第3章代數(shù)式第1部分期中考情分析《代數(shù)式》是七年級(jí)數(shù)學(xué)從“算術(shù)計(jì)算”向“代數(shù)抽象”過渡的核心章節(jié)，是后續(xù)學(xué)習(xí)一元一次方程、函數(shù)的基礎(chǔ)框架，期中考試中覆蓋選擇、填空、解答全題型。其中，列代數(shù)式（結(jié)合實(shí)際情境）、整式概念辨析是基礎(chǔ)必考點(diǎn)，代數(shù)式求值常與有理數(shù)運(yùn)算結(jié)合形成中檔題，整體難度梯度清晰，側(cè)重考察“從具體到抽象”的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化。期中考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考察形式1.代數(shù)式的定義與書寫規(guī)范1.明確定義：用運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)/字母的式子（單獨(dú)數(shù)或字母也是代數(shù)式）；2.掌握規(guī)范：數(shù)字寫字母前（如3a)、除法寫分?jǐn)?shù)(如a2)、帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù)(如2123.區(qū)分代數(shù)式與等式/不等式(不含“=”“>”“<”)1.基礎(chǔ)必考題，多為選擇/填空(1題)；2.典型考法：判斷是否為代數(shù)式、改正不規(guī)范書寫；3.偶考新定義符號(hào)(如“※”)的代數(shù)式判斷2.列代數(shù)式1.結(jié)合情境(行程：路程=速度×?xí)r間；價(jià)格：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；幾何：周長(zhǎng)/面積)析數(shù)量關(guān)系；2.翻譯文字：如“比a大3”為a+3，“b2的2倍”為23.注意隱含條件：如“減少20%”即“原數(shù)×(120%)”1.高頻重點(diǎn)題，覆蓋多題型：基礎(chǔ)題：選擇/填空(12題)列簡(jiǎn)單式；中檔題：解答題(1題)列復(fù)雜式(如分段收費(fèi))；2.?？冀Y(jié)合圖表提信息列代數(shù)式3.代數(shù)式的值1.掌握步驟：①代入(注意符號(hào)、分母≠0)；②計(jì)算(遵有理數(shù)運(yùn)算順序)；2.理解值的意義：如2x+5中，x=3時(shí)值為11；3.處理特殊值：x=?2時(shí)x2=4，x=1.期中必考題，覆蓋全題型：基礎(chǔ)題：選擇/填空(1題)直接代入；中檔題：解答題(1小問)化簡(jiǎn)后代值；2.偶考代入x=1,2,3找值的規(guī)律4.單項(xiàng)式1.明確定義：數(shù)與字母的積(單獨(dú)數(shù)/字母也是，如5、a)；2.核心要素：①系數(shù)(含符號(hào)，如?3xy2系數(shù)為3，πr2系數(shù)為π)；②次數(shù)(字母指數(shù)和，如3.區(qū)分非單項(xiàng)式(如x+y、2x1.高頻基礎(chǔ)題，多為選擇/填空(1題)；2.典型考法：判斷是否為單項(xiàng)式、求系數(shù)/次數(shù)(易錯(cuò)：漏系數(shù)符號(hào)、誤將π當(dāng)字母)5.多項(xiàng)式1.明確定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和(如2x2.核心要素：①項(xiàng)(含符號(hào)，如x3?2x+5的項(xiàng)為x3、?2x3.正確命名多項(xiàng)式1.高頻易錯(cuò)點(diǎn)，多為選擇/填空(1題)；2.典型考法：求項(xiàng)/常數(shù)項(xiàng)/次數(shù)、判斷命名是否正確(易錯(cuò)：漏項(xiàng)的符號(hào)、誤判最高次項(xiàng))6.整式的概念與分類1.明確定義：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式；2.區(qū)分非整式：分母含字母的式子(如xy、13.按標(biāo)準(zhǔn)分類：①單項(xiàng)式/多項(xiàng)式；②按次數(shù)（如一次、二次整式），常數(shù)項(xiàng)屬0次整式1.高頻基礎(chǔ)題，多為選擇/填空（1題）；2.典型考法：篩選整式并分類、判斷是否為整式；3.偶考與有理數(shù)分類邏輯類比第2部分期中必備知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)01代數(shù)式的概念與識(shí)別1.定義用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方，注意：不含等號(hào)“=”、不等號(hào)“>”“<”“≥”“≤”“≠”）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式。 單獨(dú)的一個(gè)數(shù)（如5、3、π）或一個(gè)字母（如x、a、b）也是代數(shù)式（可看作“運(yùn)算符號(hào)連接0個(gè)運(yùn)算的式子”）。2.核心要點(diǎn)類別示例是否為代數(shù)式理由分析代數(shù)式2x+3、a2?b、?7是僅含運(yùn)算符號(hào)（或單獨(dú)數(shù)/字母）非代數(shù)式2x+1=5、3y<8否含等號(hào)/不等號(hào)，屬于等式/不等式3.易錯(cuò)提示 不要將“代數(shù)式”與“等式”“不等式”混淆：關(guān)鍵看是否含“=”“<”“>”等關(guān)系符號(hào)，有則不是代數(shù)式。 代數(shù)式的書寫不影響其本質(zhì)：如x×3（可寫成3x)、a÷2(可寫成a2知識(shí)點(diǎn)02列代數(shù)式1.核心原則“先讀先寫、先算先括”——根據(jù)文字描述的順序，先出現(xiàn)的數(shù)量先寫，需要先計(jì)算的部分用括號(hào)括起來。2.常見數(shù)量關(guān)系與規(guī)范寫法文字描述代數(shù)式書寫規(guī)范提示比x的2倍多32x+3“倍”用乘法，“多”用加法a的平方與b的差a“平方”先算，直接寫ax與y的和的平方(x+y“和”先算，必須加括號(hào)，避免寫成x+m的131分?jǐn)?shù)系數(shù)寫在字母前，倒數(shù)表示為“1/字母”溫度由t℃下降5t?5“下降”用減法，單位不寫入代數(shù)式單價(jià)為a元的商品，買n件的總價(jià)an數(shù)字與字母、字母與字母相乘，乘號(hào)可省略(不寫成a×n)3.