專題9.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"13"\h\u【題型1變量的相關(guān)關(guān)系】 4【題型2樣本相關(guān)系數(shù)】 6【題型3一元線性回歸模型】 8【題型4非線性回歸模型】 11【題型5殘差】 17【題型6列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】 19【題型7獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識(shí)綜合】 231、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義(2)了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題(3)會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)、理數(shù)）：第19題，12分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第18題，12分2024年天津卷：第3題，5分2024年上海卷：第13題，4分、第19題，14分2025年全國(guó)一卷：第15題，13分2025年天津卷：第5題，5分2025年上海卷：第17題，14分成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，主要以解答題的形式考查，一般會(huì)與概率等知識(shí)結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，難度中等；有時(shí)也會(huì)在選擇、填空題中出現(xiàn)，單獨(dú)考察單一知識(shí)點(diǎn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練.知識(shí)點(diǎn)1變量的相關(guān)關(guān)系1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來表示.(2)相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2．散點(diǎn)圖(1)散點(diǎn)圖成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).3．線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).知識(shí)點(diǎn)2樣本相關(guān)系數(shù)1．樣本相關(guān)系數(shù)(1)對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，利用相關(guān)系數(shù)r來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.知識(shí)點(diǎn)3一元線性回歸模型1．一元線性回歸模型2．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi(bxi+a)|=|ei|，顯然|ei|越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小.程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)(x,y).3．殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.4．回歸分析的三大常用結(jié)論(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的y值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.(3)根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ知識(shí)點(diǎn)4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1．2×2列聯(lián)表假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2}，其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)y1y2x1aba+bx2cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).2．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)假定通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d(2)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱(3)χ23．獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的解題策略解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(3)通過比較χ2與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計(jì)推斷【方法技巧與總結(jié)】3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.【題型1變量的相關(guān)關(guān)系】【例1】（2025·遼寧葫蘆島·一模）已知變量x與y的回歸直線方程為y=3x?1，變量y與z負(fù)相關(guān)，則（

）A．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) D．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)【答案】D【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合回歸方程可判斷x與y正相關(guān)，再由變量y與z負(fù)相關(guān)，即可判斷x與z負(fù)相關(guān).【解答過程】根據(jù)回歸方程y=3x?1可知變量x與y正相關(guān)，又變量y與z負(fù)相關(guān)，由正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的定義可知，x與z負(fù)相關(guān).故選：D.【變式11】（2025·天津河西·一模）對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,?,10)，得散點(diǎn)圖；對(duì)變量u，A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【答案】B【解題思路】根據(jù)散點(diǎn)圖點(diǎn)的變化關(guān)系確定正負(fù)相關(guān)性即可.【解答過程】由變量x，y的散點(diǎn)圖，知隨x增大，y也增大，變量x與y正相關(guān)，由變量u，v的散點(diǎn)圖，知隨u增大，v減小，u與v負(fù)相關(guān).故選：B.【變式12】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）為制定某種產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，某工廠統(tǒng)計(jì)得到生產(chǎn)線條數(shù)與該種產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如下表：生產(chǎn)線條數(shù)x12345產(chǎn)量y21396487104則下列說法正確的是（

）A．y與x負(fù)相關(guān) B．y與x正相關(guān)C．y與x不相關(guān) D．y與x成正比例關(guān)系【答案】B【解題思路】由正、負(fù)相關(guān)的概念即可判斷.【解答過程】由題中數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且不成比例關(guān)系，故y與x正相關(guān)．故選:B.【變式13】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解題思路】由正、負(fù)相關(guān)的概念逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則這兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān)．結(jié)合散點(diǎn)圖可知，①②滿足題意，即兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：B.【題型2樣本相關(guān)系數(shù)】【例2】（2025·四川德陽·三模）下列結(jié)論不正確的是（

