中考數(shù)學壓軸題目錄【中考壓軸1】動點問題 2【中考壓軸2】函數(shù)類問題 7【中考壓軸3】面積問題 14【中考壓軸4】三角形存在性問題 22【中考壓軸5】四邊形存在性問題 28【中考壓軸6】線段之間的關系問題 33【中考壓軸7】定值問題 39【中考壓軸8】幾何三大變換問題 44【中考壓軸9】實踐操作﹑問題探究問題 55【中考壓軸10】圓 64

【中考壓軸1】動點問題1．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點C（2，2）作x軸垂線，垂足為D，連接BC．現(xiàn)有動點P、Q同時從A點出發(fā)，分別沿AB、AD向終點B和終點D運動，若點P的運動速度為每秒個單位長度，點Q的運動速度為每秒2個單位長度．設運動的時間為t秒．（1）求A、B兩點的坐標；（2）當CQ∥AB時，t＝；（3）設△CPQ的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關系式，并求△CPQ面積的最大值；（4）當△CPQ為軸對稱圖形時，直接寫出t的值．2．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，動點M、N分別以每秒3個單位長度、4個單位長度的速度同時從A出發(fā)，點M沿折線A→B→C方向運動，點N沿折線A→C→B方向運動，點M達點B后，點M、點N的運動速度均變?yōu)槊棵?個單位長度運動，當兩點相遇時停止運動，設運動時間為t秒，點M、N的距離為y．（1）請直接寫出y關于t的函數(shù)表達式并直接寫出自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（3）當M，N兩點相距6個單位長度時，直接寫出t的值．3．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝4，AD＝8，點P是邊BC上的動點，線段AP的垂直平分線交矩形ABCD的邊于點M、N，其中點M在邊AB或BC上，點N在邊CD或DA上．（1）如圖2，當BP＝2時，求AM的長度；（2）當△AMN是等腰三角形時，求BP能取到的值或取值范圍；（3）當動點P由點B運動到點C的過程中，求點N的運動路程長為多少？4．如圖①，動點P從矩形ABCD的頂點A出發(fā)，以v1的速度沿折線A﹣B﹣C向終點C運動；同時，一動點Q從點D出發(fā)，以v2的速度沿DC向終點C運動，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動．點E為CD的中點，連接PE，PQ，記△EPQ的面積為S，點P運動的時間為t，其函數(shù)圖象為折線MN﹣NF和曲線FG（圖②），已知，ON＝4，NH＝1，點G的坐標為（8，0）．（1）點P與點Q的速度之比的值為；的值為；（2）如果OM＝15．①求線段NF所在直線的函數(shù)表達式；②求FG所在曲線的函數(shù)表達式；③是否存在某個時刻t，使得？若存在，求出t的取值范圍：若不存在，請說明理由．5．如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，BC＝3．點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC向終點C運動．同時，點Q也從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿射線BC運動．當點P到達點C時，P、Q同時停止運動．以PQ為對角線作矩形PNQM，PN∥AB．設矩形PNQM和△ACB重疊部分面積為S（S＞0），點P運動的時間為t秒．（1）線段PQ的長為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當點N落在AC上時，求t的值．（3）當點N在△ACB內部時，求S與t的之間函數(shù)關系式．（4）連結AM，當線段AM將矩形PNQM分成兩部分的面積比1：3時，直接寫出t的值．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，點D為AB的中點，動點P從點A出發(fā)．沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動．點P關于點D的對稱點為點Q，當點P不與點D重合時，以PQ為直角邊向上作等腰直角△QPM，使∠QPM＝90°．設點P的運動時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長．（2）當點M落在△ABC的邊上時，求t的值．（3）當△PQM與△ABC重疊部分為四邊形時，求重疊部分的面積S與t之間的關系式．（4）PM與△ABC的直角邊交于點N．當MQ垂直平分CN時，直接寫出t的值．7．【問題提出】如圖1，在矩形ABCD中，點E在BC上，且BE＝4．動點F以每秒1個單位的速度從點B出發(fā)，在折線段BA﹣AD上運動，連接EF，當EF⊥BC時停止運動，過點E作EG⊥EF，交矩形ABCD的邊于點G，連接FG．設動點F的運動路程為x，線段FG與矩形ABCD的邊圍成的三角形的面積為S．【初步感知】如圖2，動點F由點B向點A運動的過程中，經探究發(fā)現(xiàn)S是關于x的二次函數(shù)，如圖2所示，拋物線頂點P的坐標為（3，t），與y軸的交點N的坐標為（0，16），與x軸的交點為點M．（1）求矩形ABCD的邊AB和AD的長；【深入探究】（2）點F由點A向終點運動的過程中，求S關于x的函數(shù)表達式；【拓展延伸】（3）是否存在3個路程x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），當x3﹣x2＝x2﹣x1時，3個路程對應的面積S均相等．8．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，DC＝3cm，對角線AC、BD相交于點O，動點P、Q分別從點C、A同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿C→O→B運動．到點B停止，點Q沿A→D→C運動，到點C停止．連接AP、AQ、PQ，設△APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積為0的幾何圖形），點Q的運動時間為x（s）．（1）當PQ∥CD時，求x的值；（2）當時，求y與x之間的函數(shù)關系式；（3）直接寫出在整個運動過程中，使AQ＝PQ的所有x的值．【中考壓軸2】函數(shù)類問題1．如圖，拋物線交x軸正半軸于點A，過頂點C作CD⊥x軸于點D，OA＝CD．（1）求拋物線的解析式；（2）若﹣2≤x≤6時，則函數(shù)y的取值范圍是；（3）點P為CD右側第一象限拋物線上一點，過點P作PH⊥x軸于點H，點Q為y軸正半軸上一點，連接AQ、H，PQ延長線交x軸于點B，點N在y軸負半軸上，連接BN、AN，若∠BQA＝135°，∠ANB＝45°，求直線AN的解析式．2．如圖，拋物線y1＝ax2+bx+與x軸交于點A（﹣3，0），點B，點D是拋物線y1的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為點C（﹣1，0）．（1）求拋物線y1所對應的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點M是拋物線y1上一點，且位于x軸上方，橫坐標為m，連接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；（3）如圖2，將拋物線y1平移后得到頂點為B的拋物線y2．點P為拋物線y1上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線y2于點Q，過點Q作x軸的平行線，交拋物線y2于點R．當以點P，Q，R為頂點的三角形與△ACD全等時，請直接寫出點P的坐標．3．【建立模型】（1）在數(shù)學課上，老師出示這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經過點C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為點D和點E，求證：△ADC≌△CEB，請你寫出證明過程：【類比遷移】（2）勤奮小組在這個模型的基礎上，繼續(xù)進行探究問題；如圖2，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x+3的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點C，將線段AC繞點C順時針旋轉90°得到線段CB，反比例函數(shù)的圖象經過點B，請你求出反比例函數(shù)的解析式；【拓展延伸】（3）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，結合拋物線的圖象繼續(xù)深入探究：如圖3，一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點C，創(chuàng)新小組的同學發(fā)現(xiàn)在第一象限的拋物線y＝﹣x2+2x+3的圖象上存在一點P，連接PA，當∠PAC＝45°時，請你和創(chuàng)新小組的同學一起求出點P的坐標．