易錯(cuò)提示 帶分?jǐn)?shù)與字母相乘：需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，如“212與x的積”應(yīng)寫成52x，而非 除法運(yùn)算：優(yōu)先用分?jǐn)?shù)表示，如“a除以b(b≠0)”應(yīng)寫成ab，而非a÷b 負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)代入時(shí)的括號(hào)：若描述中含負(fù)數(shù)，列代數(shù)式時(shí)可保留符號(hào)，如“比2大x的數(shù)”寫成?2+x。知識(shí)點(diǎn)03代數(shù)式的值1.定義用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式規(guī)定的運(yùn)算順序計(jì)算出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值(代數(shù)式的值隨字母取值的變化而變化)。2.求代數(shù)式值的步驟1.代入：將字母的具體值代入代數(shù)式中對(duì)應(yīng)的位置，注意： 若代入的是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)或含運(yùn)算的式子，需加括號(hào)(如x=3時(shí)，x2應(yīng)寫成(?3)2 代入后，原代數(shù)式中的運(yùn)算符號(hào)、括號(hào)保持不變。計(jì)算：按照“先乘方，再乘除，最后加減；有括號(hào)先算括號(hào)里”的運(yùn)算順序計(jì)算。3.示例已知x=?2，求代數(shù)式3x解： 代入：3×(?2 計(jì)算：3×4+4+1=12+4+1=174.易錯(cuò)提示 符號(hào)錯(cuò)誤：代入負(fù)數(shù)時(shí)漏加括號(hào)，如將(?2)2算成 運(yùn)算順序錯(cuò)誤：如計(jì)算2x?3(x=5)時(shí)，誤算為(2×5)?3=7(正確)，但計(jì)算2(x?3)(x=5)時(shí)，漏算括號(hào)導(dǎo)致2×5?3=7(正確應(yīng)為2×2=4)。知識(shí)點(diǎn)04單項(xiàng)式1.定義由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式(單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式，如5、a)。 特征：不含加法、減法運(yùn)算(若含，需能化簡(jiǎn)為積的形式，如2x+3x=5x，化簡(jiǎn)后5x是單項(xiàng)式，但原式2x+3x是多項(xiàng)式)。2.單項(xiàng)式的兩個(gè)核心要素要素定義示例分析(以?23x2y系數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)(包括前面的符號(hào))?23x2y的系數(shù)是?23；次數(shù)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)之和(不含數(shù)字的指數(shù))?23x2y3.易錯(cuò)提示 系數(shù)符號(hào)：不要忽略系數(shù)的負(fù)號(hào)，如?5xy的系數(shù)是?5，而非5； π的處理：π是無(wú)理數(shù)(常數(shù))，不是字母，因此2πa的次數(shù)是1(僅a的指數(shù))，系數(shù)是2π； 單獨(dú)字母的系數(shù)與次數(shù)：如“a”的系數(shù)是1(省略不寫)，次數(shù)是1(省略不寫)，不要誤判為系數(shù)0或次數(shù)0； 數(shù)字單項(xiàng)式的次數(shù)：如“8”“3”等常數(shù)項(xiàng)，次數(shù)均為0(無(wú)字母，指數(shù)和為0)。知識(shí)點(diǎn)05多項(xiàng)式1.定義幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式(多項(xiàng)式中必含加法或減法運(yùn)算)。 示例：2x2?3x+5(由單項(xiàng)式2x22.多項(xiàng)式的核心要素要素定義示例分析(以3x項(xiàng)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式(包括前面的符號(hào))項(xiàng)為：3x3y、?2x2常數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)是?7(單獨(dú)的數(shù))次數(shù)多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)(即“最高次項(xiàng)的次數(shù)”)最高次項(xiàng)是3x項(xiàng)數(shù)多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)(項(xiàng)的個(gè)數(shù))共4項(xiàng)，因此該多項(xiàng)式是“四次四項(xiàng)式”3.多項(xiàng)式的命名規(guī)則“幾次幾項(xiàng)式”——先寫“次數(shù)”(最高次項(xiàng)的次數(shù))，再寫“項(xiàng)數(shù)”(項(xiàng)的個(gè)數(shù))，如： x2?4：最高次項(xiàng)是 ?5a3b+2ab?14.易錯(cuò)提示 項(xiàng)的符號(hào)：多項(xiàng)式的項(xiàng)包含前面的符號(hào)，如x?y+2的項(xiàng)是x、?y、2，而非x、y、2； 次數(shù)判斷：誤將“所有項(xiàng)的次數(shù)之和”當(dāng)作多項(xiàng)式的次數(shù)，如x2+xy的次數(shù)是2(最高次項(xiàng)x2 項(xiàng)數(shù)計(jì)數(shù)：不要漏數(shù)常數(shù)項(xiàng)，如3x?1是二項(xiàng)式(含3x和?1)，而非一項(xiàng)式。知識(shí)點(diǎn)06整式的概念1.定義單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式(整式的本質(zhì)是“分母中不含字母”，若分母含字母，則為分式，不屬于整式)。2.