）A．兩個(gè)變量x,y的線性相關(guān)系數(shù)r反映了兩個(gè)變量線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，且r越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)B．若兩個(gè)變量x,y的線性相關(guān)系數(shù)r=0，則x,y之間不具有線性相關(guān)性C．由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系.D．在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有的樣本點(diǎn)(xi,【答案】D【解題思路】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【解答過程】對(duì)于A，線性相關(guān)系數(shù)r反映了兩個(gè)變量線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，且r越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，A正確；對(duì)于B，變量x,y的線性相關(guān)系數(shù)r=0，則x,y之間不具有線性相關(guān)性，B正確；對(duì)于C，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)反映變量間相關(guān)性強(qiáng)弱，不一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系，C正確；對(duì)于D，樣本點(diǎn)(xi,故選：D.【變式21】（2025·天津·二模）為研究某奶茶店每日的熱奶茶銷售量y和氣溫x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)該店（2025年2月6日至3月24日）每天的熱奶茶銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖（x軸表示氣溫，y軸表示熱奶茶銷售量），由散點(diǎn)圖可知y與x的相關(guān)關(guān)系為（

）A．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為0.8 B．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為0.8C．正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為?0.8 D．負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r的值為?0.8【答案】D【解題思路】根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷．【解答過程】由散點(diǎn)圖知y隨著x的增大而減小，因此是負(fù)相關(guān)．相關(guān)系數(shù)為負(fù)．故選：D．【變式22】（2025·上海黃浦·二模）如果兩種證券在一段時(shí)間內(nèi)收益數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.8，那么表明（

）A．兩種證券的收益有反向變動(dòng)的傾向B．兩種證券的收益有同向變動(dòng)的傾向C．兩種證券的收益之間存在完全反向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即漲或跌是相反的D．兩種證券的收益之間存在完全同向的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，即同時(shí)漲或同時(shí)跌【答案】B【解題思路】根據(jù)正相關(guān)的定義可得出結(jié)論.【解答過程】因?yàn)閮煞N證券在一段時(shí)間內(nèi)收益數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.8>0，所以兩種證券是正相關(guān)，那么表明兩種證券的收益有同向變動(dòng)的傾向，B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.【變式23】（2025·浙江杭州·二模）某興趣小組研究光照時(shí)長(zhǎng)x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖．若去掉D10,2后，下列說法正確的是（

A．相關(guān)系數(shù)r變小 B．決定系數(shù)R2C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】D【解題思路】從圖中分析得到去掉D10,2【解答過程】從圖中可以看出D10,2較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉D對(duì)于A，相關(guān)系數(shù)r越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉D10,2后，相關(guān)系數(shù)r對(duì)于B，決定系數(shù)R2越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉D10,2后，決定系數(shù)對(duì)于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉D10,2對(duì)于D，若去掉D10,2后，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y故選：D．【題型3一元線性回歸模型】【例3】（2025·浙江溫州·三模）為了研究某種商品的廣告投入x和收益y之間的相關(guān)關(guān)系，某研究小組收集了5組樣本數(shù)據(jù)如表所示，得到線性回歸方程為y=bx+0.28x/萬元12345y/萬元0.500.801.001.201.50A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88【答案】C【解題思路】求得樣本中心點(diǎn)，得到b=0.24【解答過程】由1+2+3+4+55可得數(shù)據(jù)可得樣本中心點(diǎn)為：3,1代入回歸方程1=3b+0.28，解得：所以當(dāng)x=10時(shí)，y=0.24×10+0.28=2.68．故選：C.【變式31】（2025·遼寧錦州·二模）5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升．某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了1至5月份5G手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：月份x1月2月3月4月5月銷售量y（千只）0.50.61.01.41.7若y與x線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為y=0.32x+a，則下列說法不正確的是（A．由題中數(shù)據(jù)可知，aB．由題中數(shù)據(jù)可知，6月份該商城5G手機(jī)的實(shí)際銷量為2（千只）C．由題中數(shù)據(jù)可知，變量x和y正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)一定小于1D．若不考慮本題中的數(shù)據(jù)，回歸直線可能不過x1,y1，【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，由回歸直線方程的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】對(duì)于A，由表格可知，x=15則a=y對(duì)于B，將x=6代入y=0.32x+0.08，可得y所以6月份該商城5G手機(jī)的實(shí)際銷量預(yù)測(cè)為2（千只），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榛貧w方程為y=0.32x+0.08，所以變量x和y且樣本點(diǎn)不全在回歸方程上，所以相關(guān)系數(shù)一定小于1，故C正確；對(duì)于D，回歸直線可能不過樣本點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，故D正確；故選：B.【變式32】（2025·甘肅白銀·三模）某材料實(shí)驗(yàn)室研究了某種金屬材料在不同冷卻速率下的凝固點(diǎn)溫度，以及冷卻環(huán)境對(duì)材料熱物性的影響．下表為某金屬材料凝固點(diǎn)溫度y（單位：°C）隨冷卻速率x（單位：°x1020304050y650640600590580(1)一般認(rèn)為當(dāng)r≥0.9時(shí)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果非常好；當(dāng)0.75≤(2)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求該金屬凝固點(diǎn)溫度y與冷卻速率x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+參考公式：b^相關(guān)系數(shù)r=i=1參考數(shù)據(jù)：i=15【答案】(1)擬合效果非常好，理由見解析(2)y=?1.9x+669；【解題思路】（1）首先根據(jù)表格里面的數(shù)據(jù)求出x,y的平均值，然后根據(jù)根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù).（2）首先求出回歸方程的表達(dá)式，然后將冷卻速率值代入，求出金屬的凝固點(diǎn)溫度.【解答過程】（1）易知x=30,因?yàn)閕=15yir=i=1因?yàn)?0.96>0.9所以該經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果非常好．（2）由（1）知x=30，由b因?yàn)閥=所以a=y?