4．已知：正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，設點B（4，4），點P（t，0）是x軸上一動點，過點O作OH⊥AP于點H，直線OH交直線BC于點D，連AD．（1）如圖1，當點P在線段OC上時，求證：OP＝CD；（2）在點P運動過程中，△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似時，求t的值；（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2+x+4上是否存在點Q，使得以P、D、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．5．拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和B（4，0），與y軸交于點C，連接BC．點P是線段BC下方拋物線上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交BC于M，交x軸于N，設點P的橫坐標為t．（1）求該拋物線的解析式；（2）用關于t的代數(shù)式表示線段PM，求PM的最大值及此時點M的坐標；（3）過點C作CH⊥PN于點H，S△BMN＝9S△CHM，①求點P的坐標；②連接CP，在y軸上是否存在點Q，使得△CPQ為直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3經過點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為該拋物線上一點，且點P的橫坐標為m．①當點P在直線AC下方時，過點P作PE∥x軸，交直線AC于點E，作PF∥y軸．交直線AC于點F，求PE+PF的最大值；②若∠PCB＝3∠OCB，求m的值．7．如圖1，拋物線y1＝ax2﹣3x+c的圖象與x軸的交點為A和B，與y軸交點為D（0，4），與直線y2＝﹣x+b交點為A和C，且OA＝OD．（1）求拋物線的解析式和b值；（2）在直線y2＝﹣x+b上是否存在一點P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）將拋物線y1圖象x軸上方的部分沿x軸翻折得一個“M”形狀的新圖象（如圖2），若直線y3＝﹣x+n與該新圖象恰好有四個公共點，請求出此時n的取值范圍．8．綜合運用如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）（2）若點A（4，3），求FC的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數(shù)表達式．9．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，OC＝3．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）過點A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；（3）點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；（4）若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．（1）求此拋物線的表達式；（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？【中考壓軸3】面積問題1．已知拋物線y＝ax2+bx+8過點B（4，8）和點C（8，4），與y軸交于點A．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AB，BC，點D在線段AB上（與點A，B不重合），點F是OA的中點，連接FD，過點D作DE⊥FD交BC于點E，連接EF，當△DEF面積是△ADF面積的3倍時，求點D的坐標；（3）如圖2，點P是拋物線上對稱軸右側的點，H（m，0）是x軸正半軸上的動點，若線段OB上存在點G（與點O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范圍．2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經過A（﹣2，0），B（0，4）兩點，直線x＝3與x軸交于點C．（1）求a，c的值；（2）經過點O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖1，二次函數(shù)y＝a（x+3）（x﹣4）圖象交坐標軸于點A，B（0，﹣2），點P為x軸上一動點．（1）求二次函數(shù)y＝a（x+3）（x﹣4）的表達式；（2）過點P作PQ⊥x軸分別交線段AB，拋物線于點Q，C，連接AC．當OP＝1時，求△ACQ的面積；（3）如圖2，將線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PD．當點D在拋物線上時，求點D的坐標．4．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點，P是拋物線上的動點，點P的橫坐標為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點E，AP交DE于點F，交y軸于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）設△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，當S1＝S2時，求點P的坐標；（3）連接BQ，點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內），且∠BMQ＝45°，在點P從點B運動到點C的過程中，點M也隨之運動，直接寫出點M的縱坐標t的取值范圍．5．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C，連接BC，點P是線段BC上的動點（與點B，C不重合），連接AP并延長AP交拋物線于點Q，連接CQ，BQ，設點Q的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；（2）當△BCQ的面積等于2時，求m的值；（3）在點P運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．6．如圖1，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+1與直線l2：x＝﹣2相交于點D，點A是直線l2上的動點，過點A作AB⊥l1于點B，點C的坐標為（0，3），連接AC，BC．設點A的縱坐標為t，△ABC的面積為s．（1）當t＝2時，請直接寫出點B的坐標；（2）s關于t的函數(shù)解析式為s＝，其圖象如圖2所示，結合圖1、2的信息，求出a與b的值；（3）在l2上是否存在點A，使得△ABC是直角三角形？若存在，請求出此時點A的坐標和△ABC的面積；若不存在，請說明理由．7．如圖拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣1，0），點C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點D、E是直線x＝1上的兩個動點，且DE＝1，點D在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值．（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標．8．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），C（0，﹣6），其對稱軸為直線x＝2．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若直線y＝﹣x+m將△AOC的面積分成相等的兩部分，求m的值；（3）點B是該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點，點D是直線x＝2上位于x軸下方的動點，點E是第四象限內該二次函數(shù)圖象上的動點，且位于直線x＝2右側．