圓錐曲線：雙曲線知識點(diǎn)與題型總結(jié)講義考點(diǎn)目錄雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的離心率雙曲線的漸近線焦點(diǎn)三角形點(diǎn)、直線與雙曲線的位置關(guān)系弦長問題中點(diǎn)弦問題考點(diǎn)一考點(diǎn)一雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點(diǎn)解析】1.雙曲線的定義（1）雙曲線的定義這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，記為．連接雙曲線與其對稱軸的兩個交點(diǎn)的線段稱為實(shí)軸，記為.與實(shí)軸垂直，過中心（原點(diǎn)）的線段稱為虛軸．記為.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：【例題分析】考向一雙曲線的定義與相關(guān)概念A(yù)．2 B．10 C．2或9 D．2或10【答案】B故選：B.A．11 B．9 C． D．5【答案】B故選：B．【答案】B【詳解】由雙曲線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，故選：BA．9 B．7 C．9或29 D．7或19【答案】C所以點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為或.故選：C.A．13 B．1或13 C．10 D．4或10【答案】A故選：AA．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】C故選：C.考向二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】A故選：A【答案】D故選：D.【答案】D【詳解】設(shè)動圓的半徑為，因動圓同時與圓及圓相外切，故選：D.變式3．（2425高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(0，4)，B(0，－4)，從點(diǎn)C同時出發(fā)的兩個質(zhì)點(diǎn)M，N均以每秒2個單位長度的速度做勻速直線運(yùn)動，M從C運(yùn)動到A，N從C運(yùn)動到B，且M到達(dá)A的時間比N到達(dá)B的時間晚3秒，則C的軌跡方程為.所以C的軌跡是以為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長為的雙曲線的下支，考向三根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍【答案】C故選：C.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A故選：A.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A故選：A.

考點(diǎn)二考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)【知識點(diǎn)解析】1.范圍2.對稱性在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改變.故雙曲線關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)都對稱.3.頂點(diǎn)雙曲線與軸有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)即為雙曲線與它的對稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)．兩個頂點(diǎn)的連線段稱為雙曲線的實(shí)軸，長為．4.漸近線5.離心率離心率反映雙曲線開口的程度．與橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān)，越大則雙曲線的開口越大，越小則雙曲線的開口越?。?/p>

【例題分析】B．的實(shí)軸長為4C．的離心率為【答案】BC故選：BC.A． B．或 C． D．【答案】D故選：DA．焦距相等 B．實(shí)軸長相等 C．虛軸長相等 D．離心率相等【答案】A故選：A．【答案】C故選：CA．1 B．2 C．4 D．8【答案】D故選：D．【答案】D故選：D【答案】C故選：C【答案】故答案為：【答案】AC【詳解】如圖：即的最小值為，故D錯誤.故選：AC【答案】4故答案為：【答案】2故答案為：2.且雙曲線的漸近線相互垂直，可知雙曲線為等軸雙曲線，【答案】9故答案為：

考點(diǎn)三考點(diǎn)三雙曲線的離心率【知識點(diǎn)解析】2.意義：離心率反映雙曲線開口的程度．與橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān)，越大則雙曲線的開口越大，越小則雙曲線的開口越?。?.求解方法：=3\*GB3③常見構(gòu)造齊次方程方法：如果能表示邊，可以用雙曲線定義、勾股定理、余弦定理、公共角、補(bǔ)角構(gòu)造方程.如果能表示點(diǎn)的坐標(biāo)，則可利用橢圓方程、斜率、向量等構(gòu)造方程.4.求雙曲線離心率的范圍【例題分析】考向一直接求出雙曲線的、，進(jìn)而求出離心率A． B． C． D．【答案】B故選：B．【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線夾角為，故選：C.例3．（2025·廣西·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距是虛軸的2倍，則的離心率為（

）．【答案】D故選：D【答案】0故答案為：0；【答案】【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），故答案為：【答案】故答案為：.【答案】C【詳解】由題意得⊥，取的中點(diǎn)，連接，故選：C【答案】B故選：B.A． B． C． D．【答案】B故選：B.【答案】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，故答案為：.【答案】故答案為：考向三求離心率的范圍【答案】A故選：A【答案】C故選：C【答案】D故選：D【詳解】

考點(diǎn)四考點(diǎn)四雙曲線的漸近線【知識點(diǎn)解析】1.由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程，關(guān)鍵是求出，的值．也可把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”用“0”替換，得出兩條直線方程，2.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為【例題分析】【答案】C故選：C．【答案】C故選：C.【答案】D故選：D.A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C故選：C【答案】故答案為：【答案】所以兩條漸近線夾角余弦值為，故答案為：.【詳解】作出示意圖如圖所示：

考點(diǎn)五考點(diǎn)五焦點(diǎn)三角形【知識點(diǎn)解析】【例題分析】【答案】BCD

故選：BCD【答案】ABD【詳解】如圖：故選：ABDA． B． C． D．【答案】C因?yàn)榈男甭蕿?，所以傾斜角為，故選：C【答案】A因?yàn)橹本€過點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，故選：A【答案】BC所以點(diǎn)到軸的距離為4，錯誤．故選：BC【答案】BCD對于B選項(xiàng)，由橢圓的定義可知，故選：BCD.如圖，點(diǎn)S，E，，均為切點(diǎn).【答案】10故答案為：10.

考點(diǎn)六考點(diǎn)六點(diǎn)、直線與雙曲線的位置關(guān)系【知識點(diǎn)解析】注：直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)時，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，只有一個交點(diǎn)．【例題分析】A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定【答案】C故選：CA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C故選：C.A．一條 B．兩條 C．三條 D．四條【答案】B此時顯然與雙曲線方程只有一個公共點(diǎn)；此時直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，符合題意，綜上所述：滿足題意的直線有兩條，故選：B.【答案】D【答案】0或1故答案為：0或1.【答案】4故答案為：4.

考點(diǎn)七考點(diǎn)七弦長問題【知識點(diǎn)解析】【例題分析】(1)求動點(diǎn)的軌跡；(2).【詳解】（1）設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，(1)求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求.(2)3直線方程與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn).（2）由（1）得(1)求的方程；由直線與雙曲線漸近線的位置關(guān)系可得此時直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)；(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)(3)（2）聯(lián)立雙曲線與圓的方程，

考點(diǎn)八考點(diǎn)八中點(diǎn)弦問題【知識點(diǎn)解析】【例題分析】因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，(1)求雙曲線的方程；(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不能，理由見解析.∴點(diǎn)N不能是線段的中點(diǎn).【答案】6符合題意，所以直線l的斜率為6.故答案為：6.(1)求的方程；（2）①當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，(1)求雙曲線的方程；課后提升訓(xùn)練課后提升訓(xùn)練【答案】D所以雙曲線的離心率為2.故選：D.【答案】A故選：AA． B．2 C．4 D．【答案】A故選：A.A． B．2 C． D．3【答案】C故選：C.A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C故選：C.【答案】A故選：A7．（2425高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在雙曲線C上.若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．+1【答案】D故選：D.【答案】C故選：C.【答案】ABC故選：ABC．A．雙曲線的實(shí)軸長為4 B．雙曲線的離心率為【答案】ACD【詳解】故選：ACD.【答案】BD對于A：直線、的斜率分別為、，故選：BD.【答案】則點(diǎn)到兩漸近線的距離為.故答案為：.【答案】所以雙曲線的離心率為.故