第6章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)全章八大基礎(chǔ)題型歸納（舉一反三講義·基礎(chǔ)篇）【蘇教版】題型1題型1求冪函數(shù)的函數(shù)值、解析式1．（2425高一上·重慶·期末）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過(guò)點(diǎn)9,3，則f4=A．2 B．8 C．2 D．16【答案】A【解題思路】由點(diǎn)求得函數(shù)解析式即可求解；【解答過(guò)程】設(shè)y=fx則3=9n，解得：所以f4故選：A.2．（2425高一上·河南·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,14，則該函數(shù)的解析式為（A．f(x)=1x2 B．f(x)=x2 【答案】A【解題思路】由冪函數(shù)定義可設(shè)f(x)=xα，由條件列方程求【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx為冪函數(shù)，故可設(shè)f(x)=因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象過(guò)點(diǎn)2,所以2α所以α=?2，所以f(x)=x?2，即故選：A.3．（2526高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知冪函數(shù)y=fx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,4，則fx=【答案】x【解題思路】將點(diǎn)2,4代入冪函數(shù)解析式求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閥=fx是冪函數(shù)，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,4，設(shè)f則f2=2α=4故答案為：x24．（2425高一上·陜西西安·期中）已知冪函數(shù)fx(1)求f1(2)若f2a+1=fa【答案】(1)16(2)a=?1或a=?【解題思路】（1）由冪函數(shù)的定義求得m=4或m=3，再檢驗(yàn)即可求得函數(shù)表達(dá)式，代入求值即可；（2）由偶函數(shù)性質(zhì)可得2a+1=【解答過(guò)程】（1）由題意知m2?7m+13=1，解得m=4或當(dāng)m=4時(shí)，fx當(dāng)m=3時(shí)，fx∴fx=x（2）由fx=x?4和f2a+1=fa∴a=?1或a=?15．（2425高一上·河南鄭州·期中）已知冪函數(shù)f(x)=(m2?4m+4)?(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若f(1?2x)<f(x+2)，求x的取值范圍．【答案】(1)f(x)=(2)(?1【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，單調(diào)性計(jì)算求參即可.（2）根據(jù)單調(diào)性求不等式.【解答過(guò)程】（1）由冪函數(shù)f(x)=(m2?4m+4)?可得{m2?4m+4=12m?4>0，解得（2）由函數(shù)f(x)=x2圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在則f(1?2x)<f(x+2)可化為|1?2x|<|x+2|，平方得4x化簡(jiǎn)得3x2?8x?3<0，解得?13題型2題型2冪函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題1．（2425高一上·上海寶山·期中）冪函數(shù)f(x)=x12A．x≥0 B．[0,+∞) C．x>0 【答案】B【解題思路】利用冪函數(shù)的定義直接求出定義域.【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)=x12故選：B.2．（2425高一上·遼寧盤(pán)錦·階段練習(xí)）下列四組函數(shù)中，同組兩個(gè)函數(shù)的值域相同的是（

）A．fx=x2與gxC．fx=x12與g【答案】C【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【解答過(guò)程】對(duì)于A，fx=x2的定義域?yàn)镽，∵x2gx=x對(duì)于B，fx=x?1的定義域?yàn)間x=x?2=對(duì)于C，fx=x12gx=x23對(duì)于D，fx=x?1的定義域?yàn)間x=x故選：C.3．（2425高一上·湖南·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=a2+a?5xa的定義域是【答案】2【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)為1，求出a的值，再結(jié)合冪函數(shù)的定義域進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=a2+a?5解得a=2或a=?3，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)fx=x當(dāng)a=?3時(shí)，函數(shù)fx=x綜上所述，a=2.故答案為：2.4．（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）求下列冪函數(shù)的定義域．(1)y=x(2)y=x(3)y=x【答案】(1)R(2)0,+(3)?【解題思路】利用冪指數(shù)為分?jǐn)?shù)的意義即為根式，來(lái)求定義域.【解答過(guò)程】（1）由冪函數(shù)y=x13（2）由冪函數(shù)y=x?3（3）由冪函數(shù)y=x?15．（2425高一上·陜西商洛·期中）已知冪函數(shù)fx①fx在0,+②對(duì)?x∈R，都有f求同時(shí)滿足①②的冪函數(shù)fx的解析式，并求出x∈1,4時(shí)，【答案】fx=【解題思路】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)條件可確定fx【解答過(guò)程】因?yàn)閒x在0,+∞上為增函數(shù)，所以?m又?2<m<2,m∈Z，所以，m=?1或m=0又因?yàn)閒?x=fx，所以f當(dāng)m=?1時(shí)，?m2?2m+3=4滿足題意；當(dāng)m=0所以fx又因?yàn)閒x=x所以fxmin=f故x∈1,4時(shí)，fx的值域是題型3題型3指數(shù)函數(shù)的判定及求參1．