整式的分類(知識(shí)體系)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式：?jiǎn)为?dú)的數(shù)、單獨(dú)的字母、數(shù)與字母的積(如5、a、3xy^2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和(如2x+1、x^2xy+3)3.整式與非整式的區(qū)分式子是否為整式理由分析3x2是分別為單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，分母不含字母2x、x+1否分母含字母(x、y)，屬于分式π、2πr是π是常數(shù)，分母不含字母4.易錯(cuò)提示 分式與整式的混淆：如x2是整式(分母是常數(shù)2，可看作12x 含根號(hào)的式子：若根號(hào)下不含字母(如2)，是整式(常數(shù)項(xiàng))；若根號(hào)下含字母(如x），初中階段暫不歸類為整式（后續(xù)學(xué)習(xí)無(wú)理式）。第3部分期中?？碱}型【題型1】代數(shù)式的識(shí)別與書寫規(guī)范1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：判斷一個(gè)式子是否為代數(shù)式（不含“=”“>”“<”“≥”“≤”“≠”等關(guān)系符號(hào)，單獨(dú)的數(shù)或字母也是代數(shù)式）； 考點(diǎn)2：代數(shù)式的書寫規(guī)范（乘號(hào)省略/用“?”、除法寫成分?jǐn)?shù)、數(shù)字在前字母在后、帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù)）。2.解題攻略 第一步：判斷式子是否含關(guān)系符號(hào)，含則不是代數(shù)式； 第二步：若為代數(shù)式，按書寫規(guī)則逐一檢查（如“a×3”需改為“3a”，“112a【例題1】．（20242025?榆中縣期末）下列式子中，符合代數(shù)式書寫格式的是（）A．a(chǎn)÷c B．a(chǎn)×5 C．2nm D．【變式題11】．（20242025?西吉縣校級(jí)期末）下列各式中，書寫格式正確的是（）A．3?12 B．mn C．213【變式題12】．（20242025?通道縣期末）下列各式中，代數(shù)式的個(gè)數(shù)是（）①12；②26+38；③ab＝ba；④1x+y；⑤2a﹣1；⑥a；⑦12(aA．5 B．6 C．7 D．8【變式題13】．（20242025?湛江校級(jí)期末）下列各式中，符合代數(shù)式書寫規(guī)范的是（）A．a(chǎn)÷﹣b B．2a3 C．4×m D．1【題型2】代數(shù)式意義的解讀1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：理解代數(shù)式所表示的數(shù)量關(guān)系(如“a2?5”表示“a的平方與 考點(diǎn)2：結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景解讀代數(shù)式含義(如“3x”可表示“3千克蘋果，每千克x元的總價(jià)”)。2.解題攻略 第一步：按運(yùn)算順序拆分代數(shù)式(先算乘方/乘除，后算加減)； 第二步：結(jié)合題干場(chǎng)景(如購(gòu)物、幾何、行程)，用文字清晰表述運(yùn)算關(guān)系，避免混淆運(yùn)算順序(如“(a+b)2”與“【例題2】．（20242025?昭陽(yáng)區(qū)期末）某商店舉辦促銷活動(dòng)，促銷的方法是將原價(jià)為x元的衣服以(710x+4)A．原價(jià)加上4元后再打7折 B．原價(jià)打7折后再加上4元 C．原價(jià)加上4元后再打3折 D．原價(jià)打3折后再加上4元【變式題21】．（20242025?威縣校級(jí)期末）下列代數(shù)式用自然語(yǔ)言的表示中錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2表示a，b兩數(shù)的平方和減去它們乘積的2倍 B．m+2n表示m與n的2倍的和 C．a(chǎn)2+b2表示a與b的平方的和 D．（a+b）（a﹣b）表示a，b兩數(shù)的和與差的乘積【變式題22】．（20242025?平城區(qū)期末）代數(shù)式（a﹣b）2的意義是（）A．a(chǎn)，b兩數(shù)的平方差 B．a(chǎn)與b的差的平方 C．a(chǎn)與b的平方的差 D．b，a兩數(shù)的平方差【變式題23】．（20242025?邗江區(qū)期末）九月開學(xué)季，書店開展優(yōu)惠活動(dòng)，某套名著原價(jià)為m元，現(xiàn)售價(jià)為（0.7m﹣10）元，則下列說法符合題意的是（）A．原價(jià)減10元后再打7折 B．原價(jià)打7折后再減10元 C．原價(jià)打3折后再減10元 D．原價(jià)減10元后再打3折【題型3】列代數(shù)式(基礎(chǔ)實(shí)際問題)1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：抓取實(shí)際問題中的關(guān)鍵詞(如“多”“少”“倍”“分”“和”“差”“積”“商”)； 考點(diǎn)2：將文字描述的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式(如“x的2倍與3的差”表示為“2x?3”)。2.解題攻略 第一步：確定核心變量(用字母表示未知量，如設(shè)“單價(jià)為x元”)； 第二步：根據(jù)關(guān)鍵詞確定運(yùn)算順序(如“比x的12多5”先算“12x”，再算“+5 第三步：若結(jié)果帶單位且代數(shù)式為和/差形式，整體加括號(hào)(如“(2x+3)元”)?！纠}3】．（20242025?蓬溪縣校級(jí)期末）對(duì)于“x，y兩數(shù)和的平方的2倍”，下列用代數(shù)式表示正確的是（）A．2x2+y2 B．2x2+2y2 C．2（x+y）2 D．2（x+y）【變式題31】．（20242025?長(zhǎng)沙校級(jí)開學(xué)）男生有a人，女生人數(shù)比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人數(shù)的式子是（）A．4a﹣5 B．4a+5 C．（a﹣5）÷4 D．a(chǎn)÷4﹣5【變式題32】．（20242025?