2025年下學期高二數(shù)學抽象概括能力測試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.集合與邏輯的抽象表示已知集合(A={x\midf(x)=0})，(B={x\midg(x)=0})，則“方程(f(x)g(x)=0)的解集為(A\cupB)”是“函數(shù)(f(x))與(g(x))的定義域相同”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.函數(shù)性質(zhì)的抽象概括定義在(\mathbb{R})上的函數(shù)(f(x))滿足：對任意(x_1,x_2\in\mathbb{R})，均有(f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)-1)，且當(x>0)時，(f(x)>1)。則函數(shù)(f(x))的單調(diào)性為（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增3.數(shù)列遞推關(guān)系的抽象應(yīng)用已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，且(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})（(n\in\mathbb{N}^*)），則數(shù)列({a_n})的通項公式為（）A.(a_n=\frac{1}{n})B.(a_n=\frac{1}{2n-1})C.(a_n=2^{n-1})D.(a_n=n^2)4.三角函數(shù)的抽象運算已知角(\alpha,\beta)滿足(\sin\alpha+\cos\beta=2)，則(\cos\alpha+\sin\beta)的值為（）A.-1B.0C.1D.25.向量關(guān)系的抽象判斷在平面向量中，設(shè)非零向量(\vec{a},\vec)滿足(|\vec{a}+\vec|=|\vec{a}-\vec|)，則下列結(jié)論正確的是（）A.(\vec{a}\perp\vec)B.(|\vec{a}|=|\vec|)C.(\vec{a}\parallel\vec)D.(\vec{a}=\vec)6.立體幾何中的抽象體積關(guān)系在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(P)是棱(CC_1)上的動點，則三棱錐(P-ABD)的體積（）A.隨(P)點位置變化而增大B.隨(P)點位置變化而減小C.恒為(\frac{4}{3})D.恒為(\frac{8}{3})7.概率模型的抽象概括甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學題，已知甲解決該題的概率為0.6，乙解決該題的概率為0.5。記“甲解決該題”為事件(A)，“乙解決該題”為事件(B)，則“該題被解決”的概率為（）A.0.3B.0.5C.0.8D.0.98.導數(shù)幾何意義的抽象應(yīng)用已知函數(shù)(f(x))的導函數(shù)為(f'(x))，且(f'(1)=2)，則(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(1+\Deltax)-f(1-\Deltax)}{\Deltax}=)（）A.1B.2C.4D.69.不等式的抽象證明已知(a,b>0)，且(a+b=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{1})的最小值為（）A.2B.4C.6D.810.圓錐曲線定義的抽象應(yīng)用平面內(nèi)到定點(F(1,0))的距離與到定直線(x=-1)的距離相等的點的軌跡方程為（）A.(y^2=4x)B.(y^2=-4x)C.(x^2=4y)D.(x^2=-4y)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)定義域的抽象求解若函數(shù)(f(x))的定義域為([0,2])，則函數(shù)(g(x)=f(x+1)+f(x-1))的定義域為________。12.數(shù)列求和的抽象公式已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n=n^2+2n)，則數(shù)列({a_n})的通項公式(a_n=)________。13.立體幾何中的抽象角度計算在正三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，若(AB=AA_1)，則直線(AB_1)與平面(BB_1C_1C)所成角的正弦值為________。14.概率分布的抽象應(yīng)用隨機變量(X)的分布列為：|(X)|0|1|2||--------|---|---|---||(P)|(a)|(b)|(c)|若(E(X)=1)，則(a+2c=)________。15.導數(shù)應(yīng)用的抽象最值函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+3x)在區(qū)間([0,2])上的最大值為________。三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1))（(a>0)且(a\neq1)），且(f(1)=1)。（1）求(a)的值及函數(shù)(f(x))的定義域；（2）若(f(x)+f(x-1)>0)，求(x)的取值范圍。17.（本小題滿分12分）在等差數(shù)列({a_n})中，(a_3+a_5=14)，前(7)項和(S_7=49)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，(E)為(PD)的中點。（1）證明：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求三棱錐(E-PBC)的體積。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2x)。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最值。20.（本小題滿分13分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為(40)元，銷售單價為(x)元（(x\geq50)），且年銷售量(y)（萬件）與銷售單價(x)（元）的函數(shù)關(guān)系為(y=-0.1x+10)。（1）寫出年利潤(L)（萬元）關(guān)于銷售單價(x)（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，年利潤最大？最大年利潤是多少？21.（本小題滿分14分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，且(OA\perpOB)（(O)為坐標原點），求證：直線(l)恒過定點，并求出該定點的坐標。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題均做，按第一題計分）22.抽象函數(shù)的性質(zhì)探究定義在(\mathbb{R})上的函數(shù)(f(x))滿足：對任意(x,y\in\mathbb{R})，均有(f(xy)=f(x)+f(y))，且當(x>1)時，(f(x)>0)。（1）求(f(1))的值；（2）判斷函數(shù)(f(x))的奇偶性，并證明；（3）解不等式(f(x)+f(x-3)\leq0)。23.數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1