（2425高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．y=x3 B．y=(?4)x C．【答案】D【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.【解答過(guò)程】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如y=axa>0對(duì)于A：y=x對(duì)于B：y=(?4)x中對(duì)于C：y=5對(duì)于D：y=5故選：D.2．（2526高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)y=(7?2a)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A．?∞,72 B．?∞,3 【答案】C【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的定義列出限制條件，求解不等式組可得答案.【解答過(guò)程】由指數(shù)函數(shù)的定義得7?2a>0,7?2a≠1,解得a<72，且a≠3，故a故選：C.3．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)y=(4?3a)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】(?【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)定義可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)y=(4?3a)x是指數(shù)函數(shù)，所以需滿足解得a<43且a≠1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：(?∞4．（2425高一下·全國(guó)·課堂例題）判斷下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)，哪些是冪函數(shù)：(1)y=x；(2)y=x(3)y=e(4)y=3(5)y=2(6)y=2【答案】(1)冪函數(shù)(2)冪函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)(4)冪函數(shù)(5)指數(shù)函數(shù)(6)指數(shù)函數(shù)【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的定義逐一判斷即可得解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樾稳鐈=ax（a>0且形如y=xa（a∈R（2）y=x（3）y=e（4）y=3（5）y=2（6）y=25．（2425高一上·陜西寶雞·期末）已知函數(shù)f(x)=(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)判斷F(x)=【答案】(1)f(x)=(2)F(x)是偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析【解題思路】（1）由指數(shù)函數(shù)定義即可列方程求解；（2）由偶函數(shù)定義即可判斷并得證.【解答過(guò)程】（1）∵函數(shù)f(x)=(a2?2a?2)∴a可得a=3或a=?1(舍去)，∴f(x)=（2）F(x)是偶函數(shù)，證明如下：F(x)=f(x)+1f(x)=∵F(?x)=3∴F(x)是偶函數(shù)．題型4題型4指數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域1．（2425高一上·河南·階段練習(xí)）函數(shù)fx=8?A．R B．0,3 C．?∞,3 【答案】C【解題思路】根據(jù)被開(kāi)方式大于等于0求解定義域，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，函數(shù)fx則函數(shù)8?2x≥0所以x≤3.故選：C.2．（2425高一上·福建福州·期中）函數(shù)f(x)=(12A．0,2 B．0,2 C．2,+∞ D．【答案】B【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)值域求出值域.【解答過(guò)程】依題意，x2?2x=(x?1)2?1≥?1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1則0<(12)x故選：B.3．（2425高一上·山東青島·階段練習(xí)）函數(shù)y=9x+3x+1【答案】2,16【解題思路】函數(shù)可化為y=3x+【解答過(guò)程】由題意可得：y=9因?yàn)閤∈0,1時(shí)，則3根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性知，x=0時(shí)，y取得最小值為1+3?2=2；x=1時(shí)，y取得最大值為9+9?2=16；所以函數(shù)y的值域是2,16故答案為：2,164．（2425高一上·福建南平·期中）已知函數(shù)f(x)=a?2x(1)求a的值；(2)求函數(shù)fx【答案】(1)1(2)fx的定義域?yàn)镽；值域?yàn)椤窘忸}思路】（1）由f1（2）由（1）可得fx=2【解答過(guò)程】（1）由題意知，函數(shù)fx的圖象過(guò)點(diǎn)1,13解得a=1；（2）由（1）知函數(shù)fx∵2x>0，2x+1>1，即因?yàn)閒x又∵2x∈0,+∞，所以fx的值域?yàn)?1,15．（2425高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=a?3x+1(1)求fx(2)求當(dāng)x∈0,1時(shí)，函數(shù)g【答案】(1)f(2)?【解題思路】（1）利用奇函數(shù)定義及性質(zhì)，列式計(jì)算求出a，b作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出函數(shù)gx【解答過(guò)程】（1）由函數(shù)fx=a?3x+13x所以fx?x∈R，f即?x∈R，b?3x經(jīng)驗(yàn)證得a=3，b=1時(shí)，fx所以fx（2）由（1）知，gx令t=3x，x∈0,1于是函數(shù)gx變?yōu)閥=對(duì)稱(chēng)軸為t=32，所以y=t2?3t+2因此當(dāng)t=3x=32時(shí)，g所以函數(shù)gx的值域?yàn)?題型5題型5指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題1．（2425高三上·山西·期中）已知函數(shù)fx=aax2?2x（a>0，且a≠1A．