江陵縣期末）超市出售某商品，先在原標(biāo)價(jià)a的基礎(chǔ)上提價(jià)20%，再打8折，則商品現(xiàn)售價(jià)為（）A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a【變式題33】．（20242025?延長(zhǎng)縣期末）小明在超市買回若干個(gè)相同的紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起．如圖①，3個(gè)紙杯的高度為11cm；如圖②，5個(gè)紙杯的高度為13cm．若把n個(gè)這樣的紙杯疊放在一起，則高度為（）A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm【題型4】直接代入求代數(shù)式的值1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：代數(shù)式的值的定義(用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按運(yùn)算順序計(jì)算的結(jié)果)； 考點(diǎn)2：代入時(shí)的符號(hào)處理(如字母取負(fù)數(shù)/分?jǐn)?shù)時(shí)需加括號(hào))、運(yùn)算順序(先乘方，再乘除，后加減)。2.解題攻略 第一步：“代”——用已知數(shù)值替換代數(shù)式中的字母(如x=?2時(shí)，x2需寫為“(?2)2 第二步：“算”——按“先乘方、再乘除、后加減”的順序計(jì)算(有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi))； 第三步：“驗(yàn)”——檢查代入符號(hào)是否正確、運(yùn)算步驟是否有誤。【例題4】．（20242025?海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，則代數(shù)式2m﹣n的值為（）A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4【變式題41】．（20242025?瓊中縣一模）當(dāng)x＝4時(shí)，則2x+1的值是（）A．3 B．7 C．8 D．9【變式題42】．（20242025?乳山市期末）當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式ax3+bx﹣2的值為2，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，該多項(xiàng)式的值是（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【變式題43】．（20242025?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）若a＝﹣2，則a2A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【題型5】正反比例關(guān)系的判斷1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：正比例關(guān)系(兩個(gè)量比值一定，即y=kx，k≠0)； 考點(diǎn)2：反比例關(guān)系(兩個(gè)量乘積一定，即xy=k，k≠0)； 考點(diǎn)3：區(qū)分“相關(guān)聯(lián)的量”與“成比例的量”(如“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)和寬”不成比例)。2.解題攻略 第一步：確定兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量(如“路程、速度、時(shí)間”中的“速度”和“時(shí)間”)； 第二步：判斷兩個(gè)量的積是否為定值(反比例)或比值是否為定值(正比例)； 第三步：排除非定值情況(如“差一定”“和一定”的兩個(gè)量不成比例)?！纠}5】．（20242025?威縣校級(jí)開學(xué)）下面各項(xiàng)中，兩種量不成正比例關(guān)系的是（）A．單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量 B．圓柱體底面積一定，體積和高 C．長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一定，面積和寬 D．工作總量一定，工作效率與工作時(shí)間【變式題51】．（20242025?東港區(qū)校級(jí)開學(xué)）當(dāng)a（a≠0）一定時(shí)，下面式子中x和y成正比例的是（）A．xy÷a＝1 B．x÷1a=y C．a(chǎn)÷x＝y(tǒng) D．a(chǎn)+【變式題52】．（20242025?路北區(qū)期末）下列等式中，a，b兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（）A．a(chǎn)+b＝0 B．a(chǎn)b＝﹣1 C．2a＝3b D．b＝2a【變式題53】．（20242025?德城區(qū)期末）如表中x和y兩個(gè)量成反比例關(guān)系，則“△”處應(yīng)填（）x7△y514A．19.6 B．2.5 C．3.5【題型6】整體代入求代數(shù)式的值(提升)1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：整體思想的應(yīng)用(無(wú)法單獨(dú)求字母值時(shí)，將含字母的式子視為一個(gè)整體)； 考點(diǎn)2：待求式與已知式的變形關(guān)聯(lián)(如已知“a?2b=3”，求“2a?4b+5”需先變形為“2(a?2b)+5”)。2.解題攻略 第一步：觀察已知式與待求式的結(jié)構(gòu)(找相同的“整體”，如“a2+a”“ 第二步：對(duì)已知式或待求式進(jìn)行等價(jià)變形(如將“4a2?6b 第三步：將整體值代入變形后的待求式，計(jì)算結(jié)果(注意符號(hào)和系數(shù))。【例題6】．（20242025?古藺縣期末）若2x﹣3y＝5，則10﹣4x+6y＝（）A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣2【變式題61】．（20242025?淮南期末）若x2+x+1的值是8，則4x2+4x+9的值是（）A．37 B．25 C．32 D．0【變式題62】．（20242025?河南期末）已知x2+3x+5的值為3，則代數(shù)式3x2+9x﹣3的值為（）A．