若以點E為直角頂點的△BED與△AOC相似，求點E的坐標．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左側），點C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點M，點N是CD的中點，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求拋物線的解析式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、F構成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長的最小值；（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L，且直線KL平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以直線x＝對稱軸的拋物線y＝ax2+bx+c與直線l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B兩點，與y軸交于C（0，5），直線l與y軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，G是拋物線上位于對稱軸右側的一點，若＝，且△BCG與△BCD面積相等，求點G的坐標；（3）若在x軸上有且僅有一點P，使∠APB＝90°，求k的值．【中考壓軸4】三角形存在性問題1．如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線F1：y＝a（x﹣）2+與x軸交于點A（﹣，0）和點B，與y軸交于點C．（1）求拋物線F1的表達式；（2）如圖2，將拋物線F1先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線F2，若拋物線F1與拋物線F2相交于點D，連接BD，CD，BC．①求點D的坐標；②判斷△BCD的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，拋物線F2上是否存在點P，使得△BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x＝1．（1）求拋物線的解析式；（2）點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設△MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數(shù)關系，并求S的最大值；（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．4．已知：一次函數(shù)y＝﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側）．（1）當A（4，2）時，求反比例函數(shù)的解析式及B點的坐標；（2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點C，連接BC交y軸于點D．若＝，求△ABC的面積．5．已知拋物線l：y＝ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為M，與y軸的交點為N，我們稱以N為頂點，對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．（1）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是，衍生直線的解析式是；（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；（3）如圖，設（1）中的拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為M，與y軸交點為N，將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，P是直線n上的動點，是否存在點P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根（OA＞OB）．（1）求點D的坐標．（2）求直線BC的解析式．（3）在直線BC上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．7．已知拋物線經過A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三點，一動點P從原點出發(fā)以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，連接BP，過點A作直線BP的垂線交y軸于點Q．設點P的運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）當BQ＝AP時，求t的值；（3）隨著點P的運動，拋物線上是否存在一點M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請直接寫t的值及相應點M的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點M．（1）求這條拋物線的解析式；（2）P為拋物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移個單位后得到的拋物線的解析式．【中考壓軸5】四邊形存在性問題1．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上．O為坐標原點，AB∥OC，線段OA，AB的長分別是方程x2﹣9x+20＝0的兩個根（OA＜AB），tan∠OCB＝．（1）求點B，C的坐標；（2）P為OA上一點，Q為OC上一點，OQ＝5，將△POQ翻折，使點O落在AB上的點O′處，雙曲線y＝的一個分支過點O′．求k的值；（3）在（2）的條件下，M為坐標軸上一點，在平面內是否存在點N，使以O′，Q，M，N為頂點四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．動點P從點B出發(fā)沿BC向點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發(fā)沿CD向點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．（1）求AB的長；（2）設BP＝x，問當x為何值時△PCQ的面積最大，并求出最大值；（3）探究：在AB邊上是否存在點M，使得四邊形PCQM為菱形？請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標系中，經過點A（4，0）的直線AB與y軸交于點B（0，4）．經過原點O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；（2）M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當MN∥y軸且MN＝2時，求點M的坐標；（3）P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PBC的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，直線y＝與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點，點A的坐標為（m，﹣3），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐標軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上．（1）請直接寫出線段BE與線段CD的關系：；（2）如圖2，將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉角α（0＜α＜360°），①（1）中的結論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；②當AC＝ED時，探究在△ABC旋轉的過程中，是否存在這樣的角α，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角α的度數(shù)；若不存在，請說明理由．7．已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：（1）當t為何值時，PQ∥BC；（2）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．