4.2.5正態(tài)分布

1.通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.2.通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.情景導(dǎo)入

圖上的錢(qián)幣是德國(guó)的馬克，錢(qián)幣上的頭像是德國(guó)有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng)的高斯。和高斯頭像一起出現(xiàn)在錢(qián)幣上的，還有一段優(yōu)美的曲線。如此重要的一條曲線是什么曲線呢？它是怎樣得到的呢？

已知X服從參數(shù)為100，0.5的二項(xiàng)分布，即X~B(100，0.5)，你能手工計(jì)算出P(X=50)的值嗎？嘗試與發(fā)現(xiàn):回想：二項(xiàng)分布的概率公式事件

發(fā)生的概率事件A

發(fā)生的次數(shù)事件A

發(fā)生的概率實(shí)驗(yàn)總次數(shù)n有沒(méi)有其他辦法能得到上式的近似值呢？因?yàn)?/p>

，手工計(jì)算該值是一個(gè)“幾乎不可能”完成的任務(wù)，由此可以看出，若X~B(n，p)，那么n較大時(shí)，直接計(jì)算P(X=k)的值將是十分困難的，有沒(méi)有其他辦法能得到上式的近似值呢？直觀圖具有以下性質(zhì)：（1）中間高，兩邊低；（2）圖形關(guān)于X=3對(duì)稱(chēng)；而且E(X)=______.（3）某一整數(shù)k上方的矩形面積等于P(X=k),其中k=0，1，2，3，4，5，6；（4）所有矩形的面積之和為1.3例如，若X~B(6，)，則X的分布列如下.事實(shí)上，許多服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量分布列的直觀圖都有類(lèi)似的特點(diǎn).例如，若X~B(50，

)，或者X~B(100，

)，則X的分布列可分別用圖(1)，(2)表示.1.正態(tài)曲線其中：μ=E(X)即X的均值，，即X的標(biāo)準(zhǔn)差。一般地，對(duì)應(yīng)的圖像稱(chēng)為正態(tài)曲線.知識(shí)歸納2.正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱(chēng)軸的位置),具有中間高、兩邊低的特點(diǎn);(2)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1;(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:σ越大,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的集中程度越弱,所以曲線越“胖”;σ越小,說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng),所以曲線越“瘦”.φ（x)的最大值是多少？簡(jiǎn)記為“大胖小瘦”正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[μ，μ+σ]內(nèi)所圍面積為0.3413，在區(qū)間[μ+σ，μ+2σ]內(nèi)所圍面積約為0.1359，在區(qū)間[μ+2σ，μ+3σ]內(nèi)所圍面積約為0.0215，如圖所示.

例1.求正態(tài)曲線與x軸在下列區(qū)間內(nèi)所圍面積（精確到0.001）（1）[μ，+∞）；

（2）[μ-σ，μ+σ]（3）[μ-2σ，μ+2σ]

（4）[μ-3σ，μ+3σ].注意：面積的大小與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān).解：（1）因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)，且它與x軸所圍成的面積為1，所以所求面積為0.5.

（1）[μ，+∞）（2）利用對(duì)稱(chēng)性可知，所求面積為[μ，μ+σ]內(nèi)面積的2倍，即約為0.3413×2=0.6826≈0.683.（2）[μ-σ，μ+σ]

（3）利用對(duì)稱(chēng)性可知，所求面積為(0.3413+0.1359)×2=0.9544≈0.954.（3）[μ-2σ，μ+2σ]；

（4）利用對(duì)稱(chēng)性可知，所求面積為

(0.3413+0.1359+0.0215)×2=0.9974≈0.997.（4）[μ-3σ，μ+3σ].μ是X的平均值，

σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差,σ2是X的方差

3.正態(tài)分布如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總等于對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ

和σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ

，σ2

).

由正態(tài)曲線的性質(zhì)及前面例題可知，如果X~N(μ

，σ2

)，那么P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5,P(|X

–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％,P(|X

–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％,P(|X

–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中，正常條件下生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品尺寸在測(cè)量中，隨機(jī)誤差在生物學(xué)中，同一地區(qū)同齡人的身高、同一批燈泡的壽命在考試中，考試成績(jī)例2.假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的方法（1）充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性及面積為1的性質(zhì)求解；（3）P(X<a)=1-P(X≥a);P(X<μ-a)=P(X>μ+a).方法歸納

轉(zhuǎn)化的思想4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0，σ=1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0，1

)，對(duì)于任意a，通常記Φ(a)=P(X<a).由對(duì)稱(chēng)性可知Φ(a)+Φ(-a)=1.以下是a≥0時(shí)部分Φ(a)的值：例如：Φ(0.28)=0.6103例4已知X~N(0，1

)，利用上述表格求以下概率值：（1）P(X＜0.28)；（2）P(X＜－0.36)；（3）P(0.18≤X＜0.57)；解：（1）P(X

＜0.28)=Φ(a)=0.6103；

（2）P(X

＜－0.36)=Φ(－0.36)=1－Φ(0.36)=0.3594

（3）P(0.18≤X＜0.57)=

P(X＜0.57)－P(X＜0.18)=

Φ(0.57)－Φ(0.18)=0.1443.1.二項(xiàng)分布與正態(tài)曲線，曲線的性質(zhì)與特點(diǎn)2.正態(tài)分布與3σ原則3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布根據(jù)以下內(nèi)容，說(shuō)說(shuō)本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？012-1-2xy-334μ=10.51-aa1-a1-2a1.若X～N(2,32)，則E(X)=______，D(X)=_______.

29322.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=______，σ=______.

3.若X～N