）216.【分析】（1）偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法計數(shù)原理即得解；（2）根據(jù)題意，由分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計算，即可得到結(jié)果.（3）根據(jù)題意，由組合數(shù)的計算結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6，有種排法，其他位置上任意排列，有種排法，（2）根據(jù)題意，可得，（3）首先個位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5，7四個中選擇一個有種，再從剩余3個奇數(shù)中選擇一個有種，從2，4，6三個偶數(shù)中選擇兩個有種，3．某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現(xiàn)要從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？(2)如果需要教師、男同學(xué)和女同學(xué)各一人共同主持，共有多少種不同的選法？【答案】(1)12(2)【分析】（1）利用分類加法計數(shù)原理進行求解；（2）利用分步乘法計數(shù)原理進行求解.【詳解】（1）從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出一人主持晚會，結(jié)果可分為3類：第一類，選一名教師主持，有3種選法；第二類，選一名男同學(xué)主持，有4種選法；第三類，選一名女同學(xué)主持，有5種選法．（2）從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中各選出一人共同主持晚會，可分3步：第一步，選出一名教師，有3種選法；第二步，選出一名男同學(xué)，有4種選法；第三步，選出一名女同學(xué)，有5種選法，以上3個步驟依次完成后，事情才算完成．【分析】由于前七位已確定，我們只需分4步來確定后四位數(shù)字，11位手機號碼就最終確定，要用分步乘法計數(shù)原理來計算．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可依次確定手機號碼的第八、九、十、十一位，5．某市的有線電視可以接收中央臺12個頻道、本地臺10個頻道和其他省市46個頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？(2)如果有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺電視機共可以選看多少個不同的節(jié)目？【答案】(1)68(2)66【分析】利用分類加法計數(shù)原理進行求解【詳解】（1）當(dāng)所有頻道播放的節(jié)目互不相同時，一臺電視機選看的節(jié)目可分為3類：第一類，選看中央臺頻道的節(jié)目，有12個不同的節(jié)目；第二類，選看本地臺頻道的節(jié)目，有10個不同的節(jié)目；第三類，選看其他省市頻道的節(jié)目，有46個不同的節(jié)目．（2）因為有3個頻道正在轉(zhuǎn)播同一場球賽，即這3個頻道轉(zhuǎn)播的節(jié)目只有1個，6．（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，一共有多少種不同的放法？（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有1個空盒的放法共有多少種？【答案】（1）256；（2）144【分析】（1）根據(jù)分步乘法原理即可求得答案；（2）判斷必有2個小球放入同一個盒子中，根據(jù)分步乘法原理即可求得答案.【詳解】（1）由題意4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有1個空盒，則必有2個小球放入同一個盒子中，所以先選出2個小球看作一個球和其余2球一起看作3組球，分別放入選出的3個盒子中，每個盒子中放入一組，7．按序給出a，b兩類元素，a類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b類中的元素排序為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b兩類中各取1個元素組成1個排列，求a類中選取的元素排在首位，b類中選取的元素排在末位的排列的個數(shù)．【答案】120【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】求排列個數(shù)需要兩步：排首位有10種方法，排末位有12種方法，所以所求排列個數(shù)為120.8．（1）在圖（1）的電路中，僅合上1只開關(guān)接通電路，有多少種不同的方法？（2）在圖（2）的電路中，僅合上2只開關(guān)接通電路，有多少種不同的方法？【答案】（1）5種；（2）6種．【分析】（1）由分類加法計數(shù)原理即可求解.（2）由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】（1）在圖（1）中，按要求接通電路，只要在A中的2只開關(guān)或B中的3只開關(guān)中合上1只即可．（2）在圖（2）中，按要求接通電路必須分兩步進行：第一步，合上A中的1只開關(guān)；第二步，合上B中的1只開關(guān)．9．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？【答案】按區(qū)域的顏色和區(qū)域的顏色相同或不相同分類，10．現(xiàn)要從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6人中選出4人安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，那么一共有多少種不同的安排方法？【答案】300【分析】分兩種情況討論，即按照選出的4人中有A和沒有A進行討論，然后再進行排列，從而得出結(jié)果.【詳解】解

安排方法可以分成兩類：選出的4人中有A和沒有A．當(dāng)選出的4人中有A，則安排方法為：第一步，在乙、丙、丁3個崗位中選擇一個給A，共種方法，第二步，在B，C，D，E，F(xiàn)這5人選出3人安排在其他3個崗位，共種方法，11．要把9本不同的課外書分給甲、乙、丙3名同學(xué)：(1)如果每個人都得3本，則共有不同的分法多少種？(2)如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，則共有不同的分法多少種？【答案】(1)1680(2)7560【分析】（1）分三步完成任務(wù)，第一步選3本給甲，再選3本給乙，剩下的給丙，運用乘法原理解決問題；（2）分兩步完成任務(wù)，將9本書按照4本、3本、2本分為三組，再將3組書分給3人，最后采用乘法原理解決問題.【詳解】（1）解:要完成分配任務(wù)，可以分為三步：第一步，分給甲3本書，有種方法；第二步，分給乙3本書，因為只能在剩下的6本書里選，所以有種方法；第三步，分給丙3本書，因為只能在剩下的3本書里選，所以有種方法．（2）要完成分配任務(wù)，可以分為兩步：第二步，將分好的3組書分別分給3個人，有種方法．12．現(xiàn)有30件分別標(biāo)有編號的產(chǎn)品，且除了2件次品外，其余都是合格品，從中取出3件：(1)一共有多少種不同的取法？(2)若取出的3件產(chǎn)品中恰有1件次品，則不同的抽法共有多少種？(3)若取出的3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，則不同的抽法共有多少種？【答案】(1)4060(2)756(3)784【分析】（1）利用組合的定義及組合數(shù)公式即可求解；（2）利用組合的定義及分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式即可求解；（3）利用組合的定義及分類加法計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式即可求解.【詳解】（1）所求的抽法總數(shù)，就是從30件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)（2）抽取可以分成兩步完成：第一步，在2件次品中抽出1件，有種方法；第二步，在28件合格品中抽出2件，有種方法．（3）滿足條件的取法可以分成兩類：恰有1件次品的取法和恰有2件次品的取法．13．某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動，要求至少要有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？【答案】7【分析】利用分類與分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】按照選擇的女同學(xué)人數(shù)分為兩種情況，即2名都是女同學(xué)和只有1名女同學(xué)．第1類：2名都是女同學(xué)的選法顯然只有1種．第2類：只有1名女同學(xué)的選法，可以分為兩步完成：先從2名女同學(xué)中選出1人，有2種選法；14．有100件產(chǎn)品，其中5件次品，95件正品，現(xiàn)要從這100件產(chǎn)品中隨機抽取6件進行檢查.根據(jù)以下要求，計算各有多少種不同的取法.(1)抽到的全是正品；(2)恰抽到2件正品；(3)至少抽到1件次品；(4)至多抽到2件次品.【分析】（1）由組合的意義及運算可得；（2）由組合的意義及分步乘法計數(shù)原理可得；（3）由對立事件的性質(zhì)結(jié)合組合的意義及運算可得解；（4）由組合的意義及分類加法計數(shù)原理即可得解.（3）由題意，至少抽到1件次品的對立事件為抽到的全是正品，（4）至多抽到2件次品分為沒有抽到次品（全是正品）、恰有1件次品和恰有兩件次品三種情況，15．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分為三份，每份2本.【答案】(1)90(2)15