數(shù)列的概念選擇題專項(xiàng)訓(xùn)練單元專題強(qiáng)化試卷學(xué)能測(cè)試試題一、數(shù)列的概念選擇題1．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和為，若，則的值為（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)，求出，，，，，尋找規(guī)律，即可求得答案.【詳解】當(dāng)，，解得：當(dāng)，，解得：當(dāng)，，解得：當(dāng)，，解得：當(dāng)奇數(shù)時(shí)，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，，故故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列值，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.2．已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列前2016項(xiàng)的和為（）A．2015 B．2016 C．1512 D．答案：C解析：C【分析】通過(guò)計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)確定數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】依題意，，，，從而數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，于是所求值為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到數(shù)列的周期性并找到數(shù)列的周期.3．已知數(shù)列滿足，且，則的前2021項(xiàng)之積為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由，且，可得：，可得其周期性，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，，，，?.則的前2021項(xiàng)之積.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)：（1）用代數(shù)的變形技巧整理變形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)等方法求得通項(xiàng)公式．（2）通過(guò)具體的前幾項(xiàng)找到其規(guī)律，如周期性等求解.4．已知lg3≈0.477，[x]表示不大于x的最大整數(shù).設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝2且Sn+1＝3Sn-2n+2，則[lg(a100-1)]＝（）A．45 B．46 C．47 D．48答案：C解析：C【分析】利用數(shù)列的遞推式，得到an+1＝3an-2，進(jìn)而得到an＝3n-1+1，然后代入[lg(a100-1)]可求解【詳解】當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝3Sn-1-2n+4，則an+1＝3an-2，于是an+1-1＝3(an-1)，當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝3S1-2+2＝6，所以a2＝S2-S1＝4.此時(shí)a2-1＝3(a1-1)，則數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.所以an-1＝3n-1，即an＝3n-1+1，則a100＝399+1，則lg(a100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a100-1)]＝47.故選C5．定義：在數(shù)列中，若滿足（為常數(shù)），稱為“等差比數(shù)列”，已知在“等差比數(shù)列”中，，則等于（）A．4×20162－1 B．4×20172－1 C．4×20182－1 D．4×20182答案：C解析：C【分析】根據(jù)“等差比”數(shù)列的定義，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用求解.【詳解】由題意可得：，，，根據(jù)“等差比數(shù)列”的定義可知數(shù)列是首先為1，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義，等差數(shù)列，重點(diǎn)考查理解題意，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：C【分析】利用計(jì)算．【詳解】由已知．故選：C．7．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用.比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多—斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即，當(dāng)n≥3時(shí)，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列的各項(xiàng)依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（）A．24 B．26 C．28 D．30答案：B解析：B【分析】先寫出新數(shù)列的各項(xiàng)，找到數(shù)列的周期，即得解.【詳解】由題意可知“斐波那契數(shù)列”的各項(xiàng)依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，此數(shù)列的各項(xiàng)求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，則其周期為6，其中1+1+2+3+1+0=8，則，故選：B.8．已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，且數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則等于（）A．504 B．294 C． D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)遞推公式，算出數(shù)列前4項(xiàng)，確定數(shù)列周期，即可求出結(jié)果．【詳解】∵，，∴，，，又，所以，∴數(shù)列的周期為4，且，∵，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列周期性的應(yīng)用，屬于?？碱}型.9．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（）A．174 B．184 C．188 D．160答案：A解析：A【分析】根據(jù)已知條件求得，利用累加法求得.【詳解】依題意：所以（），且，所以.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法，屬于中檔題.10．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），若為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由已知得，根據(jù)為遞增數(shù)列，所以有，建立關(guān)于的不等式，解之可得的取值范圍.【詳解】由已知得，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：遞增性，根據(jù)已知得出是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．?dāng)?shù)列中，，，則（）A．511 B．513 C．1025 D．1024答案：B解析：B【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，求解出的通項(xiàng)公式即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以且，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式，難度一般.對(duì)于求解滿足的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以采用構(gòu)造等比數(shù)列的方法進(jìn)行求解.12．?dāng)?shù)列1，3，6，10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】由題知：，對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，C正確；對(duì)選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于簡(jiǎn)單題.13．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是，（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】令代入即解【詳解】令，故選：B.【點(diǎn)睛】數(shù)列通項(xiàng)公式是第項(xiàng)與序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系，求某項(xiàng)值代入求解.14．已知數(shù)列滿足，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】將題干中的等式化簡(jiǎn)變形得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算出，進(jìn)而可得出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】，將此等式變形得，由累乘法得，，，，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查并項(xiàng)求和法，同時(shí)也涉及了利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，求出是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15．