期權(quán)的定價(jià)理論

第一節(jié)金融價(jià)格行為

B—S模型的一個(gè)重要的假設(shè)是資產(chǎn)價(jià)格遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這是什么意思？回憶一下統(tǒng)計(jì)學(xué),什么是正態(tài)分布?

均值菜單退出事實(shí)上，價(jià)格本身不服從正態(tài)分布，大多數(shù)收益率卻服從正態(tài)分布。[思考]一個(gè)投資者以100元的價(jià)格買入股票，他可能有正的10%的收益或者是負(fù)的10%的損失。

投資者首先獲得10%的收益率然后再損失10%沒(méi)有什么變化，他不賠不賺。但，真是這樣嗎？

菜單退出投資者沒(méi)有回到原來(lái)的價(jià)格起點(diǎn)的原因在于收益率的計(jì)算方法上。從100到110是在100的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)10%，從110到99是在110的基礎(chǔ)上下降10%，雖然變化的百分比一樣，但是變化的基數(shù)卻不同（100和110），因此最后的結(jié)果就不能夠回到原起點(diǎn)價(jià)格100元。所以,我們得出:

這種簡(jiǎn)單用百分比相加來(lái)衡量最后結(jié)果的方法所確定的結(jié)論是錯(cuò)誤的.

正確的計(jì)算方法是把價(jià)格比相乘。

菜單退出我們可以利用對(duì)數(shù)的性質(zhì),只用加法而不用乘法,對(duì)兩個(gè)數(shù)值取對(duì)數(shù)（在金融中最有用的是自然對(duì)數(shù)，以e為底),然后相加得到兩數(shù)乘積的對(duì)數(shù)。把這種方法應(yīng)用于上例：ln（110/100）=0.0953ln（99/110）=-0.1054ln（110/100）×（99/110）=-0.0101菜單退出我們可以總結(jié)出，用價(jià)格比的對(duì)數(shù)計(jì)算收益率比單用價(jià)格比更準(zhǔn)確。所以，我們定義收益率為：收益率=ln（St+1/St）比傳統(tǒng)的定義方式傳統(tǒng)定義收益=（St+1/St–1）更準(zhǔn)確。這里，St代表t時(shí)間的市場(chǎng)價(jià)格，St+1代表一段時(shí)間后的價(jià)格。菜單退出考慮收益率在七年中每年增長(zhǎng)10%對(duì)價(jià)格的影響。從100開始，價(jià)格逐步增長(zhǎng)：100，110.52，122.14，134.99，149.18，164.87，182.21，201.38現(xiàn)在考慮七年中收益率每年下降10%對(duì)價(jià)格的影響，同樣從100開始：100，90.48，81.87，74.08，67.03，60.65，54.88，49.66[問(wèn)]:這兩組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)?菜單退出隨時(shí)間變化的價(jià)格序列連續(xù)價(jià)格下降連續(xù)價(jià)格上升1002005075125150175菜單退出第二節(jié)Black—Scholes模型

8.2.1Black—Scholes期權(quán)定價(jià)公式[思考]如果一只股票有30%的機(jī)會(huì)達(dá)到40的價(jià)位,同時(shí)有70%的機(jī)會(huì)達(dá)到50的價(jià)位，那么它的適當(dāng)價(jià)格應(yīng)該為：

3*40+0.7*50=47即它未來(lái)的價(jià)格乘以它達(dá)到這個(gè)價(jià)格的概率系數(shù).

菜單退出同樣，這個(gè)原理也適用于期權(quán)。期權(quán)到期日的適當(dāng)價(jià)值等于它可能取得的任何價(jià)值乘以該價(jià)值產(chǎn)生的概率的加總。

概率間斷分布概率密度連續(xù)分布退出菜單從看漲期權(quán)的定義,期權(quán)到期日的預(yù)期價(jià)值是:E(CT)=E[max(ST–X,0)]

等式1在到期日有兩種可能情況發(fā)生:如果ST

>X,看漲期權(quán)到期時(shí)為價(jià)內(nèi),則max(ST–X,0)=ST–X.

