2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)試題（二）一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共10題）《九章算術(shù)》中的粟米比例問題《九章算術(shù)》“粟米章”記載：“粟米之法：粟率五十，糲米三十，粺米二十七……”若現(xiàn)有粟米15斗，按照此比例可換糲米（）A.6斗B.9斗C.12斗D.15斗解析：根據(jù)題意，粟米與糲米的兌換比例為50:30=5:3。設(shè)可換糲米x斗，則15:x=5:3，解得x=9。答案為B。祖沖之圓周率的近似值祖沖之在《綴術(shù)》中首次將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，其取值范圍是（）A.3.1415926~3.1415927B.3.14159~3.14160C.3.1415~3.1416D.3.141~3.142解析：祖沖之計(jì)算的π值為3.1415926＜π＜3.1415927，答案為A。劉徽割圓術(shù)的極限思想劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A.類比推理B.數(shù)形結(jié)合C.極限逼近D.分類討論解析：割圓術(shù)通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使多邊形面積無限接近圓面積，體現(xiàn)極限思想。答案為C。楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載的“開方作法本源圖”（楊輝三角），與西方的帕斯卡三角本質(zhì)一致。若將（a+b）?展開，其系數(shù)之和為（）A.16B.32C.64D.128解析：令a=1，b=1，則（1+1）?=32，即系數(shù)之和為32。答案為B?！秾O子算經(jīng)》中的雞兔同籠問題“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”若設(shè)雉有x只，兔有y只，則方程組正確的是（）A.(\begin{cases}x+y=35\2x+4y=94\end{cases})B.(\begin{cases}x+y=94\2x+4y=35\end{cases})C.(\begin{cases}x+y=35\4x+2y=94\end{cases})D.(\begin{cases}x+y=94\4x+2y=35\end{cases})解析：雉（雞）有1頭2足，兔有1頭4足，故根據(jù)頭數(shù)和足數(shù)可列方程組A。答案為A。秦九韶的“三斜求積術(shù)”秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積。”若三角形三邊長為3、4、5，用此法求面積為（）A.6B.12C.15D.20解析：設(shè)小斜a=3，中斜b=4，大斜c=5。代入公式：[S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}=\sqrt{\frac{1}{4}\left[25×9-\left(\frac{25+9-16}{2}\right)^2\right]}=\sqrt{\frac{1}{4}(225-81)}=6]。答案為A。《周髀算經(jīng)》中的勾股定理《周髀算經(jīng)》記載“勾廣三，股修四，徑隅五”，即勾股定理的特例。若直角三角形兩直角邊為5和12，則斜邊為（）A.13B.14C.15D.16解析：由勾股定理得斜邊=(\sqrt{5^2+12^2}=13)。答案為A。朱世杰的“四元術(shù)”元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中系統(tǒng)闡述“四元術(shù)”，即多元高次方程組的解法。若方程組(\begin{cases}x+y=5\xy=6\end{cases})的解為（x?,y?）、（x?,y?），則x?+y?=（）A.5B.6C.7D.8解析：方程x2-5x+6=0的兩根為2和3，故x?+y?=2+3=5（或3+2=5）。答案為A。古代計(jì)時(shí)與弧度制中國古代將一天分為12時(shí)辰，每個(gè)時(shí)辰對應(yīng)現(xiàn)在2小時(shí)。若“午時(shí)”（11:00-13:00）對應(yīng)的時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為（）A.(\frac{\pi}{6})弧度B.(\frac{\pi}{3})弧度C.(\frac{\pi}{2})弧度D.π弧度解析：時(shí)針12小時(shí)轉(zhuǎn)2π弧度，2小時(shí)轉(zhuǎn)(\frac{2\pi}{12}×2=\frac{\pi}{3})。