南匯中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題，（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分）1.已知集合，，則______．2.陳述句“或”的否定形式為______．3.若，，化簡______．4.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為______．5.已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)．則定點(diǎn)的坐標(biāo)為______．6.已知是冪函數(shù)，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.7.已知恒成立，則______．8.若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的值為______．9.已知，，則用的代數(shù)式表示______．10.設(shè)關(guān)于的方程解集為，關(guān)于的不等式的解集為，若集合，則______．11.對非空集合中的每個(gè)元素，都乘以再求和，稱為集合的交叉數(shù)，例如，則集合的交叉數(shù)為．若集合，則的所有非空子集的交叉數(shù)的總和為______．12.對于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，定義，其中常數(shù)．若，且與都是集合的元素，則的個(gè)數(shù)是______．二、選擇題．（本大題共4小題，每小題3分，減分12分）13.若，則“”是“”的（）條件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.非充分非必要A.若，，則B.若，則C若，，則D.若，則15.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．因?yàn)檫\(yùn)算，數(shù)的威力無限；沒有運(yùn)算，數(shù)就只是一個(gè)符號，對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)降低了運(yùn)算的級別，簡化了運(yùn)算，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是偉大的成就．而位數(shù)是指一個(gè)自然數(shù)有效位的個(gè)數(shù)，例如：，所以的位數(shù)為4．請你運(yùn)用所學(xué)過的對數(shù)運(yùn)算的知識，估計(jì)的位數(shù)是（）A.6697 B.6698 C.6699 D.670016.設(shè)，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.三、解答題：（第17-18題每題8分，第19-20題每題12分，第21題14分，共52分）17.（本題滿分8分，第（1）題4分，第（2）題4分）已知集合為不等式的解集．（1）求集合；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.（本題滿分8分，第（1）題3分，第（2）題5分）已知，關(guān)于的不等式的解集為．（1）若，求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.（本題滿分10分，第（1）題5分，第（2）題5分）天氣炎熱，某制冷杯成了暢銷商品．該制冷杯遵循牛頓冷卻定律，即如果某液體的初始溫度為（單位：），則經(jīng)過分鐘后，溫度滿足，其中為室溫，為參數(shù)．為觀察制冷杯的降溫效果，小侯把一杯的茶水放在的房間，10分鐘后茶水降溫至．（1）若欲將這杯水繼續(xù)降溫至，大約還需要多少分鐘？（精確到個(gè)位）（2）某企業(yè)生產(chǎn)制冷杯每月的成本（萬元）由兩部分構(gòu)成：①固定成本（與產(chǎn)品的數(shù)量無關(guān)）20萬元；②材料成本：萬元．其（萬套）為每月產(chǎn)品的產(chǎn)量．則當(dāng)每月產(chǎn)量為多少時(shí)，平均每萬套的成本最低？最低為多少？20.（本題滿分12分，第（1）題3分，第（2）題4分，第（3）題5分）已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；（3）若，求整數(shù)的值．21.（本題滿分14分，第（1）題4分，第（2）題4分．第（3）題6分）如果正整數(shù)集的子集滿足：①；②任意，存在，使得，則稱為集．（1）分別判斷與是否為集（直接寫出結(jié)論）；（2）當(dāng)時(shí)，對于集，設(shè)，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，若，求集中所有元素的和的最小值．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.對非空集合中的每個(gè)元素，都乘以再求和，稱為集合的交叉數(shù)，例如，則集合的交叉數(shù)為．若集合，則的所有非空子集的交叉數(shù)的總和為______．【答案】【解析】由題意可知，元素在集合的所有非空子集中分別出現(xiàn)次數(shù)是一樣的，

它們每一個(gè)出現(xiàn)的次數(shù)都相當(dāng)于另外5個(gè)元素組成的集合的子集個(gè)數(shù)，故其出現(xiàn)次數(shù)均為次，則這些和的總和是：

，故答案為：96．12.對于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，定義，其中常數(shù)．若，且與都是集合的元素，則的個(gè)數(shù)是______．【答案】【解析】由與都是集合的元素，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即?/p>

所以，所以，則，

因?yàn)?，所以．故答案為：．二、選擇題13.A14.D15.B16.C16.設(shè)，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】關(guān)于的不等式即的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，∴，∴不等式的解集為，所以解集里的整數(shù)是三個(gè)．

綜上，，故選：．三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）8分鐘（2）當(dāng)每月產(chǎn)量為20萬套時(shí)，平均每萬套的成本最低，為萬元20.（本題滿分12分，第（1）題3分，第（2）題4分，第（3）題5分）已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；（3）若，求整數(shù)的值．【答案】（1）（2）不存在（3）實(shí)數(shù)的整數(shù)值為．【解析】（1）因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，

可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立，由一元二次方程可得：

因?yàn)?，解得，而，所以不存在?shí)數(shù)，使成立；

（3）因?yàn)?/p>

要使其值是整數(shù)，，只需能被4整除即可，故，

而，所以使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為．21.（本題滿分14分，第（1）題4分，第（2）題4分．第（3）題6分）如果正整數(shù)集的子集滿足：①；②任意，存在，使得，則稱為集．（1）分別判斷與是否為集（直接寫出結(jié)論）；（2）當(dāng)時(shí)，對于集，設(shè)，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，若，求集中所有元素的和的最小值．【答案】（1）見解析（2）證明見解析（3）最小值為1.【解析】（1）不是集，是集.

（2）證明：因?yàn)槭羌?，且，所?

對于，存在，使得，所以可能為或.

對于，存在，使得.

對于，存在，