當(dāng)x=80時(shí)，y^所以冷卻速率為80°C/【變式33】（2025·山東·一模）某工廠的某生產(chǎn)車間2020年至2024年生產(chǎn)的年利潤(rùn)y（百萬元），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：年份20202021202220232024年份代號(hào)x12345年利潤(rùn)y2.83.43.64.44.8(1)已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，求年利潤(rùn)y（百萬元）關(guān)于年份代號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=b(2)已知該工廠共有6個(gè)車間，根據(jù)每個(gè)車間的年利潤(rùn)分為“A類車間”和“B類車間”兩類，其中“A類車間”4個(gè)，“B類車間”2個(gè)，現(xiàn)從這6個(gè)車間中任取3個(gè)車間，記隨機(jī)變量X為“A類車間”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：b=i=1n【答案】(1)y=0.5x+2.3(2)分布列見解析，2【解題思路】（1）由最小二乘法即可求解回歸方程，代入方程即可預(yù)測(cè)，（2）利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，進(jìn)而由期望公式得解.【解答過程】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得：x=15i=15xi所以a=故x的線性回歸方程y=0.5x+2.3令x=6，得y=0.5×6+2.3=5.3（2）隨機(jī)變量X的可能值為1,2,3，可得PX=1=C22所以X的分布列為：X123P131所以期望為：EX【題型4非線性回歸模型】【例4】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）某汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56668當(dāng)0<x≤16時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①y=4.1x+11.8；模型②：y(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤16時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2回歸模型模型①模型②回歸方程yyi=1182.479.2（附1：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2(2)科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N0.52,（附2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P【答案】(1)模型①的R2(2)分布列見解析，2.2718【解題思路】（1）利用表格數(shù)據(jù)比較兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)的大小，把數(shù)據(jù)代入模型可得答案；（2）利用正態(tài)分布求出概率，結(jié)合期望公式可得答案.【解答過程】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2，因?yàn)??182.4所以模型①的R2所以當(dāng)x=16億元時(shí)，科技改造直接收益的預(yù)測(cè)值為：y=21.3×（2）因?yàn)镻0.52?0.02<X<0.52+0.02所以PX≤0.5因?yàn)镻0.52?0.01<X<0.52+0.01所以PX>0.53所以P0.50<X≤0.53設(shè)每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為Y（萬元），則Y的分布列為：Y024P0.022750.81860.15865所以每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望EY【變式41】（2025·重慶·一模）實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某市電動(dòng)汽車的銷售情況，調(diào)查了該市某電動(dòng)汽車企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號(hào)x123456產(chǎn)值y/百萬輛91830515980(1)若用模型y=a?ebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與(2)為了進(jìn)一步了解車主對(duì)電動(dòng)汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購(gòu)買電動(dòng)汽車和3位購(gòu)買燃油汽車的車主中隨機(jī)選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：i=16ui參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,3,?,n)【答案】(1)y=(2)答案見解析【解題思路】（1）令u=ln（2）分析可知，利用超幾何分布X～H4,5,8【解答過程】（1）令u=x=1+2+3+4+5+66則b=lna所以a=所以y=a?（2）由題意得X=1,2,3,4，Px=1Px=2Px=3Px=4分布列為：X1234P1331數(shù)學(xué)期望EX【變式42】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）腦機(jī)接口，即指在人或動(dòng)物大腦與外部設(shè)備之間創(chuàng)建的直接連接，實(shí)現(xiàn)腦與設(shè)備的信息交換.近日埃隆.馬斯克宣布，腦機(jī)接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請(qǐng)，該試驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)意念控制手機(jī)和電腦.未來10到20年，我國(guó)腦機(jī)接口產(chǎn)業(yè)將產(chǎn)生數(shù)百億元的經(jīng)濟(jì)價(jià)值.為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，同時(shí)兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過調(diào)研，得到年收益增量y（單位：億元）與研發(fā)人員增量x（人）的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①y=bx+a，②y=c+dx根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到下表數(shù)據(jù)，其中tiyti=1i=1i=1i=17.52.2582.504.5012.142.88(1)根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型；（無需說明理由）(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；并用該模型預(yù)測(cè)，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）附：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)x1,y1【答案】(1)選擇模型②(2)y=0.64【解題思路】（1）根據(jù)殘差圖分析判斷；（2）令t=x,y與t可用線性回歸來擬合，有y=c+dt，然后根據(jù)公式結(jié)合已知的數(shù)據(jù)求出c,d，從而可求出y關(guān)于t【解答過程】（1）選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點(diǎn)比較均勻在落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，所以模型②比較合適.（2）根據(jù)模型②，令t=x,y與t可用線性回歸來擬合，有則d=i=1則y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.64t+6.06，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為由題意，y^=0.64x+6.06>8，解得x>97所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人.【變式43】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）云南花卉產(chǎn)業(yè)作為云南全力打造世界一流“綠色食品牌”的重點(diǎn)產(chǎn)業(yè)之一．從起步發(fā)展至今僅四十多年的時(shí)間，取得了令人矚目的成績(jī)．目前云南已成為全球公認(rèn)的三大最適宜鮮切花種植的區(qū)域之一，鮮切花種植面積和產(chǎn)量位居全球第一，全省花卉種植面積穩(wěn)定在190萬畝左右．近8年云南省花卉種植面積統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖如圖．