答案為B。算盤的十進(jìn)制計(jì)數(shù)算盤是中國古代發(fā)明的計(jì)算工具，其橫梁上1珠代表5，下4珠各代表1。若算盤上某檔顯示為“上1下3”，表示的數(shù)字是（）A.3B.5C.8D.13解析：上1珠為5，下3珠為3，合計(jì)5+3=8。答案為C。二、填空題（每題5分，共4題）《海島算經(jīng)》的測量問題劉徽在《海島算經(jīng)》中提出“望海島”問題：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合?！比簟氨砀摺?丈=5步（1丈=5/3步），則海島高為______步。解析：設(shè)海島高為h步，兩表間距d=1000步，前表卻行a=123步，后表卻行b=127步。根據(jù)相似三角形得：(\frac{h}{d+b}=\frac{5}{b-a})，代入得h=(\frac{5×(1000+127)}{127-123}=1383.75)步。祖暅原理求體積祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，即兩幾何體若等高處截面積相等，則體積相等。已知圓錐體積公式為(V=\frac{1}{3}\pir^2h)，利用祖暅原理推導(dǎo)半球體積時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)與半球等底等高的______（填幾何體名稱），其體積與半球體積之和等于該幾何體體積。答案：圓柱《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”問題“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其最小正整數(shù)解為______。解析：滿足“除以3余2，除以7余2”的數(shù)為21k+2，當(dāng)k=1時(shí)，23滿足“除以5余3”，故答案為23。二項(xiàng)式定理與楊輝三角楊輝三角中第n行（從0開始計(jì)數(shù)）的數(shù)字之和為2?。則第8行數(shù)字之和為______。答案：2?=256三、解答題（共3題，共40分）割圓術(shù)與極限計(jì)算（12分）劉徽割圓術(shù)以圓內(nèi)接正六邊形為初始，逐步倍增邊數(shù)至正192邊形，得到π≈3.1416。（1）若圓半徑為1，求圓內(nèi)接正六邊形的周長；（2）設(shè)正n邊形邊長為a?，面積為S?，證明：(S_{2n}=\frac{1}{2}na_n)（提示：正2n邊形由n個(gè)以a?為底、高為半徑的等腰三角形組成）。解析：（1）正六邊形邊長等于半徑，周長C=6×1=6。（2）正2n邊形由2n個(gè)全等的等腰三角形組成，每個(gè)三角形底邊長為(\frac{a_n}{2})，高為(\sqrt{1^2-(\frac{a_n}{2})^2})，但根據(jù)提示簡化：(S_{2n}=n×\frac{1}{2}×a_n×1=\frac{1}{2}na_n)?！毒耪滤阈g(shù)》方程術(shù)（14分）《九章算術(shù)》“方程章”問題：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”（1）設(shè)上、中、下禾每秉實(shí)分別為x、y、z斗，列出方程組；（2）用加減消元法求解方程組。解析：（1）(\begin{cases}3x+2y+z=39\2x+3y+z=34\x+2y+3z=26\end{cases})（2）①-②得x-y=5→x=y+5，代入②③消x，解得y=4，x=9，z=2。答案：上禾9斗，中禾4斗，下禾2斗。傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的結(jié)合（14分）趙爽弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形（如圖），若直角三角形兩直角邊為a、b（a＞b），斜邊為c。（1）用含a、b的代數(shù)式表示大正方形面積S?和小正方形面積S?；（2）證明勾股定理：(a^2+b^2=c^2)；（3）若大正方形面積為25，小正方形面積為1，求直角三角形的面積。解析：（1）S?=(a+b)2，S?=(a-b)2；（2）S?=4×(\frac{1}{2}ab)+S?→(a+b)2=2ab+(a-b)2→a2+2ab+b2=2ab+a2-2ab+b2→化簡得a2+b2=c2；（3）由S?=25得c=5，S?=1得a-b=1，又a2+b2=25，解得ab=12，三角形面積為6。四、附加題（10分）數(shù)學(xué)史論述：結(jié)合劉徽、祖沖之、秦九韶等數(shù)學(xué)家的成就，談?wù)勚袊糯鷶?shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。參考答案：理論突破：劉徽割圓術(shù)