0 B．﹣9 C．﹣7 D．3【變式題63】．（20242025?隆回縣期末）若3a﹣2b＝5，則8+9a﹣6b＝．【題型7】程序框圖中的代數(shù)式求值(提升)1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：理解程序框圖的邏輯分支(如“x≥0”與“x<0”對(duì)應(yīng)不同代數(shù)式)； 考點(diǎn)2：含循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序中循環(huán)周期的尋找(如多次運(yùn)算后結(jié)果重復(fù)出現(xiàn))； 考點(diǎn)3：程序與代數(shù)式的轉(zhuǎn)化(將流程轉(zhuǎn)化為分段代數(shù)式)。2.解題攻略 第一步：理清程序流程(從輸入到輸出的每一步判斷條件和運(yùn)算，標(biāo)注關(guān)鍵分支)； 第二步：若輸入值明確，按流程分步計(jì)算(如輸入x=5，先判斷x是否滿足條件，再代入對(duì)應(yīng)代數(shù)式)； 第三步：若含循環(huán)(如多次輸出)，計(jì)算前3?5次結(jié)果，找循環(huán)周期(如“5→1→5→1?”周期為2)，再用“總次數(shù)÷周期”求余數(shù)確定結(jié)果?！纠}7】．（20242025?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入x＝﹣9，則最后輸出的結(jié)果是．【變式題71】．（20242025?五蓮縣期末）根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序，若輸出的值為y＝﹣1，則輸入的值x為（）A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1【變式題72】．（20242025?嶧城區(qū)期末）如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入?3A．﹣2 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣27【變式題73】．（20242025?平輿縣期末）按照如圖所示的操作步驟進(jìn)行計(jì)算，若輸入的值為﹣4，則輸出的值為（）A．﹣10 B．28 C．﹣52 D．80【題型8】幾何圖形中列代數(shù)式與求值(提升)1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：結(jié)合幾何公式(面積、周長(zhǎng)、體積)列代數(shù)式(如長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，用字母表示長(zhǎng)/寬)； 考點(diǎn)2：不規(guī)則圖形的面積拆分(如陰影面積=整體面積?空白面積)； 考點(diǎn)3：代入數(shù)值計(jì)算幾何量(需注意單位統(tǒng)一)。2.解題攻略 第一步：確定圖形類型，回憶對(duì)應(yīng)公式(如圓的面積S=πr2，梯形面積 第二步：用字母表示未知量(如設(shè)圓的半徑為r，梯形的上底為a)，根據(jù)公式列代數(shù)式； 第三步：若求不規(guī)則圖形面積，采用“補(bǔ)全法”或“拆分法”轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再列代數(shù)式； 第四步：代入已知數(shù)值(如π取3.14，r=2)，計(jì)算結(jié)果并標(biāo)注單位?！纠}8】．（20242025?寧陽(yáng)縣期末）下面四個(gè)整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．x2+3（x+2） D．（x+3）（x+2）﹣2x【變式題81】．（20242025?上城區(qū)期末）如圖，在周長(zhǎng)為60的長(zhǎng)方形ABCD中放入6個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，若小長(zhǎng)方形面積為S，長(zhǎng)為x，寬為y（x＞y），則（）A．若x＝2y，則AD＝AB B．若x＝4y，則AD＝2AB C．若x＝5，則S＝19 D．若x，y為整數(shù)，則S＝18【變式題82】．（20242025?桓臺(tái)縣期末）如圖1，將一張長(zhǎng)方形紙板的四角各減去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形（陰影部分），制成如圖2的無(wú)蓋紙盒．若該紙盒的容積為2a2b，則原長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為（）A．4a+2b B．2ab C．12a+2b D．4ab【變式題83】．（20242025?西崗區(qū)期末）如圖，某學(xué)校操場(chǎng)最內(nèi)側(cè)的跑道由兩段直道和兩段半圓形的彎道組成，其中直道的長(zhǎng)為a，半圓形彎道的直徑為b．用代數(shù)式表示這條跑道的周長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)+2πb B．2a+πb C．a(chǎn)2+πb2 D．2a+πb2【題型9】數(shù)式規(guī)律探索(單維度)(提升)1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：數(shù)字序列的規(guī)律(如差值恒定、比值恒定、與序號(hào)的乘方關(guān)系，如“2,5,8,11?”差值為3)； 考點(diǎn)2：等式序列的規(guī)律(如“1×3+1=22， 考點(diǎn)3：用含n(序號(hào))的代數(shù)式表示第n項(xiàng)規(guī)律。2.解題攻略 第一步：列出“序號(hào)n”與“對(duì)應(yīng)數(shù)值/等式”的表格(n=1,2,3,?)； 第二步：分析數(shù)值變化規(guī)律——若差值恒定(如每次加3)，則第n項(xiàng)為“首項(xiàng)+3(n?1)”；若與乘方相關(guān)(如21,22, 第三步：驗(yàn)證規(guī)律(將n=1,2,3代入代數(shù)式，看是否與已知值一致)； 第四步：根據(jù)規(guī)律求指定項(xiàng)(如n=2024時(shí)的數(shù)值)?！纠}9】．（20242025?