(1)經(jīng)計(jì)算得下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)散點(diǎn)圖，在模型①：y=bx+a與模型②：y=clnx+d，（a，b，c，d均為常數(shù)）中，選擇一個(gè)更適合作為云南省花卉種植面積y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型，求出y關(guān)于uyi=1i=1i=1i=1i=1i=11.5165204224246448.32060其中u=lnx，(2)運(yùn)輸過程中，為保證鮮切花質(zhì)量，需對(duì)其存活天數(shù)進(jìn)行研究．一品種鮮切花存活天數(shù)為隨機(jī)變量XX∈N?，且最多只能存活nn≥3天，研究人員發(fā)現(xiàn)，存活天數(shù)為k+1的樣本在存活天數(shù)超過①求PX=k②用n表示該品種鮮切花存活天數(shù)的數(shù)學(xué)期望EX附：b=i=1【答案】(1)y(2)①P(X=k)=0.2,②E(X)=4.2?2.4×【解題思路】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，確定y=cln（2）①根據(jù)條件概率，以及地推關(guān)系，可證明數(shù)列{P(X=k)}是以0.2首項(xiàng)，0.75為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)分段函數(shù)的形式列出解析式；②根據(jù)①的結(jié)果，列式E(X)，再利用錯(cuò)位相減法，即可求解．【解答過程】（1）由散點(diǎn)圖可知，y=clnx+d更適合作為云南省花卉種植面積y關(guān)于年份代碼令u=lnx，所以因?yàn)閡=1.5，y=165，i=18所以c=所以d=所以y=20（2）①由題可得，P(X=1)=0.2，當(dāng)1≤k≤n?2時(shí)，P(X=k+1|X>k)=0.25，又P(X=k+1|X>k)=P(X=k+1)P(X>k)，即同理可得，當(dāng)2≤k≤n?1時(shí)，P(X=k)=0.25P(X>k?1)，兩式相減得P(X=k+1)?P(X=k)=?0.25P(X=k)，即P(X=k+1)=0.75P(X=k)，P(X=k+1)P(X=k)因?yàn)镻(X=2)=0.25P(X>1)=0.25×[1?P(X=1)]=0.25×0.8=0.2，所以當(dāng)2≤k≤n?1時(shí)，{P(X=k)}是以0.2為首項(xiàng)，0.75為公比的等比數(shù)列，當(dāng)k=n時(shí)，P(X=n)=1?i=1所以P(X=k)=0.2,②E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+nP(X=n)=1×0.2+0.2×[2×=0.2+0.8n+0.2×[(2?n)×0.75令T=(2?n)×0.75則0.75T=(2?n)×0.75+(3?n)×0.75兩式相減得，0.25T=(2?n)×=1?n+1×(1?所以T=20?4n?12×0.75則E(X)=0.2+0.8n+0.2T=4.2?2.4×0.75【題型5殘差】【例5】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知由樣本數(shù)據(jù)xi,?yii=1,?2,?3,??,?6組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為A．?2 B．?0.5 C．0.5 D．2【答案】C【解題思路】先計(jì)算新樣本的x′,y【解答過程】設(shè)新樣本得均值為x′則x′又回歸方程過均值點(diǎn)，所以11=2.5×5+b，解得b所以新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2.5x?1.5預(yù)測(cè)值y=2.5×4?1.5=8.5所以殘差為9?8.5=0.5.故選：C.【變式51】（2025·云南·三模）已知變量x，y線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,???,9)，滿足i=19xi=33A．?0.1 B．?0.2 C．0.1 D．0.2【答案】B【解題思路】根據(jù)已知求原數(shù)據(jù)的樣本中心，再確定增加數(shù)據(jù)后的樣本中心，進(jìn)而得到修正后的回歸直線方程，估計(jì)的對(duì)應(yīng)值，最后由殘差的定義求解即可.【解答過程】由題設(shè)x=339增加數(shù)據(jù)(?3,3)后，x1=33?310=3所以6=2.1×3+b?b=?0.3，則y=2.1x?0.3，所以x=5時(shí)，有y=2.1×5?0.3=10.2，故殘差為10?10.2=?0.2，故選：B．【變式52】（2025·福建泉州·二模）已知線性回歸方程y=bx+0.6相應(yīng)于點(diǎn)(2,5.5)的殘差為?0.1，則bA．?2.4 B．?2.5 C．2.4 D．2.5【答案】D【解題思路】根據(jù)線性回歸方程估計(jì)y^【解答過程】因?yàn)橄鄳?yīng)于點(diǎn)(2,5.5)的殘差為?0.1，所以5.5?y所以5.5+0.1=2b+0.6，解得故選：D.【變式53】（2025·山東泰安·三模）對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.將某公司新產(chǎn)品自上市起的月份x與該月的對(duì)應(yīng)銷量y（單位：萬件）整理成如下表格：月份x12345銷量y0.5s1t1.4建立y與x的線性回歸方程為y=0.21x+0.37，則第2個(gè)月和第4個(gè)月的殘差和為（

A．0.919 B．0.1 C．0.1 D．0.919【答案】C【解題思路】先求平均值，將其代入回歸方程，故s+t=2.1，將2，4代入線性回歸方程，根據(jù)殘差概念計(jì)算即可.【解答過程】由題意可得x=1+2+3+4+55將其代入回歸方程，得y=1，故s+t=2.1將2，4代入線性回歸方程，則第2，4個(gè)月的預(yù)測(cè)值分別為y2=0.21×2+0.37=0.79，故第2個(gè)月和第4個(gè)月的殘差和為s?0.79+t?1.21=0.1.故選：C.【題型6列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】【例6】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)療研究機(jī)構(gòu)為了解某種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦纳盍?xí)慣（生活習(xí)慣分良好和不夠良好）的關(guān)系，現(xiàn)從該地區(qū)隨機(jī)抽取4nn∈生活習(xí)慣合計(jì)良好不夠良好患有該疾病居民0.6n1.4n2n未患有該疾病居民1.2n0.8n2n合計(jì)1.8n2.2n4n若根據(jù)小概率值α=0.01x0.01=6.635附：χ2=nA．60 B．76 C．80 D．100【答案】C【解題思路】由卡方的計(jì)算結(jié)合題意可得.【解答過程】χ2=4n(0.6n×0.8n?1.2n×1.4n)22n×2n×1.8n×2.2n=4n11≥6.635，又n∈N?，所以n≥19故選：C.【變式61】（2025·甘肅金昌·二模）某公司男、女職工人數(shù)相等，該公司為了了解職工是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差，在男、女職工中各隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示男職工和女職工接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差的人數(shù)分別為40和20.下列結(jié)論正確的是（

）附表：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=nA．依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)B．依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)C．有99.9%D．是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別無關(guān)【答案】B【解題思路】求得卡方值，比對(duì)臨界值，逐個(gè)判斷即可.【解答過程】由題意，列出2×2列聯(lián)表：接受不接受合計(jì)男4060100女2080100合計(jì)60140200零假設(shè)為H0所以χ2根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0即認(rèn)為是否接受去外地長(zhǎng)時(shí)間出差與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.故選：B.【變式62】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）癌癥術(shù)后五年存活率是判斷癌癥治療效果的重要指標(biāo)，某醫(yī)院通過統(tǒng)計(jì)癌癥患者手術(shù)后五年的生存情況得到如下列聯(lián)表：