【中考壓軸6】線段之間的關系問題1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊BC上，BD＝BC，將線段DB繞點D順時針旋轉至DE，記旋轉角為α，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側作等腰直角三角形CEF，連接AF．（1）如圖1，當α＝180°時，請直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關系；（2）當0°＜α＜180°時，①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，當B，E，F(xiàn)三點共線時，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．2．在?ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交對角線AC于點G，交射線AB于點E，將線段EB繞點E順時針旋轉α得線段EP．（1）如圖1，當α＝120°時，連接AP，請直接寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關系；（2）如圖2，當α＝90°時，過點B作BF⊥EP于點F，連接AF，請寫出線段AF，AB，AD之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）當α＝120°時，連接AP，若BE＝AB，請直接寫出△APE與△CDG面積的比值．3．在矩形ABCD中，點E是射線BC上一動點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，交直線CD于點F．（1）當矩形ABCD是正方形時，以點F為直角頂點在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，連接EH．①如圖1，若點E在線段BC上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關系是，位置關系是；②如圖2，若點E在線段BC的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF，M是BH中點，連接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．4．如圖，線段AB＝8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側，在線段DP上取一點E，使∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合）．（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；（3）求△AEF的周長．5．如圖，點C為△ABD的外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°（1）求證：BD是該外接圓的直徑；（2）連接CD，求證：AC＝BC+CD；（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．6．如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN＝α，將∠QPN繞點P旋轉，旋轉過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．（1）如圖①，當α＝90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系是；（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC＝120°的菱形，其他條件不變，當α＝60°時，（1）中的結論變?yōu)镈E+DF＝AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系，直接寫出結論，不用加以證明．7．【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數(shù)學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O，點P落在線段OC上，＝k（k為常數(shù)）．【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點M，N．①填空：k＝；②求證：PM＝PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM≌△PBN；也可過點P分別作AB，BC的垂線構造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點N在邊BC上，∠BPN＝45°，延長NP交邊CD于點E，若EN＝kPN，求k的值．8．已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD．（1）如圖1，當點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉90°得到線段AE，連接CE．求證：BD＝CE，BD⊥CE．（2）如圖2，當點D在線段BC延長線上時，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關系，寫出結論并說明理由；（3）若BD＝CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．9．在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的表達式；（2）當點P在直線AC上方的拋物線上時，連接BP交AC于點D，如圖1，當?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標及的最大值；（3）過點P作x軸的垂線交直線AC于點M，連結PC，將△PCM沿直線PC翻折，當點M的對應點M′恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點M的坐標．【中考壓軸7】定值問題1．已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC＝60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．2．如圖，拋物線經過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥AO，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；（2）當點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．3．如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點E．若點Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點Q作直線AQ，BQ分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，EM+EN的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．4．如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．5．如圖，二次函數(shù)y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于C（0，﹣3），點D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代數(shù)式表示a；（2）求證：為定值；（3）設該二次函數(shù)圖象的頂點為F，探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．6．某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB＝8．問題思考：如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC、BPEF．（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值．（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由．