科左后旗期末）觀察下面的等式：第1個(gè)等式：13第2個(gè)等式：44第3個(gè)等式：75第4個(gè)等式：106…按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）：．【變式題91】．（20242025?樂清市期末）在一些日歷牌上，我們可以發(fā)現(xiàn)日期數(shù)滿足某些規(guī)律．如圖是2025年6月的日歷牌．若任意選擇縱向的連續(xù)三個(gè)日期數(shù)，計(jì)算第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的乘積減去中間數(shù)的平方，發(fā)現(xiàn)：9×23﹣162＝﹣49；5×19﹣122＝﹣49．（1）根據(jù)題目所給規(guī)律，再選擇一個(gè)試一試，看看結(jié)果是否都相同．（2）請(qǐng)用代數(shù)式運(yùn)算的知識(shí)說明理由．【變式題92】．（20242025?濉溪縣校級(jí)期中）閱讀下面的文字，完成后面的問題．我們知道11×2=1?12（1）依照上述規(guī)律，則可列式14×5=，12024×2025（2）用含n的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：．（3）求式子11×2【變式題93】．（20242025?南寧期末）【問題提出】妹妹：“哥哥，我有一種快速算出75×75的方法，先用100×7×8，再加上25，得到結(jié)果是5625．”妹妹的話引發(fā)了哥哥的興趣．他通過查閱資料，圍繞速算“兩個(gè)兩位數(shù)相乘的積”的規(guī)律開展了一系列探究活動(dòng)．【活動(dòng)1】閱讀材料：用ab表示一個(gè)兩位數(shù)，a代表十位上的數(shù)，b代表個(gè)位上的數(shù)，即ab=10a+b觀察思考：請(qǐng)觀察下列運(yùn)算規(guī)律15×15＝100×1×2+5×5＝225，25×25＝100×2×3+5×5＝625，35×35＝100×3×4+5×5＝1225，……（1）根據(jù)閱讀材料，可知：a5=（2）觀察運(yùn)算規(guī)律，猜想：a5×a5【推理證明】（3）結(jié)合以上內(nèi)容，請(qǐng)你證明（2）中的猜想．【活動(dòng)2】（4）如果b+c＝10，類比上述探究過程，請(qǐng)你用一個(gè)式子表示速算ab×【題型10】圖形規(guī)律探索(多維度)(培優(yōu))1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：圖形數(shù)量與序號(hào)的多維度關(guān)聯(lián)(如圖形由“固定部分+變化部分”組成，變化部分與n的倍數(shù)/乘方相關(guān))； 考點(diǎn)2：圖形結(jié)構(gòu)的規(guī)律(如“第n個(gè)圖形由n層組成，每層有特定數(shù)量的小圖形”)； 考點(diǎn)3：復(fù)雜圖形的拆分分析(如“小正方形拼接的大圖形，分內(nèi)層和外層計(jì)數(shù)”)。2.解題攻略 第一步：拆分圖形組成(如將“三角形圖案”拆分為“頂點(diǎn)部分+邊上部分”，或“固定1個(gè)+每次增加3個(gè)”)； 第二步：列多組“序號(hào)n?圖形數(shù)量”數(shù)據(jù)(如n=1時(shí)4個(gè)，n=2時(shí)7個(gè)，n=3時(shí)10個(gè))，計(jì)算相鄰數(shù)量的差值/比值； 第三步：推導(dǎo)通項(xiàng)公式(如差值為3，首項(xiàng)為4，則第n項(xiàng)為“3n+1”)，并驗(yàn)證3組以上數(shù)據(jù)； 第四步：若圖形有多層/多部分，分別列各部分的代數(shù)式，再求和得到總數(shù)量?！纠}10】．（20242025?撫順縣期末）某種杯子的高度是15cm，兩個(gè)以及三個(gè)這樣的杯子疊放時(shí)高度如圖，n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度是（用含n的式子表示）．【變式題101】．（20242025?樂陵市校級(jí)開學(xué)）下面是用棋子擺成的“小屋子”．?dāng)[第1個(gè)這樣的“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個(gè)這樣的“小屋子”需要11枚棋子，擺第n個(gè)這樣的“小屋子”需要枚棋子．【變式題103】．（20242025?蚌埠三模）數(shù)學(xué)興趣小組在計(jì)算15×15，25×25，36×34等兩位數(shù)乘法時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)十位上的數(shù)字相同、個(gè)位上的數(shù)字之和為10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)可以用圖形面積來分解計(jì)算：由上圖可得15×15＝10×20+5×5＝225；由上圖可得25×25＝20×30+5×5＝625；由上圖可得36×34＝30×40+6×4＝1224．（1）請(qǐng)你幫助數(shù)學(xué)興趣小組畫出計(jì)算62×68的面積分解圖并計(jì)算；（2）設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字分別為b，c，請(qǐng)用含a，b，c的代數(shù)式表示出你發(fā)現(xiàn)的計(jì)算規(guī)律，并證明．【題型11】代數(shù)式與實(shí)際問題綜合(分段計(jì)費(fèi)/方案選擇)(培優(yōu))1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：分段計(jì)費(fèi)場(chǎng)景的代數(shù)式表示(如打車費(fèi)=起步價(jià)+超里程費(fèi)用，分“里程≤3km”和“里程>3km”)； 考點(diǎn)2：方案選擇中的代數(shù)式比較(如兩種收費(fèi)方式，計(jì)算不同用量下的費(fèi)用，選擇更優(yōu)方案)； 考點(diǎn)3：實(shí)際問題中的取值范圍(如人數(shù)、數(shù)量為正整數(shù))。2.解題攻略 第一步：確定分段標(biāo)準(zhǔn)(如打車的3km、水費(fèi)的10噸)，分情況列代數(shù)式； 第二步：明確每段的單價(jià)/計(jì)費(fèi)規(guī)則(如超3km后每千米2.4元)，寫出對(duì)應(yīng)代數(shù)式(如里程x>3時(shí)，費(fèi)用=10+2.4(x?3))； 第三步：方案選擇時(shí)，設(shè)未知量(如用量為x)，分別列兩種方案的代數(shù)式W1、W2，解方程 第四步：結(jié)合實(shí)際取值范圍(如x為正整數(shù))，確定最終方案。