已知數(shù)列滿足:，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010答案：D解析：D【分析】根據(jù)題設(shè)條件，可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且，從而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列滿足:，，可得，可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，且所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，其中解答中得出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列答案：ABC【分析】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，時(shí)，，進(jìn)而求出．【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得解析：ABC【分析】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，時(shí)，，進(jìn)而求出．【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得，∴時(shí)，，，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析可得，A，B，C三個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，解題關(guān)鍵是將已知遞推式變形為，進(jìn)而求得其它性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}17．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，答案：ABC【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由可得，利用通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為和即可判斷選項(xiàng)A；利用前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C；由可得且，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)解析：ABC【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由可得，利用通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為和即可判斷選項(xiàng)A；利用前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C；由可得且，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，前項(xiàng)和為，由得：，即，即，對(duì)于選項(xiàng)A：由得，可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋?，，所以，故選項(xiàng)D不正確，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由得出，熟記等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.18．(多選)在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．是等方差數(shù)列.D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列答案：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故解析：BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，數(shù)列中，不是常數(shù)，不是等方差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題和等差數(shù)列的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，利用定義進(jìn)行判斷.19．已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列答案：ABC【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，即，又，所以是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以，故A正確；，解析：ABC【分析】由，變形得到，再利用等差數(shù)列的定義求得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，即，又，所以是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故C正確；所以，故A正確；，所以為遞增數(shù)列，故正確；數(shù)列不具有周期性，故D錯(cuò)誤；故選：ABC20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值答案：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而計(jì)算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的解析：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而計(jì)算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本計(jì)算，前項(xiàng)和的最值問(wèn)題，是中檔題.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值得求解常見一下兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，有最大值，可以通過(guò)的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過(guò)求滿足且的的取值范圍確定；（2）當(dāng)時(shí)，有最小值，可以通過(guò)的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過(guò)求滿足且的的取值范圍確定；21．公差不為零的等差數(shù)列滿足，為前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．（）C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，答案：BC【分析】設(shè)公差d不為零,由，解得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)公差d不為零,因?yàn)椋裕?，解得，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；若，解得，，故C正確；D錯(cuò)誤；故選：BC解析：BC【分析】設(shè)公差d不為零,由，解得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)公差d不為零,因?yàn)椋裕?，解得，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；若，解得，，故C正確；D錯(cuò)誤；故選：BC22．等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則以下正確的是（）A．B．C．的最大值為D．使得的最大整數(shù)答案：BCD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可得，再逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，，所以，故A錯(cuò)誤；所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以?dāng)解析：BCD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可得，再逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，，所以，故A錯(cuò)誤；所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，故C正確；要使，則且，所以使得的最大整數(shù)，故D正確.故選：BCD.23．設(shè)d為正項(xiàng)等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項(xiàng)中的項(xiàng)全部用表示，并根據(jù)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項(xiàng)中的項(xiàng)全部用表示，并根據(jù)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是由已知確定的范圍，由通項(xiàng)公式寫出各項(xiàng)（用表示）后，可判斷．24．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值 D．當(dāng)時(shí)，n的最小值為22答案：AD【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公