問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ＝8．若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長．（4）如圖3，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM＝BN＝1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值．7．如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（﹣4，4）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．（1）∠PBD的度數(shù)為，點D的坐標為（用t表示）；（2）當t為何值時，△PBE為等腰三角形？（3）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．【中考壓軸8】幾何三大變換問題1．如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB＝∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．2．如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P，連接EP．（1）如圖②，若M為AD邊的中點，①△AEM的周長＝cm；②求證：EP＝AE+DP；（2）隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置（點M不與A、D重合），△PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由．3．綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應點記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)．【活動猜想】（1）如圖2，當點B′與點D重合時，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：．【問題解決】（2）如圖3，當AB＝4，AD＝8，BF＝3時，求證：點A′，B′，C在同一條直線上．【深入探究】（3）如圖4，當AB與BC滿足什么關系時，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．（4）在（3）的情形下，設AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關系，并說明理由．4．如圖1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如圖2，若P為線段EC上一動點，過點P作△AEC的內接矩形，使其頂點Q落在線段AE上，頂點M、N落在線段AC上，當線段PE的長為何值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．5．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線BD上一點，連接EA，將線段EA繞點E逆時針旋轉，使點A落在射線CB上的點F處，連接EC．【問題引入】（1）請你在圖1或圖2中證明EF＝EC（選擇一種情況即可）；【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長FE交直線CD于點M．將圖形補充完整，猜想線段DM和線段BF的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展應用】（3）如圖3，AB＝3，延長AE至點N，使NE＝AE，連接DN．當△ADN的周長最小時，請你直接寫出線段DE的長．．6．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN＝90°．（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系；（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α（0°＜α＜45°）．①如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②如圖2，在旋轉過程中，當∠DOM＝15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；③如圖3，旋轉后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD＝3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關系，并給出證明；當BD＝m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系．7．菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，∠MON+∠BCD＝180°，∠MON繞點O旋轉，射線OM交邊BC于點E，射線ON交邊DC于點F，連接EF．（1）如圖1，當∠ABC＝90°時，△OEF的形狀是；（2）如圖2，當∠ABC＝60°時，請判斷△OEF的形狀，并說明理由；（3）在（1）的條件下，將∠MON的頂點移到AO的中點O′處，∠MO′N繞點O′旋轉，仍滿足∠MO′N+∠BCD＝180°，射線O′M交直線BC于點E，射線O′N交直線CD于點F，當BC＝4，且＝時，直接寫出線段CE的長．8．如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉60°得到線段AM，連接FM．（1）求AO的長；（2）如圖2，當點F在線段BO上，且點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上時，求證：AC＝AM；（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．9．【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C在OA上，點D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點O順時針旋轉α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．【方法運用】（3）如圖3，若AB＝8，點C是線段AB外一動點，AC＝3，連接BC．①若將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是；②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點按順時針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當∠CBD＝∠DAB＝30°時，直接寫出AD的值．10．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣1，0），B（3，0），過點B的直線y＝x﹣2交拋物線于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P是直線BC下方拋物線上的一個動點（P不與點B，C重合），求△PBC面積的最大值；（3）若點M在拋物線上，將線段OM繞點O旋轉90°，得到線段ON，是否存在點M，使點N恰好落在直線BC上？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．11．（1）如圖1，菱形AEGH的頂點E、H在菱形ABCD的邊上，且∠BAD＝60°，請直接寫出HD：GC：EB的結果（不必寫計算過程）（2）將圖1中的菱形AEGH繞點A旋轉一定角度，如圖2，求HD：GC：EB；（3）把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此時HD：GC：EB的結果與（2）小題的結果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結果（不必寫計算過程）；若無變化，請說明理由．12．如圖，在矩形ABCD中，AD＝acm，AB＝bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內且與AB、AD均相切，現(xiàn)有動點P從A點出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當點P到達D點時停止移動．