【例題11】．（20242025?吉林二模）某停車場(chǎng)為24小時(shí)營(yíng)業(yè)，其收費(fèi)方式如表所示，已知某輛車某日17：00進(jìn)入該停車場(chǎng)，停了x小時(shí)（x為正整數(shù)），若該輛車于當(dāng)日的21：00～24：00間離場(chǎng)，則此次停車的費(fèi)用為元．（用含有x的式子表示）停車時(shí)長(zhǎng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過3小時(shí)的部分5元/小時(shí)超過3小時(shí)的部分3元/小時(shí)【變式題111】．（20242025?南昌期末）如圖是某種窗戶的形狀（實(shí)線為窗框），其上部是半圓形，下部是邊長(zhǎng)相同的四個(gè)小正方形，已知下部的小正方形的邊長(zhǎng)為am．（結(jié)果用π表示）（1）求窗戶的面積；（2）求窗框的總長(zhǎng)；（3）若a＝1，窗戶上安裝的是玻璃，玻璃每平方米25元，窗框每米20元，窗框的厚度不計(jì)，求制作這種窗戶需要的費(fèi)用．【變式題112】．（20242025?石獅市期末）某超市在春節(jié)期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，規(guī)定如下：一次性購(gòu)物優(yōu)惠辦法低于200元不予優(yōu)惠不低于200元，但低于500元九折優(yōu)惠不低于500元500元部分給八折優(yōu)惠，超過500元部分給七折優(yōu)惠春節(jié)期間，小亮兩次到該超市購(gòu)物，已知這兩次優(yōu)惠前的貨款共計(jì)800元，其中第一次優(yōu)惠前的貨款為a元（200＜a＜300），若用含a的代數(shù)式表示兩次購(gòu)物的總付費(fèi)，則小亮應(yīng)付的總費(fèi)用是元．【變式題113】．（20242025?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）某家具廠設(shè)計(jì)一款新中式屏風(fēng)，結(jié)構(gòu)如下：屏風(fēng)整體為長(zhǎng)方形，其中包含3個(gè)形狀、大小完全相同的“梅花”藝術(shù)造型．每個(gè)“梅花”造型是由1個(gè)正方形和4個(gè)半圓形構(gòu)成，該造型采用藝術(shù)玻璃制作，屏風(fēng)其余部分使用實(shí)木材料（本題中π取3，長(zhǎng)度單位為米）．（1）制作一扇該屏風(fēng)需要多少平方米的藝術(shù)玻璃？需要多少平方米的實(shí)木材料？（請(qǐng)用含x、y的代數(shù)式表示）（2）某酒店需要定制50扇該屏風(fēng)，在同等工藝的前提下，甲、乙兩個(gè)廠商報(bào)價(jià)如下：甲廠商：實(shí)木材料每平方米800元，藝術(shù)玻璃每平方米500元，總價(jià)打九折；乙廠商：實(shí)木材料每平方米700元，藝術(shù)玻璃每平方米600元，且每購(gòu)買1平方米實(shí)木材料贈(zèng)送0.1平方米的藝術(shù)玻璃．當(dāng)x＝0.1，y＝2時(shí)，制作一扇該屏風(fēng)分別需要多少平方米的藝術(shù)玻璃和實(shí)木材料？該酒店在哪家廠商購(gòu)買屏風(fēng)合算，最終總費(fèi)用是多少元？【題型12】跨學(xué)科結(jié)合的代數(shù)式問題(培優(yōu))1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：提取跨學(xué)科場(chǎng)景中的數(shù)量關(guān)系(如物理中的“路程=速度×?xí)r間”、化學(xué)中的“物質(zhì)質(zhì)量=密度×體積”)； 考點(diǎn)2：將學(xué)科關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式(如設(shè)速度為v，時(shí)間為t，則路程s=vt)； 考點(diǎn)3：結(jié)合學(xué)科常識(shí)確定變量取值(如速度為正數(shù)，密度為定值)。2.解題攻略 第一步：回憶對(duì)應(yīng)學(xué)科的核心公式(如科學(xué)中“功率P=Wt”，W為功， 第二步：用字母表示未知量(如設(shè)W為x，t為y，則P=x 第三步：若含變化關(guān)系（如“功率一定時(shí)，功與時(shí)間的關(guān)系”），判斷正反比例（P一定，W與t成正比例，即W=Pt）； 第四步：代入學(xué)科數(shù)據(jù)（如P=20W，t=5s），計(jì)算代數(shù)式的值，結(jié)合學(xué)科單位作答。【例題12】．（20242025?上蔡縣校級(jí)月考）物理學(xué)中的杠桿原理可用公式“F1?L1＝F2?L2”表示．若L1＝1，L2＝2，F(xiàn)1＝6，則F2＝．【變式題121】．（20242025?綏棱縣校級(jí)期中）在物理電學(xué)中，常用公式U＝IR1+IR2+IR3求串聯(lián)電路的總電壓，當(dāng)R1＝28.3，R2＝61.5，R3＝10.2，I＝3.1時(shí)，電壓U的值為（）A．200 B．210 C．300 D．310【變式題122】．（20242025?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個(gè)按鈕，溫水和開水共用一個(gè)出水口．利用圖中信息解決下列問題：（整個(gè)接水過程不計(jì)熱量損失）物理常識(shí)開水和溫水混合時(shí)會(huì)發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為“開水的體積×開水降低的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度”．例：10ml的開水與25ml溫水混合至50度，熱傳遞關(guān)系為：10×（100﹣50）＝25×（50﹣30）（1）王老師拿空水杯先接了14s的溫水，又接了8s的開水，剛好接滿，且水杯中的水溫為t℃．①王老師的水杯容量為ml；②開水放出的熱量為（結(jié)果用含t的代數(shù)式表示）（2）小李同學(xué)拿空水杯先接了一會(huì)兒溫水，又接了一會(huì)兒開水，得到一杯體積為420ml，溫度為40℃的水，求小李同學(xué)接溫水和開水的時(shí)間分別為多少秒？