如果ST<X,看漲期權(quán)到期時(shí)為價(jià)外,則max(ST–X,0)=0.如果P定義為ST>X的概率,等式1可以改寫成:

E(CT)=P×(E[ST|ST>X]–X)+(1–P)×0

等式2退出菜單等式2加以折現(xiàn)得到其現(xiàn)值如下:

等式3這里:C代表期權(quán)開始時(shí)的適當(dāng)價(jià)格

r代表連續(xù)的復(fù)合零風(fēng)險(xiǎn)利率;t代表直到到期日的時(shí)間長(zhǎng)度.那么,為期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題現(xiàn)在縮小為兩個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題:(1)決定P---即期權(quán)到期日時(shí)為價(jià)內(nèi)期權(quán)的概率,使得ST>X.(2)決定E[ST|ST>X],即當(dāng)期權(quán)到期日為價(jià)內(nèi)時(shí)對(duì)應(yīng)資產(chǎn)的預(yù)期價(jià)值.

退出菜單通過(guò)復(fù)雜的推導(dǎo),我們得出:P=N(d2),E[STST>X]=其中,N表示累積正態(tài)分布,

把它們帶入等式3,得到看漲期權(quán)完整的定價(jià)公式:

所以

這里;S0為現(xiàn)行股價(jià);X為期權(quán)的協(xié)定價(jià)格;t期權(quán)至到期日的時(shí)間;r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;σ為股票收益的標(biāo)準(zhǔn)偏差,波動(dòng)率;N累積正態(tài)分布;ln為自然對(duì)數(shù).退出菜單例題:假定某股票現(xiàn)值為$30,該股票3月期的期權(quán)的協(xié)定價(jià)格為$25,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%,該股票價(jià)格的波動(dòng)率為45%.試計(jì)算該股票歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格.

退出菜單有關(guān)B----S的假設(shè)條件

不支付股息和紅利.所以股票價(jià)格應(yīng)當(dāng)減去未來(lái)支付股息或紅利的貼現(xiàn)值,也就是:(2)期權(quán)為歐式期權(quán).

(3)市場(chǎng)是有效率的,不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的機(jī)會(huì).

(4)無(wú)交易成本,如不支付傭金,稅收等.

(5)收益呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布.

菜單退出第三節(jié).易變性或變動(dòng)率的計(jì)算

變動(dòng)率的計(jì)算方法有兩種:(1)

正向法(forwards)

這是指應(yīng)用歷史數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算變動(dòng)率,也叫做歷史變動(dòng)率.具體的計(jì)算方法如下:1.金融資產(chǎn)的相對(duì)價(jià)格(價(jià)格比:兩個(gè)連續(xù)收盤價(jià)之比)。2.相對(duì)價(jià)格的自然對(duì)數(shù)。3.對(duì)數(shù)相對(duì)價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)偏差(離差)。4.標(biāo)準(zhǔn)偏差(離差)的平方,經(jīng)開方后得到σ.菜單退出具體的計(jì)算公式如下:

在這里我們計(jì)算出來(lái)的變動(dòng)率是歷史變動(dòng)率,但我們要求未來(lái)的變動(dòng)率.因?yàn)榻o未來(lái)到期的期權(quán)定價(jià)時(shí)需要未來(lái)的收益變動(dòng)率而不是過(guò)去的變動(dòng)率。

因此，我們要使用第二種方法：我們已知期權(quán)價(jià)格(該期權(quán)的報(bào)價(jià))和其他四個(gè)變量,可以反向推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格中所隱含的變動(dòng)率，通過(guò)這種方法計(jì)算出來(lái)的變動(dòng)率叫做隱含變動(dòng)率(ImpliedVolatility)。菜單退出[例]假設(shè)S=21,X=20,R=0.1,T–t=0.25時(shí)一種不付紅利股票的看漲期權(quán)的價(jià)值為1.875.隱含變動(dòng)率是把以上數(shù)據(jù)代入B-S方程,求使得C=1.875的σ的取值.我們可以用插值法得到隱含波動(dòng)率.也就是我們不斷假定σ的數(shù)值,帶入B-S公式,從得到的C值進(jìn)行不斷調(diào)整,最后得到變動(dòng)率的準(zhǔn)確值。退出菜單

例:

DJB公司的一股股票現(xiàn)價(jià)為$2.5,它的變動(dòng)率被估計(jì)為0.6。一個(gè)歐式看漲期權(quán)的協(xié)定價(jià)格是$2.00,期限為3個(gè)月,看漲期權(quán)費(fèi)為$0.45，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。問(wèn):我們對(duì)于變動(dòng)率的估計(jì)是否合理?退出菜單

第四節(jié)期權(quán)定價(jià)的二項(xiàng)式模型

8.4.1一期間二項(xiàng)式模型

假設(shè):在任何一個(gè)給定的時(shí)間,金融資產(chǎn)的價(jià)格以事先規(guī)定的比例上升或下降。如果資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間t的價(jià)格為S,它可能在時(shí)間段t+?t內(nèi)上升到Su或下降到Sd。假定對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格也上升到Cu,或下降到Cd。下圖表示了這些平行移動(dòng).菜單退出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）期權(quán)SSuSdCCuCd退出菜單假定S=100,u=1.2,d=0.9,看漲期權(quán)的協(xié)定價(jià)格為100,只有一期。

10012090C200菜單退出考慮這樣一個(gè)資產(chǎn)組合:1.