0,17∪C．0,17∪【答案】D【解題思路】分兩種情況討論，當(dāng)0<a<1和a>1分別對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論.【解答過(guò)程】由題意可知，該函數(shù)為指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，令g(x)=ax2?2x，對(duì)稱(chēng)軸為x=1a，則要使fx=aax2當(dāng)a>1時(shí)，要使fx=aax2?2x則1a≤4，則a≥1綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,1故選：D.2．（2425高一上·寧夏銀川·期中）設(shè)指數(shù)函數(shù)fx=axa>0且a≠1，則“a>1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系直接判斷即可.【解答過(guò)程】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，“fx是增函數(shù)”?“a>1所以“a>1”是“fx故選：C.3．（2425高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）函數(shù)y=2x2【答案】?【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解答過(guò)程】因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)u=x2?5x?6的單調(diào)遞減區(qū)間為?外層函數(shù)y=2u在R上為增函數(shù)，故函數(shù)y=2故答案為：?∞4．（2425高一上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=m?9(1)當(dāng)m=32時(shí)，求(2)若fx單調(diào)遞增，求m【答案】(1)?3,+(2)3【解題思路】（1）當(dāng)m=32代入fx（2）通過(guò)（1）可知只需y=mt2?3t?m在1,+∞上單調(diào)遞增，分別討論m=0，【解答過(guò)程】（1）當(dāng)m=32時(shí)，令t=3x，則t>1，故所以fx的值域?yàn)?3,+（2）由（1）可得fx=y=mt因?yàn)閠=3x在要使fx在0,+∞上單調(diào)遞增，只需y=mt①當(dāng)m=0時(shí)，y=?3t在1,+∞②當(dāng)m<0時(shí)，y=mt③當(dāng)m>0時(shí)，則需32m≤1，解得：所以m的取值范圍是325．（2425高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)a的值.(2)試判斷fx的單調(diào)性并證明，并求f(3)解關(guān)于x的不等式f4【答案】(1)a=1(2)fx單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析，fx的值域?yàn)?3)0,2【解題思路】（1）根據(jù)f?x=?fx（2）定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取點(diǎn)，作差，變形判號(hào)，下結(jié)論，并由y=2（3）由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，得到4x【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故fa?2?x?1故a?1=0，解得a=1；（2）由（1）知，fx=2x?1任取x1,xfx因?yàn)閤1<x2，y=2又2x所以fx1?f所以fx在Ry=2x?12x故fx的值域?yàn)?1,1（3）因?yàn)閒x是定義域?yàn)镽故f4由（2）知，fx在R所以4x<5×2則t2?5t+4<0，解得故2x∈1,4不等式的解集為0,2.題型6題型6求對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值或解析式1．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx=logaxA．－1 B．1 C．12 D．【答案】B【解題思路】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式計(jì)算求得，即a=2，即fx=log【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=logax的圖象過(guò)點(diǎn)(8,3)則a3=8，解得a=2，所以fx故選:B．2．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M9,?2，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

A．y=log2xC．y=log13【答案】C【解題思路】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式求參即可.【解答過(guò)程】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為y=logM9,?2代入可得?2=所以a?2則對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=log故選：C.3．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)y=loga4?x（a>0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)0,2，則函數(shù)的解析式為【答案】y=【解題思路】把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，可求出a=2，即可求解.【解答過(guò)程】由題可得loga4?0=2因?yàn)閍>0，且a≠1，所以a=2，故函數(shù)解析式為y=log故答案為：y=log4．（2425高一上·安徽合肥·期中）已知對(duì)數(shù)函數(shù)fx=logax（a>0【答案】0；?1；1.【解題思路】由fx=logax【解答過(guò)程】由題意知f9=loga9=2，即a所以a=3，fx所以f1f1f35．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知對(duì)數(shù)函數(shù)fx=logax（a>0(1)求f16(2)若函數(shù)gx=f2?x【答案】(1)2(2)x【解題思路】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式，再求值即可；（2）求出表達(dá)式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到真數(shù)為正，構(gòu)造不等式組計(jì)算即可．【解答過(guò)程】（1）由題意可得f4=loga4=1，可得a=4（2）gx其中2?x>0,2+x>0，解得?2<x<2，此時(shí)函數(shù)gx的定義域?yàn)閤題型7題型7對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域1．（2526高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)中，定義域?yàn)?,+∞的是（