【變式題123】．（20242025?蓮湖區(qū)期末）睡眠是打開創(chuàng)造力大門的一把神奇鑰匙．科學(xué)研究表明，10至50歲的人每天所需睡眠時(shí)間H（小時(shí)）可用公式H=110?N10（A．8.6 B．8.8 C．9.6 D．9.8【題型13】新定義下的代數(shù)式應(yīng)用(培優(yōu))1.期中考考點(diǎn)總結(jié) 考點(diǎn)1：理解新定義規(guī)則(如定義“a※b=a2?2b 考點(diǎn)2：將新定義轉(zhuǎn)化為常規(guī)代數(shù)式運(yùn)算(如根據(jù)“a※b”的規(guī)則，代入具體數(shù)值計(jì)算)； 考點(diǎn)3：新定義與規(guī)律、求值的結(jié)合(如按新定義找序列規(guī)律)。2.解題攻略 第一步：逐字分析新定義(圈畫關(guān)鍵運(yùn)算，如“a※b=(a+b)(a?b)”本質(zhì)是平方差)； 第二步：將新定義中的字母替換為已知數(shù)值或代數(shù)式(如a=3，b=2時(shí)，3※2=(3+2)(3?2)=5)； 第三步：若含多步新定義運(yùn)算(如“a※(b※c)”)，先算括號(hào)內(nèi)的“b※c”，再算外層運(yùn)算； 第四步：若與規(guī)律結(jié)合，按新定義計(jì)算前3項(xiàng)，推導(dǎo)第n項(xiàng)的代數(shù)式?！纠}13】．（20242025?沾化區(qū)期末）定義a﹣b＝0，則稱a、b互容，若2x2﹣2與x+4互容，則6x2﹣3x﹣9＝．【變式題131】．（20242025?和平區(qū)期末）定義一種運(yùn)算“△”，對(duì)于兩個(gè)有理數(shù)a和b，有a△b＝ab﹣（a+b），例如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，則（﹣1）△（m﹣2）＝（用含m的代數(shù)式表示）．【變式題132】．（20242025?東陽(yáng)市期末）在教科書第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》中，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的五種運(yùn)算，學(xué)會(huì)了研究運(yùn)算的方法，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：a★b＝■，定義的內(nèi)容被遮蓋住了，觀察各式，并回答下列問題：2★4＝2×4﹣2﹣4＝2；3★（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3+1＝﹣5；（﹣9）★5＝（﹣9）×5+9﹣5＝﹣41．（1）請(qǐng)你補(bǔ)全定義內(nèi)容：a★b＝．（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）先計(jì)算（﹣7）★2和2★（﹣7），再說明新定義的運(yùn)算“★”是否滿足交換律，即a★b＝b★a是否成立．（3）若m★（﹣8）＝11★m，求m的值．【變式題133】．（20242025?深圳期末）類比用字母表示數(shù)，我們用“σ”來表示某種運(yùn)算．對(duì)于任意元素a，b，若aσb＝bσa，那么這種運(yùn)算滿足交換律；若存在元素e，滿足aσe＝eσa＝a，則稱e為“σ運(yùn)算”下的單位元；若兩個(gè)元素經(jīng)過“σ運(yùn)算”后得到單位元，則這兩個(gè)元素互為“σ運(yùn)算”下的逆元．例如，在有理數(shù)范圍內(nèi)，加法滿足交換律，減法則不滿足交換律，加法運(yùn)算下的單位元是0，互為相反數(shù)的兩個(gè)有理數(shù)也互為加法運(yùn)算下的逆元．（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)，乘法運(yùn)算下的單位元是，﹣5在乘法運(yùn)算下的逆元是；（2）若a，b表示兩個(gè)有理數(shù)，定義運(yùn)算“*”，其運(yùn)算法則為：a*b＝2ab﹣a﹣b+1，例如，若a＝2，b＝3，則a*b＝2×2×3﹣2﹣3+1＝8．①“*運(yùn)算”是否滿足交換律．（填“是”或“否”）；②求出“*運(yùn)算”下的單位元；③是否存在有理數(shù)在“*運(yùn)算”下不存在逆元？若有，求出這個(gè)（些）數(shù)；若沒有，請(qǐng)說明理由．同步練習(xí)一．選擇題（共5小題）1．下列代數(shù)式符合書寫要求的是（）A．112m B．m×3 C．m÷2n2．某班有45名學(xué)生，其中25名男生的平均身高為m厘米，20名女生的平均身高為n厘米，則全班45名學(xué)生的平均身高為（）厘米．A．m+n2 B．m+nC．25m+20n45 D．3．當(dāng)x＝2時(shí)，ax+3的值是5；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式ax﹣3的值是（）A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．24．下面四個(gè)整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x5．下列問題情境中，不能用代數(shù)式“4b”表示的是（）A．購(gòu)買4瓶單價(jià)為b元的飲料所需的錢數(shù) B．購(gòu)買b瓶單價(jià)為4元的飲料所需的錢數(shù) C．若一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為b，則4b表示該正方形的周長(zhǎng) D．若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是4，個(gè)位數(shù)字是b，則4b表示這個(gè)兩位數(shù)二．填空題（共5小題）6．若m＝4，n=?34，則代數(shù)式﹣2m﹣4n的值是7．若a2﹣2a﹣4＝0，則代數(shù)式3a2﹣6a+1＝．8．魯班鎖是我國(guó)古代傳統(tǒng)建筑的固定結(jié)合器，也是一種廣泛流傳的益智玩具（圖（1）），其中六根魯班鎖中一個(gè)構(gòu)件的一個(gè)面的尺寸如圖（2）所示，這個(gè)面的面積為．9．用代數(shù)式表示“m與n和的平方”：．10．已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，且|m|＝3，則a+b2024+c