⊙O在矩形內部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動，已知點P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）．（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）如圖①，已知點P從A點出發(fā)，移動2s到達B點，繼續(xù)移動3s，到達BC的中點，若點P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時間內圓心O移動的距離；（3）如圖②，已知a＝20，b＝10，是否存在如下情形：當⊙O到達⊙O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線BD上），DP與⊙O1恰好相切？請說明理由．13．問題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由．探究展示：小宇同學展示出如下正確的解法：解：OM＝ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，∵CA＝CB，∴CO是∠ACB的角平分線．（依據(jù)1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM＝ON．（依據(jù)2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．拓展延伸：（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關系與位置關系，并寫出證明過程．14．如圖1，在平面直角坐標系中，直線MN分別與x軸、y軸交于點M（6，0），N（0，2），等邊△ABC的頂點B與原點O重合，BC邊落在x軸正半軸上，點A恰好落在線段MN上，將等邊△ABC從圖1的位置沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度平移，邊AB，AC分別與線段MN交于點E，F(xiàn)（如圖2所示），設△ABC平移的時間為t（s）．（1）等邊△ABC的邊長為；（2）在運動過程中，當t＝時，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC開始平移的同時．點P從△ABC的頂點B出發(fā)．以每秒2個單位長度的速度沿折線BA﹣AC運動．當點P運動到C時即停止運動．△ABC也隨之停止平移．①當點P在線段BA上運動時，若△PEF與△MNO相似．求t的值；②當點P在線段AC上運動時，設S△PEF＝S，求S與t的函數(shù)關系式，并求出S的最大值及此時點P的坐標．15．兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設圖形中所有的點，線都在同一平面內）．其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6cm．現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當點C落在邊EF上時停止運動．設三角板平移的距離為x（cm），兩個三角板重疊部分的面積為y（cm2）．（1）當點C落在邊EF上時，x＝cm；（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）設邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N．直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值．16．如圖1，點A是x軸正半軸上的動點，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作x軸的垂線，垂足為F，過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E，點D是點A關于直線CF的對稱點，連接AC，BC，CD，設點A的橫坐標為t．（1）當t＝2時，求CF的長；（2）①當t為何值時，點C落在線段BD上；②設△BCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式；（3）如圖2，當點C與點E重合時，將△CDF沿x軸左右平移得到△C′D′F′，再將A，B，C′，D′為頂點的四邊形沿C′F′剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的點C′的坐標．【中考壓軸9】實踐操作﹑問題探究問題1．探究函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|的圖象和性質，探究過程如下：（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值列表如下：x…﹣﹣2﹣﹣1﹣012…y…﹣0m020﹣…其中，m＝.根據(jù)如表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質；（2）點F是函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|圖象上的一動點，點A（2，0），點B（﹣2，0），當S△FAB＝3時，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；（3）在圖2中，當x在一切實數(shù)范圍內時，拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點（點O在點A的左邊），點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點）于M，N兩點．當直線l與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．2．綜合與實踐問題提出某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點，CD＝，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF．設點P的運動時間為ts，正方形DPEF的面積為S，探究S與t的關系．初步感知（1）如圖1，當點P由點C運動到點B時，①當t＝1時，S＝；②S關于t的函數(shù)解析式為．（2）當點P由點B運動到點A時，經探究發(fā)現(xiàn)S是關于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象．請根據(jù)圖象信息，求S關于t的函數(shù)解析式及線段AB的長．延伸探究（3）若存在3個時刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）對應的正方形DPEF的面積均相等．①t1+t2＝；②當t3＝4t1時，求正方形DPEF的面積．3．模具廠計劃生產面積為4，周長為m的矩形模具．對于m的取值范圍，小亮已經能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究，過程如下：（1）建立函數(shù)模型設矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy＝4，即y＝；由周長為m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．滿足要求的（x，y）應是兩個函數(shù)圖象在第象限內交點的坐標．（2）畫出函數(shù)圖象函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖所示，而函數(shù)y＝﹣x+的圖象可由直線y＝﹣x平移得到．請在同一平面直角坐標系中直接畫出直線y＝﹣x．（3）平移直線y＝﹣x，觀察函數(shù)圖象①當直線平移到與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象有唯一交點（2，2）時，周長m的值為；②在直線平移過程中，交點個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點個數(shù)及對應的周長m的取值范圍．（4）得出結論若能生產出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，點D為BC的中點，BE＝DE，將∠BDE繞點D順時針旋轉α度（0≤α≤83°），角的兩邊分別交直線AB于M、N兩點，設B、M兩點間的距離為xcm，M，N兩點間的距離為ycm．