A．fx=lgC．fx=log【答案】B【解題思路】利用對(duì)數(shù)式有意義的條件即可求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，即可得解.【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)：令x2?4>0，解得x>2或則定義域?yàn)?∞對(duì)于B選項(xiàng)：令x?2>0，解得x>2，定義域?yàn)?,+∞對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)?x>0，所以2x對(duì)于D選項(xiàng)：令2x?2>0，解得x>1，定義域?yàn)?,+∞故選：B.2．（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）函數(shù)fx=log22xA．2,30 B．?C．?14,30【答案】A【解題思路】令t=log2x，t∈【解答過(guò)程】令t=log2x，因?yàn)閤∈因?yàn)閒=1+所以gt=t+1函數(shù)gt在區(qū)間0,4所以gtmin=g所以函數(shù)fx=log22x故選：A.3．（2025高二下·湖南株洲·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)fx=log32【答案】0,+【解題思路】先得到二次函數(shù)的值域，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】對(duì)于u=2x2?4x+3所以u(píng)min又fu=log3u所以當(dāng)u=1時(shí)，fu取得最小值，即f所以fx≥0，即函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?,+∞4．（2025高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若fx的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a(2)若fx的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a【答案】(1)0,4(2)4,+【解題思路】（1）根據(jù)題意得到ax2+ax+1>0（2）根據(jù)題意得到y(tǒng)=ax2+ax+1【解答過(guò)程】（1）函數(shù)fx=log則ax2+ax+1>0當(dāng)a=0時(shí)，1>0恒成立，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，有a>0Δ=a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,4．（2）函數(shù)fx=log則y=ax2+ax+1當(dāng)a=0時(shí)，y=1，不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，有a>0Δ=a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,+∞5．（2425高一上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)fx(2)若fx的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a(3)若fx在x∈2,+∞【答案】(1)0,+(2)?1<a<1(3)a≤【解題思路】（1）代入a=0，由x2（2）將條件轉(zhuǎn)化為x2?2ax+1>0在R上恒成立，利用（3）根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷計(jì)算.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=0時(shí)，fx令t=x2+1對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2t在0,+∞所以函數(shù)fx的值域?yàn)?,+（2）若fx的定義域?yàn)镽，則x2?2ax+1>0所以Δ=所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是?1<a<1.（3）二次函數(shù)m=x2?2ax+1對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2m若fx在x∈則a≤22所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤5題型8題型8對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題1．（2526高三上·山西太原·階段練習(xí)）函數(shù)y=lg10x?xA．0,5 B．?∞,5 C．5,10 【答案】A【解題思路】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域得到0<x<10，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間即可.【解答過(guò)程】由10x?x2>0由二次函數(shù)性質(zhì)得y=10x?x2在0,5上單調(diào)遞增，在由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得y=lgx在則y=lg10x?x故選：A.2．（2425高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)y=log12x2+ax+a?1在A．a(chǎn)≤4 B．a(chǎn)<4 C．a(chǎn)≤6 D．a(chǎn)<6【答案】B【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)y=log12所以y=x2+ax+a?1在?4，?3則?a2≥?3