術(shù)時(shí)所處階段術(shù)后五年情況前中期晚期合計(jì)存活8002001000死亡200st合計(jì)1000m1600(1)求s,t,m；(2)根據(jù)小概率值0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為癌癥術(shù)后五年存活率主要與患者手術(shù)時(shí)癌癥所處階段有關(guān)？(3)結(jié)合上述情況，對(duì)科學(xué)預(yù)防和治療癌癥提出合理建議．附：χ2P0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)400，600，600；(2)能；(3)答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)列聯(lián)表的組成計(jì)算即得.（2）將數(shù)據(jù)代入卡方公式計(jì)算卡方值，然后判斷零假設(shè)即可.（3）根據(jù)題意和實(shí)際情況提出合理建議即可.【解答過程】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可得：t=1600?1000=600；s=t?200=600?200=400；m=200+s=200+400=600.所以s=400,t=600,m=600．（2）零假設(shè)為H0由列聯(lián)表可知：n=1600,a=800,b=200,c=200,d=400，則χ2根據(jù)小概率值0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0即認(rèn)為癌癥術(shù)后五年存活率主要與患者手術(shù)時(shí)癌癥所處階段有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001．（3）前中期癌癥患者術(shù)后五年存活率顯著高于晚期患者術(shù)后五年存活率，所以應(yīng)當(dāng)規(guī)律體檢，及早發(fā)現(xiàn)癌癥，盡量在前中期進(jìn)行手術(shù)．【變式63】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）“村廚”是湖南省寧遠(yuǎn)縣舉辦的“九嶷山村廚大會(huì)”的簡(jiǎn)稱．在2023年火爆“出圈”后，“村廚”熱度不減．2025年4月12日，萬眾矚目的2025年“村超”新賽季在九嶷山景區(qū)拉開帷幕，為了解不同年齡的游客對(duì)“村廚”的滿意度，某組織進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取年齡超過35周歲和年齡不超過35周歲各200人作為樣本，每位參與調(diào)查的游客都對(duì)“村廚”給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)．設(shè)事件A=“游客對(duì)”村廚“滿意”，事件B=“游客年齡不超過35周歲”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，PA∣B(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2×2列聯(lián)表并說明理由；年齡滿意不滿意合計(jì)年齡不超過35周歲年齡超過35周歲合計(jì)(2)由（1）中2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客對(duì)“村廚”的滿意度與年齡有關(guān)聯(lián)?附：K2P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，理由見解析(2)沒有關(guān)聯(lián)【解題思路】（1）根據(jù)題意可求出不超過35歲的人中，對(duì)“村廚”滿意的有160人，對(duì)“村廚”滿意的人中超過35歲的有140人，從而可完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)結(jié)合公式計(jì)算K2【解答過程】（1）由P(A|B)=45，得游客年齡不超過35周歲且對(duì)“村廚”滿意的有由P(B|A)=815，得對(duì)“村廚”滿意的游客人數(shù)為則對(duì)“村廚”滿意的人中超過35歲的有300?160=140人，所以2×2列聯(lián)表如下：年齡滿意不滿意合計(jì)年齡不超過35周歲16040200年齡超過35周歲14060200合計(jì)300100400（2）由（1）得K2所以沒有把握認(rèn)為游客對(duì)“村廚”的滿意度與年齡有關(guān)聯(lián).【題型7獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識(shí)綜合】【例7】（2025·陜西西安·一模）鄂爾多斯某地一景區(qū)為了吸引游客，進(jìn)行了馬術(shù)實(shí)景劇的展演.景區(qū)為了解游客對(duì)其開展的“馬術(shù)實(shí)景劇”活動(dòng)的滿意度，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：調(diào)查結(jié)果組別不滿意滿意合計(jì)本地游客80120200外地游客60140200合計(jì)140260400(1)根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析滿意情況是否與游客的來源有關(guān)；(2)在本地游客的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的訪談，求這3人中滿意人數(shù)X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χα0.0500.0100.001x3.8416.63510.828【答案】(1)無關(guān)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.8.【解題思路】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出χ2（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型公式、數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【解答過程】（1）零假設(shè)為H0因?yàn)棣?根據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0可以認(rèn)為H0（2）由分層抽樣的性質(zhì)，得選出5人中，滿意人數(shù)為5×12080+120=3依題意，X的可能值為1,2,3，P(X=1)=C31C2所以這3人中滿意人數(shù)X的概率分布列為：X123P331數(shù)學(xué)期望E(X)=3【變式71】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在卡塔爾世界杯的開幕式上中國(guó)元素隨處可見．從體育場(chǎng)建設(shè)到電力保障，從賽場(chǎng)內(nèi)的裁判到賽場(chǎng)外的吉祥物，……，中國(guó)制造為世界杯提供了強(qiáng)有力的支持．國(guó)內(nèi)也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會(huì)組建球隊(duì)參加業(yè)余比賽．該足球隊(duì)教練組對(duì)球員的使用是依據(jù)數(shù)據(jù)分析，為了調(diào)查球員乙對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)（乙參加過的比賽均分出了勝負(fù)）：乙球隊(duì)總計(jì)勝負(fù)未參加比賽30b70參加比賽c10f總計(jì)70en(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該球隊(duì)勝利與乙球員參賽有關(guān)聯(lián)？(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員能夠勝任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)四個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為：0.2,0.4,0.3,0.1，當(dāng)出任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為：0.4，0.3，0.4，0.2．則：①當(dāng)甲球員參加比賽時(shí)，求球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率；②當(dāng)甲球員參加比賽時(shí)，在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員擔(dān)任邊鋒的概率；③如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)，該如何使用甲球員？附表及公式：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2【答案】(1)認(rèn)為該球隊(duì)勝利與乙球員參賽有關(guān)聯(lián)；(2)①0.34；②417【解題思路】（1）應(yīng)用卡方公式計(jì)算卡方值，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得結(jié)論；（2）①應(yīng)用全概率公式求概率；②由貝葉斯公式及條件概率公式求概率；③應(yīng)用貝葉斯公式及條件概率公式求概率，并比較大小，即可得結(jié)論.