小濤根據(jù)學習函數(shù)的經驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小濤的探究過程，請補充完整．（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是B，M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到了y與x的幾組對應值：x/cm00.300.501.001.502.002.503.003.503.683.813.903.934.10y/cm____2.882.812.692.672.803.15____3.855.246.016.717.277.448.87請你通過計算，補全表格；（2）描點、連線，在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數(shù)值所對應的點（x，y），并畫出函數(shù)y關于x的圖象．（3）探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢：；（4）解決問題：當MN＝2BM時，BM的長度大約是cm．（保留兩位小數(shù)）．5．理解：數(shù)學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至點D，使BD＝BA，連接AD．設AC＝1，則BD＝BA＝2，BC＝．tanD＝tan15°＝＝＝2﹣．思路二利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）＝．假設α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan15°＝tan（60°﹣45°）＝＝＝2﹣．思路三在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…請解決下列問題（上述思路僅供參考）．（1）類比：求出tan75°的值；（2）應用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度；（3）拓展：如圖3，直線y＝x﹣1與雙曲線y＝交于A，B兩點，與y軸交于點C，將直線AB繞點C旋轉45°后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標；若不能，請說明理由．6．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．（2）問題探究：①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請說明理由．②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連接AA′，BC′，小紅要使平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應平移多少距離（即線段BB′的長）？（3）拓展應用：如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝90°，AC，BD為對角線，AC＝AB，試探究BC，CD，BD的數(shù)量關系．7．（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求證：AD?BC＝AP?BP．（2）探究如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC＝∠A＝∠B＝θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．（3）應用請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：如圖3，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC＝∠A，設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．8．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：；（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形．試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論；（3）如圖3，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF．請直接寫出的值．9．用如圖①，②所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標出），完成以下兩個探究問題：探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點P．（1）當點P運動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；（2）當點P在運動的過程中出現(xiàn)PA＝FC時，求∠PAB的度數(shù)．探究二：如圖④，將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉中心旋轉△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點，連接MN．在旋轉△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由．10．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積．【中考壓軸10】圓1．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為（）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+2．我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為1，大正方形的面積為64，則小正方形的邊長為．3．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點，P是矩形內部一動點，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個動點，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為．4．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點，點E為⊙O上一動點，CF⊥AE于點F．當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為．5．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E是BC的中點，連接OE、DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的長；（3）求證：2DE2＝CD?OE．6．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交⊙O于點G，連接BG．（1）求證：FB2＝FE?FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的長．7．如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．（1）求證：BC∥PF；（2）若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長度；（3）在（2）的條件下，求△DCP的面積．8．如圖1所示，以點M（﹣1，0）為圓心的圓與y軸，x軸分別交于點A，B，C，D，直線y＝﹣x﹣與⊙M相切于點H，交x軸于點E，交y軸于點F．（1）請直接寫出OE，⊙M的半徑r，CH的長；（2）如圖2所示，弦HQ交x軸于點P，且DP：PH＝3：2，求cos∠QHC的值；（3）如圖3所示，點K為線段EC上一動點（不與E，C重合），連接BK交⊙M于點T，弦AT交x軸于點N．是否存在一個常數(shù)a，始終滿足MN?MK＝a，如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由．9．探究問題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離；②如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有AB?CD+BC?DA＝AC?BD．