以價(jià)格C賣出三份看漲期權(quán)2.

以價(jià)格100買入兩份對(duì)應(yīng)資產(chǎn)3.

在這短時(shí)間以10%的利率借入163.64那么，開始時(shí)的凈現(xiàn)金流為：3C–200+163.64=3C–36.36.

在到期日時(shí),有兩種可能結(jié)果(價(jià)格上升或下降),每種結(jié)果的現(xiàn)金流如下表所示:退出菜單期權(quán)和對(duì)應(yīng)資產(chǎn)組合的結(jié)果

上升

下降賣出資產(chǎn)過(guò)程2×120=2402×90=180支付空頭看漲期權(quán)3×(-20)=-603×0=0歸還借款-180-180凈現(xiàn)金流00

菜單退出這表示3C–36.36=0,即C=12.12.

考慮以下資產(chǎn)組合:1.

賣出一份看漲期權(quán)2.

買入h份對(duì)應(yīng)資產(chǎn)3.借入款項(xiàng)B.

在到期日時(shí),我們希望選擇價(jià)值h和B使不管對(duì)應(yīng)資產(chǎn)價(jià)格上升還是下降,組合的最后結(jié)果為零.我們可以設(shè)定:Suh–Cu–BR=0Sdh–Cd–BR=0退出菜單經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可以得出h和B:h=(Cu–Cd)/S(u–d)B=(dCu–uCd)/R(u–d)

因?yàn)槌跏嫉默F(xiàn)金流為0,所以:C–hS+B=0把h和B的值帶入上面的等式,得到C=[(R–d)Cu+(u–R)Cd]/R(u–d)

退出菜單最后得到價(jià)格上漲的概率為:p=(R–d)/(u–d)把一期期權(quán)價(jià)值的表達(dá)式寫得規(guī)矩一點(diǎn):C=[pCu+(1–p)Cd]/R

從一期期權(quán)的定價(jià)公式我們得出:每一步期權(quán)的價(jià)值只是預(yù)期結(jié)果的現(xiàn)值.

每一種結(jié)果按其發(fā)生的概率進(jìn)行加權(quán).

退出菜單8.4.2兩期間二項(xiàng)式模型把上面的例題展開為兩期.初始價(jià)格為$20,在每個(gè)時(shí)間間隔價(jià)格都會(huì)上升10%,或下降10%.我們假設(shè)每個(gè)時(shí)間間隔是3個(gè)月,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為12%每年,看漲期權(quán)的協(xié)定價(jià)格是$21.我們可以重復(fù)地應(yīng)用前面一期間二項(xiàng)式模型的計(jì)算原則.我們可以畫出兩個(gè)期間的二叉樹模型,如下圖所示:退出菜單u=1.1d=0.9202224.21816.219.8ABCDEF3.20.00.02.02570.01.2823退出菜單S0S0uS0dS0uuS0udS0ddffufdfuufudfdd退出菜單

8.4.3風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)如果一個(gè)問(wèn)題的分析過(guò)程與投資者的收益/風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān),那么可以把這個(gè)問(wèn)題放在一個(gè)假想的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里進(jìn)行分析,而所得結(jié)果在真實(shí)世界里也應(yīng)當(dāng)成立,即風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè).

利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析.因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性的世界里,對(duì)所有的資產(chǎn)(不管風(fēng)險(xiǎn)如何)都要求相同的收益率(無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率),而且,所有資產(chǎn)的價(jià)格都可以按照風(fēng)險(xiǎn)中性概率算出未來(lái)收益的預(yù)期值,再以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)得到.最后,將得到的結(jié)果放回到真實(shí)世界中,就取得了有實(shí)際意義的結(jié)果.退出菜單8.4.4二差樹方法的應(yīng)用[舉例]我們考慮一個(gè)兩年期的歐式看跌期權(quán),協(xié)定價(jià)格為$52,股票的現(xiàn)價(jià)為$50.我們假設(shè)以一年為一個(gè)時(shí)間段,每個(gè)時(shí)間段股票價(jià)格或者上升20%,或者下