【解答過程】（1）依題意，b=40,c=40,e=50,f=50,n=120，零假設(shè)為H0則觀測(cè)值χ2根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0即認(rèn)為該球隊(duì)勝利與乙球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001；（2）①設(shè)A1表示“甲球員擔(dān)當(dāng)邊鋒”；A2表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中鋒”；A3表示“甲球員擔(dān)當(dāng)后腰”；A則P=0.2×0.4+0.4×0.3+0.3×0.4+0.1×0.2=0.34．②PA③因?yàn)镻APAPA所以PA4|B最小，因?yàn)楫?dāng)甲球員擔(dān)任后衛(wèi)時(shí)，球隊(duì)輸球的概率【變式72】（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）某個(gè)景點(diǎn)自從取消門票實(shí)行免費(fèi)開放后，迅速成為網(wǎng)紅打卡點(diǎn)，不僅帶動(dòng)了淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu)．下表是該景點(diǎn)免費(fèi)開放后前五個(gè)月的打卡人y數(shù)（萬人）與第x個(gè)月的數(shù)據(jù)：x12345y23.137.062.1111.6150.8(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程y=bx+a中的b=32.88，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(2)為更好地改進(jìn)服務(wù)，景點(diǎn)對(duì)每位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查，已知評(píng)分X近似服從正態(tài)分布N86,9，評(píng)分低于m的游客約占15.865%，求m(3)為進(jìn)一步了解游客性別與滿意度的關(guān)系，隨機(jī)抽查200名游客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷游客是否滿意與性別有關(guān)？喜歡不喜歡總計(jì)男100女60總計(jì)110參考公式：相關(guān)系數(shù)：若|r|≥0.75，則認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．r=回歸方程y=bχ2=n臨界值表：α0.0100.0050.001x6.6357.87910.828參考數(shù)據(jù)：i=15若X～Nμ,σ，則PP【答案】(1)r≈0.98，可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；(2)83(3)答案見解析【解題思路】（1）根據(jù)題給數(shù)據(jù)算出平均數(shù)x，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)y及b，再對(duì)i=15xi2?5（2）根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求出PX<μ?σ=0.15865，即可求出（3）根據(jù)題給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再根據(jù)χ2=n【解答過程】（1）由題可知x=1+2+3+4+55i=15則b=i=15相關(guān)系數(shù)r==328.8可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.（2）因X～N86,9，則μ=86,σ=3因PX<μ?σ則m=μ?σ=86?3=83.（3）填寫下面的2×2列聯(lián)表喜歡不喜歡總計(jì)男7030100女4060100總計(jì)11090200由表可知，a=70,b=30,c=40,d=60,n=200，零假設(shè)H0則χ所以根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能推斷游客是否滿意與性別有關(guān).【變式73】（2025·遼寧朝陽·模擬預(yù)測(cè)）近年來，全球數(shù)字化進(jìn)程持續(xù)加速，人工智能（ArtificialIntelligence，簡(jiǎn)稱AI）已然成為科技變革的核心驅(qū)動(dòng)力．有媒體稱DeepSeek開啟了我國(guó)AI新紀(jì)元．某高校擬與某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)合作組織學(xué)生參加與AI知識(shí)有關(guān)的網(wǎng)絡(luò)答題活動(dòng)，為了解男女學(xué)生參與答題意愿的差異，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法在全體學(xué)生中抽取100人，設(shè)事件A=“學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)”，B=“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)P(A)=920,P(B∣A)=性別活動(dòng)男生女生合計(jì)未報(bào)名參加答題活動(dòng)報(bào)名參加答題活動(dòng)合計(jì)100(1)根據(jù)已知條件，完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？(2)網(wǎng)絡(luò)答題規(guī)則：答題活動(dòng)不限時(shí)間，不限輪次，答多少輪由選手自行確定：每輪均設(shè)置m(m≥3)道題，選手參與該輪答題，則至少答一道題，一旦答對(duì)一題，則其本輪答題結(jié)束，答錯(cuò)則繼續(xù)答題，直到第m道題答完，本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)報(bào)名參加答題活動(dòng)，假設(shè)甲每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對(duì)的概率均為13①當(dāng)m=5時(shí)，求甲在一輪答題過程中答題數(shù)量ξ的數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)甲同學(xué)每輪答題答對(duì)前兩題中的一道，本輪答題得2分，否則得1分．記甲答題累計(jì)得分為n的概率為Pnn∈N參考公式與數(shù)據(jù)：χ2=nα0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能；(2)①21181；②P【解題思路】（1）根據(jù)題設(shè)，結(jié)合條件概率的定義求出數(shù)據(jù)，進(jìn)而完成2×2列聯(lián)表，再計(jì)算出χ2（2）①首先列出ξ的概率表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)期望公式將它的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式列出來，即可求解；②根據(jù)題意可得P1=49，P2=61【解答過程】（1）由P(A)=920，得報(bào)名參加答題活動(dòng)人數(shù)為由PBA=報(bào)名參加答題活動(dòng)的女生人數(shù)為45?30=15，又PAB=得到2×2列聯(lián)表為：性別男生女生合計(jì)未報(bào)名參加答題活動(dòng)203555報(bào)名參加答題活動(dòng)301545合計(jì)5050100零假設(shè)為H0則χ2依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0即認(rèn)為學(xué)生報(bào)名參加答題活動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.（2）①設(shè)甲完成一輪答題，答題數(shù)量為隨機(jī)變量ξ，則ξ的所有可能取值為1,2,3,???,m，其中p(ξ=i)=13×因此E(ξ)=1②每輪比賽甲得1分的概率為23×2依題意，P1=49，P2因?yàn)镻n?P則數(shù)列Pn+1?Pn是首項(xiàng)為于是Pn+1?Pn=則數(shù)列{Pn+1+于是Pn+1?P一、單選題1．（2025·上海浦東新·三模）已知一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明有99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”是正確的，則（