此為托勒密定理；（2）知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點P為等邊△ABC外接圓的上任意一點．求證：PB+PC＝PA；②根據(jù)（2）①的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上任取一點P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+；第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費馬點P，并請指出線段的長度即為△ABC的費馬距離．（3）知識應用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．已知三村莊A、B、C構成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．10．如圖，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內的一個動點．（1）使∠APB＝30°的點P有個；（2）若點P在y軸上，且∠APB＝30°，求滿足條件的點P的坐標；（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大的理由；若沒有，也請說明理由．11．如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過B（3，0），C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A，連接AC、BC．（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；（2）若點D是線段AC的中點，連接BD，在y軸上是否存在一點E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由；（3）如圖2，P為拋物線在第一象限內一動點，過P作PQ⊥BC于Q，當PQ的長度最大時，在線段BC上找一點M使PM+BM的值最小，求PM+BM的最小值．12．問題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點且∠EAF＝45°，請問線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．問題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點E、F分別是射線CB、CD上的動點，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值．若不存在，請說明理由．13．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，AB＝10，CD＝6，點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連結AP交⊙O于點Q，連結CQ交AB于點F，則點F的位置隨著點P位置的改變而改變．（1）如圖1，當DP＝4時，求tan∠P的值；（2）如圖2，連結AC，DQ，在點P運動過程中，設DP＝x，．①求證：∠ACQ＝∠CPA；②求y與x之間的函數(shù)關系式．

中考數(shù)學壓軸題（解析版）目錄【中考壓軸1】動點問題 52【中考壓軸2】函數(shù)類問題 72【中考壓軸3】面積問題 94【中考壓軸4】三角形存在性問題 123【中考壓軸5】四邊形存在性問題 141【中考壓軸6】線段之間的關系問題 159【中考壓軸7】定值問題 183【中考壓軸8】幾何三大變換問題 202【中考壓軸9】實踐操作﹑問題探究問題 241【中考壓軸10】圓 264

【中考壓軸1】動點問題1．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點C（2，2）作x軸垂線，垂足為D，連接BC．現(xiàn)有動點P、Q同時從A點出發(fā)，分別沿AB、AD向終點B和終點D運動，若點P的運動速度為每秒個單位長度，點Q的運動速度為每秒2個單位長度．設運動的時間為t秒．（1）求A、B兩點的坐標；（2）當CQ∥AB時，t＝；（3）設△CPQ的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關系式，并求△CPQ面積的最大值；（4）當△CPQ為軸對稱圖形時，直接寫出t的值．【解析】解：（1）∵直線y＝x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴當x＝0時，y＝2，當y＝0時，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2）；（2）∵B（0，2），C（2，2），∴BC＝2，BC∥AD，∵CQ∥AB，∴四邊形BCQA是平行四邊形，∴AQ＝BC＝2，∴t＝2÷2＝1，故答案為：1；（3）過P作EF⊥AD，交AD于F，交直線CB于E，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠BAD＝45°，∵PF⊥AD，∴∠PFA＝90°，∴∠BAD＝∠FPA＝45°，∵AP＝t，∴AF＝PF＝t，∵BC∥AD，∴∠BAD＝45°＝∠EBP，∵∠E＝90°，∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴EP＝EB＝2﹣t，∵AQ＝2t，∴QD＝AD﹣AQ＝4﹣2t，∴△CPQ的面積為y＝S梯形ABCD﹣S△APQ﹣S△PBC﹣S△QCD＝×（2+4）×2﹣t?2t﹣×（2﹣t）×2﹣×（4﹣2t）×2＝6﹣t2﹣（2﹣t）﹣（4﹣2t）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴y與t的函數(shù)關系式為y＝﹣t2+3t，△CPQ面積的最大值為；（4）∵△CPQ為軸對稱圖形，∴△CPQ為等腰三角形，過P作EF⊥AD，交AD于F，交直線CB于E，由（3）得AF＝PF＝t，PF＝2﹣t，QD＝4﹣2t，EP＝EB＝2﹣t，∵AQ＝2t，∴QF＝t，QD＝AD﹣AQ＝4﹣2t，在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2＝t2+t2＝2t2，在Rt△DCQ中，由勾股定理得：CQ2＝22+（4﹣2t）2，在Rt△PEC中，由勾股定理得：CP2＝（2﹣t）2+（2﹣t+2）2，分為三種情況：①當CQ＝PQ時，2t2＝22+（4﹣2t）2，解得t＝4+（比AD的值大，舍去），t＝4﹣；②當CP＝CQ時，（2+2﹣2t）2+（2﹣2t）2＝22+（4﹣2t）2，解得t＝0（舍去），t＝2；③當CP＝PQ時，（2﹣t）2+（2﹣t+2）2＝2t2，解得t＝，∴當△CPQ為軸對稱圖形時，△CPQ為等腰三角形，t的值是2或或4﹣．2．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，動點M、N分別以每秒3個單位長度、4個單位長度的速度同時從A出發(fā)，點M沿折線A→B→C方向運動，點N沿折線A→C→B方向運動，點M達點B后，點M、點N的運動速度均變?yōu)槊棵?個單位長度運動，當兩點相遇時停止運動，設運動時間為t秒，點M、N的距離為y．（1）請直接寫出y關于t的函數(shù)表達式并直接寫出自變量t的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（3）當M，N兩點相距6個單位長度時，直接寫出t的值．【解析】解：（1）∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝＝10，當0≤t≤2時，MN＝＝＝5t，∴y＝5t，當2＜t≤7時，MN＝10﹣（t﹣2）﹣（t﹣2）＝14﹣2t，∴；（2）如圖，（3）當0≤t≤2時，MN＝5t＝6，∴t＝，當2＜t≤7時，MN＝6＝14﹣2t，∴t＝4，綜上所述：t的值為或4．3．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝4，AD＝8，點P是邊BC上的動點，線段AP的垂直平分線交矩形ABCD的邊于點M、N，其中點M在邊AB或BC上，點N在邊CD或DA上．（1）如圖2，當BP＝2時，求AM的長度；（2）當△AMN是等腰三角形時，求BP能取到的值或取值范圍；（3）當動點P由點B運動到點C的過程中，求點N的運動路程長為多少？【解析】解：（1）如圖，設AP與MN相交于O，∵矩形ABCD，∴∠ABP＝90°，∴，∵MN垂直平分AP，∴∠AOM＝90°，，∵∠AOM＝∠ABP＝90°，∠OAM＝∠BAP，∴△AOM∽△ABP，∴，∴，∴AM＝2.5．（2）當BP＜4時，點P從點B到