）A．吸煙者一定會(huì)患肺癌B．吸煙者患肺癌的概率為99%C．100個(gè)吸煙者大約有99個(gè)會(huì)患肺癌D．認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”犯錯(cuò)的概率不超過1%【答案】D【解題思路】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，即可判斷選項(xiàng).【解答過程】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想可知，有99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”是正確的，也可認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”犯錯(cuò)的概率不超過1%.故選：D.2．（2025·遼寧鞍山·一模）下列選項(xiàng)中，相關(guān)系數(shù)最小的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解題思路】利用散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)，判斷相關(guān)系數(shù)的正負(fù)，由散點(diǎn)的集中程度確定大小，即可得到答案．【解答過程】對(duì)于A，該散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)呈現(xiàn)出一定的上升趨勢(shì)，兩變量之間具有強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性相關(guān)系數(shù)接近于1；對(duì)于B，該散點(diǎn)圖中，這些點(diǎn)緊密地聚集在一條直線附近.其線性相關(guān)系數(shù)接近于?1；對(duì)于C，該散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)呈現(xiàn)出一定的上升趨勢(shì)，變量和之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性相關(guān)系數(shù)為正數(shù)；對(duì)于D，該散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)比較分散，線性相關(guān)程度比選項(xiàng)B要弱，線性相關(guān)系數(shù)比選項(xiàng)B的大.綜合比較四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)B，線性負(fù)相關(guān)程度最強(qiáng)，所以線性相關(guān)系數(shù)最小.故選：B.3．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若X～Nμ,σB．若X～N1,22，C．r越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．r越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.【解答過程】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，PX≤μ?σ對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，PX<1對(duì)于C和D，相關(guān)系數(shù)r越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.故選：B.4．（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：根據(jù)表中各數(shù)據(jù)可得回歸方程y=bx+a，其中廣告費(fèi)用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954A．63，6萬元 B．65，5萬元 C．67，7萬元 D．72，0萬元【答案】B【解題思路】根據(jù)回歸直線過定點(diǎn)(x【解答過程】根據(jù)表格數(shù)據(jù)得x=4+2+3+54∵回歸中心72,42滿足回歸直線方程y=∴42=9.4×72+于是回歸方程為y=9.4x+9.1，令x=6，得y故選：B.5．（2025·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）假設(shè)變量x與變量Y的n對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為x1,y1、x2,y2、?、xnA．b=i=1nC．b=i=1n【答案】B【解題思路】令Q=i=1nei2【解答過程】令Q=i=1當(dāng)且僅當(dāng)b=i=1nxi故選：B.6．（2025·天津?qū)幒印つM預(yù)測(cè)）下列說法中，正確的有（

）①回歸直線y=bx+②根據(jù)2×2列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出k2≥6.635，而Pk2≥6.635③在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)R2刻畫模型的回歸效果，若R④某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N1,a2，若A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解題思路】利用回歸直線的特點(diǎn)可判斷①；利用獨(dú)立型檢驗(yàn)可判斷②；利用決定系數(shù)R2【解答過程】對(duì)于①，回歸直線y=bx+對(duì)于②，根據(jù)2×2列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出k2≥6.635，而則有99%即有1%對(duì)于③，在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)R2若R2對(duì)于④，某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N1,a2則Pξ≤?3故選：C.7．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）某品牌啤酒廠，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)該品牌啤酒在某地的月銷量隨著每瓶啤酒的定價(jià)不同而發(fā)生變化，連續(xù)調(diào)研5個(gè)月得到的數(shù)據(jù)如下表所示：第1個(gè)月第2個(gè)月第3個(gè)月第4個(gè)月第5個(gè)月單價(jià)x/元66.577.58銷量y/萬瓶9085807570根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與x具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，若用最小二乘估計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?10x+a，則（A．相關(guān)系數(shù)r>0 B．點(diǎn)(7.5,75)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上C．a(chǎn)^=160【答案】B【解題思路】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念可以判斷A；求出樣本中心點(diǎn)即可判斷B；根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)即可判斷C；根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)即可判斷D.【解答過程】由y=?10x+a可得y與由表中數(shù)據(jù)可得x=所以樣本中心點(diǎn)為(7,80)，將(7,80)代入y=?10x+a得解得a^則回歸方程為y^=?10x+150，當(dāng)x=7.5時(shí)，y^當(dāng)x=9.5時(shí)，y^故選：B．8．（2025·上海浦東新·二模）研究變量x，y得到一組成對(duì)數(shù)據(jù)xi,yi，i=1,2,???,n，先進(jìn)行一次線性回歸分析，接著增加一個(gè)數(shù)據(jù)xn+1,yA．變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B．相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值變小C．線性回歸方程y=ax+b不變 【答案】C【解題思路】由已知可得x=xn+1，y【解答過程】設(shè)變量x，y的平均數(shù)分別為x，y，則x=1ni=1nxi可知新數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)不變，仍為x,則i=1n+1i=1n+1i=1n+1則相關(guān)系數(shù)r=i=1可知相關(guān)系數(shù)r的值不變，變量x與變量y的相關(guān)性不變，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閎=i=1n+1且線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)x,y，即b，a均不變，所以線性回歸方程因?yàn)閤n+1,y可知?dú)埐钇椒胶蚷=1n+1yi故選：C.二、多選題9．（2025·安徽阜陽·三模）下列說法中正確的是（）A．一個(gè)樣本的平均數(shù)為3，若添加一個(gè)新數(shù)據(jù)3組成一個(gè)新樣本，則新樣本的平均數(shù)不變，方差變小B．在成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中，兩個(gè)變量間的樣本相關(guān)系數(shù)越小，則它們的線性相關(guān)程度越弱C．?dāng)?shù)據(jù)m（m>50）D．依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷兩個(gè)分類變量X與Y之間是否有關(guān)聯(lián)，經(jīng)計(jì)算得χ2=9.342>7.879=x0.005，則可以認(rèn)為“【答案】AC【解題思路】利用平均數(shù)與方差的定義可判斷A；由相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B；利用百分位的定義求解可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可判斷D.【解答過程】一個(gè)樣本的平均數(shù)為3，若添加一個(gè)新數(shù)據(jù)3組成一個(gè)新樣本，則新樣本的平均數(shù)不變，根據(jù)方差公式，可知方差變小，故A正確；兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)r越小，則兩者的線性相關(guān)程度越弱，故B錯(cuò)誤；除m外，剩余數(shù)據(jù)的極差為80?41=39，因?yàn)樗袛?shù)據(jù)的極差為40，且m>50，所以m?41=40?m=81.把數(shù)據(jù)技從小到大題序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81.由11×81%=8.92，所以這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為第9個(gè)，為零假設(shè)為H0:X與Y相互獨(dú)立，即X與Y沒有關(guān)聯(lián)，由可知依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為“X與Y故選：AC.10．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）某人工智能公司近5年的利潤(rùn)情況如下表所示：第x年12345利潤(rùn)y／億元23457已知變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)用最小二乘法建立的回歸直線方程為y=1.2x+a，則下列說法正確的是（A．a(chǎn)=0.6 B．變量y與x之間的線性相關(guān)系數(shù)C．預(yù)測(cè)該人工智能公司第6年的利潤(rùn)約為7.8億元 D．殘差絕對(duì)值的最大值為0.4【答案】ACD【解題思路】首先求出x、y，根據(jù)回歸直線方程必過x,y，即可求出a，即可判斷A；從而得到回歸直線方程，根據(jù)x與y成正相關(guān)，即可得到相關(guān)系數(shù)r>0，即可判斷B；再令x=6求出【解答過程】依題意x=15因?yàn)榛貧w直線方程為y=1.2x+a必過樣本中心點(diǎn)則215=1.2×3+a回歸直線方程為y=1.2x+0.6，則x與y成正相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)r>0當(dāng)x=6時(shí)，y=1.2×6+0.6=7.8當(dāng)x=1時(shí)，y=1.2×1+0.6=1.8，殘差絕對(duì)值為1.8?2當(dāng)x=2時(shí)，y=1.2×2+0.6=3，殘差絕對(duì)值為3?3當(dāng)x=3時(shí)，y=1.2×3+0.6=4.2，殘差絕對(duì)值為4.2?4當(dāng)x=4時(shí)，y=1.2×4+0.6=5.4，殘差絕對(duì)值為5.4?5當(dāng)x=5時(shí)，y=1.2×5+0.6=6.6，殘差絕對(duì)值為6.6?7所以殘差絕對(duì)值的最大值為0.4，故D正確；故選：ACD.11．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)科所發(fā)明了一種防治玉米病蟲害的新藥，為了解該藥的效果，選用了100粒玉米種子進(jìn)行試驗(yàn)栽種，栽種后發(fā)現(xiàn)這批玉米種子抗病蟲害的概率為0.8．在制作2×2列聯(lián)表時(shí)，由于某些因素，缺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，得到如下2×2列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的有（

）抗病蟲害不抗病蟲害合計(jì)種子經(jīng)過該藥處理60種子沒有經(jīng)過該藥處理14合計(jì)100參考公式與臨界值表，χ2=n(ad?bc)P0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．這100粒玉米種子沒有經(jīng)過該藥處理且抗病蟲害的有20粒B．這100粒玉米種子中抗病蟲害的有84粒C．χ2的觀測(cè)值D．按99.9%【答案】AD【解題思路】由這批玉米種子抗病蟲害的概率為0.8，可求得抗病蟲害的有80粒，從而可得二階列聯(lián)表，并可求出卡方值來作出各選項(xiàng)判斷.【解答過程】這100粒玉米種子中抗病蟲害的有100×0.8=80（粒），可得2×2列聯(lián)表如下：抗病蟲害不抗病蟲害合計(jì)種子經(jīng)過該藥處理60666種子沒有經(jīng)過該藥處理201434合計(jì)8020100由以上2×2列聯(lián)表可知，A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2因此按99.9%故選:AD．三、填空題12．（2025·山東德州·三模）已知變量y與x線性相關(guān)，由樣本點(diǎn)1,y1,2,y2,?,5,y5求得的回歸直線方程為y【答案】12【解題思路】根據(jù)題意，求得y=15x+95，利用樣本中心【解答過程】由點(diǎn)1,y1在回歸直線y=15x+a所以回歸直線方程為y=又由樣本中心(3,y)在回歸直線上，可得所以i=15故答案為：12.13．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）近年來，政府相關(guān)部門引導(dǎo)鄉(xiāng)村發(fā)展旅游業(yè)，助力鄉(xiāng)村振興，建設(shè)了旅游景點(diǎn)“秘境大峽谷”，景區(qū)內(nèi)有大型瀑布群、森林覆蓋率達(dá)98%，是天然氧吧，避暑勝地，吸引了大量游客．據(jù)統(tǒng)計(jì)該景點(diǎn)2020年份20202021202220232024年份代碼x12345游客人次／萬人6791012已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，每年第三季度游客人次y（萬人）關(guān)于年份代碼x的線性回歸方程y=1.5x+a．那么預(yù)計(jì)該景點(diǎn)2025年第三季度的游客人次約為萬人．【答案】13.3【解題思路】求出樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線方程求出a的值，將x=6代入回歸方程，即可求得答案.【解答過程】由題意得x=3,y=而樣本中心點(diǎn)一定在回歸直線上，∴a即得線性回歸方程為y=1.5x+4.3，所以2025年第三季度，即當(dāng)x=6時(shí)，y=1.5×6+4.3=13.3，故答案為：13.3.14．（2025·上海黃浦·三模）針對(duì)“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的13，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的23，若根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考數(shù)據(jù)及公式如下：參考公式：χ2=n【答案】48【解題思路】設(shè)男生人數(shù)為x，依題意列出列聯(lián)表，分析出根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則χ2≥6.635，再代入χ2的公式求出x【解答過程】設(shè)男生人數(shù)為x，依題意可得列聯(lián)表為喜歡追星不喜歡追星總計(jì)男生x2xx女生xxx總計(jì)2x5x3x根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則χ2由χ2=3x由題意知，x應(yīng)為6的整數(shù)倍，所以若根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有48人.故答案為：48.四、解答題15．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為p，求p的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附χ2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)9(2)有關(guān)【解題思路】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,求出χ2,然后與小概率值α=0.001對(duì)應(yīng)的臨界值10.828【解答過程】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病，所以p的估計(jì)值為180200（2）零假設(shè)為H0根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，χ2根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過16．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）糧食是一個(gè)國(guó)家發(fā)展的基石，保障糧食安全是維護(hù)社會(huì)穩(wěn)定的重要因素.小麥?zhǔn)俏覈?guó)兩大口糧作物之一，其