13/13專(zhuān)題1.1集合的含義與表示教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系。2.針對(duì)具體問(wèn)題，能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合。3.在具體情境中，了解全集與空集的含義。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）元素與集合的關(guān)系；（2）集合中元素的三大特性；（3）集合的表示方法。2.難點(diǎn)（1）利用集合中元素特性求參；（2）集合的表示方法。知識(shí)點(diǎn)01集合與元素的相關(guān)概念1．元素與集合的概念(1)集合：一般地，我們把的全體稱(chēng)為集合，通常用大寫(xiě)字母A,B,C,…表示.(2)元素：集合中的叫作這個(gè)集合的元素.元素常用小寫(xiě)字母a,b,c，…表示.(3)元素的特性：、、.【即學(xué)即練】1．2025年9月，我們踏入了心儀的高中校園，找到了自己的班級(jí).則下列對(duì)象能構(gòu)成一個(gè)集合的是哪些？并說(shuō)明你的理由.（1）你所在班級(jí)中全體同學(xué)；（2）班級(jí)中比較高的同學(xué)；（3）班級(jí)中身高超過(guò)178cm的同學(xué)；（4）班級(jí)中比較胖的同學(xué)；（5）班級(jí)中體重超過(guò)75kg的同學(xué)；（6）學(xué)習(xí)成績(jī)比較好的同學(xué).知識(shí)點(diǎn)02元素與集合的關(guān)系關(guān)系語(yǔ)言描述記法讀法屬于a是集合A中的元素____a屬于集合A不屬于a不是集合A中的元素____a不屬于集合A【即學(xué)即練】1．用符合“”或“”填空.（1）設(shè)集合A是小于6的所有實(shí)數(shù)組成的集合，則_____，_____；（2）設(shè)集合B是滿(mǎn)足方程（為正整數(shù)）的實(shí)數(shù)組成的集合，則3___，5___；（3）設(shè)集合C是方程的有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合，則-1_____，_____.知識(shí)點(diǎn)03常用的數(shù)集及其記法3．常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法【即學(xué)即練】1．下列關(guān)系：①0.3∈Q；②Q；③；④Q.其中不正確的個(gè)數(shù)為（）.A．1B．2C．3D．4知識(shí)點(diǎn)04集合的表示方法1．列舉法(1)定義：列舉法是把集合中的元素出來(lái)寫(xiě)在花括號(hào)“{}”內(nèi)表示集合的方法.(2)書(shū)寫(xiě)形式：一般用集合表示為.溫馨提示：運(yùn)用列舉法表示集合，應(yīng)注意：(1)元素間用“，”分隔，不能用其它符號(hào)代替；(2)元素不重復(fù)；(3)元素間無(wú)順序；(4)“{}”表示“所有”、“整體”的含義，不能省略2．描述法(1)定義：通過(guò)表示集合的方法叫作描述法．(2)書(shū)寫(xiě)形式：溫馨提示：用描述法表示集合，應(yīng)注意：(1)應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類(lèi)型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．(2)若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的字母，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或取值范圍．(3)多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在集合內(nèi)．【即學(xué)即練】1．用列舉法表示下列集合：（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；（3）由1～20以?xún)?nèi)的所有素?cái)?shù)組成的集合；（4）方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；2．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然數(shù)組成的集合；(2)比1大又比10小的所有實(shí)數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)組成的集合.知識(shí)點(diǎn)05區(qū)間1.一般區(qū)間的表示設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，規(guī)定如下表：定義名稱(chēng)符號(hào)幾何表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間_____{x|a<x<b}開(kāi)區(qū)間______{x|a≤x<b}左閉右開(kāi)區(qū)間_____{x|a<x≤b}左開(kāi)右閉區(qū)間______這里實(shí)數(shù)a，b都叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．2.特殊區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號(hào)_____________________________【即學(xué)即練】1．將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來(lái)：(1)；(2)或；(3)且；(4).題型01集合的基本概念【典例】下列對(duì)象不能組成集合的是（）A．不超過(guò)20的質(zhì)數(shù) B．π的近似值 C．方程x2＝1的實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值判斷指定的一組對(duì)象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合中的元素．【變式1】以下各組對(duì)象不能組成集合的是（）A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的實(shí)數(shù)解 D．周長(zhǎng)為10cm的三角形【變式2】（多選題）下列各對(duì)象可以組成集合的是（）A．比1大的全體實(shí)數(shù) B．江西師大附中2025屆全體高一學(xué)生 C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué) D．中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家【變式3】（2021秋?大安市校級(jí)月考）有下列各組對(duì)象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)的全體；③平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；④直角三角形的全體．其中能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5題型02求集合中元素的個(gè)數(shù)【典例】已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是()A．1 B．3 C．5 D．9確定集合中元素的個(gè)數(shù)的方法是枚舉法，即逐一列舉出它的所有元素，其中重復(fù)的元素只能算一個(gè)，最終再統(tǒng)計(jì)出元素總的個(gè)數(shù).【變式1】若集合，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為A．5 B．4 C．3 D．2【變式2】已知集合，，則中所含元素的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．6【變式3】已知集合，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10題型03判斷元素與集合的關(guān)系1.直接法【典例1】以下表示元素與集合的關(guān)系中正確的是()A．B．C．D．如果集合中的元素是直接給出或容易求得，則利用直接法判斷元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．【變式1】下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】已知集合，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2.推理法【典例2】已知集合，且，則（

）A． B． C． D．(1)對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．(2)利用推理法判斷一個(gè)對(duì)象是不是某個(gè)集合的元素，首先要明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合的元素要符合哪種表達(dá)式或滿(mǎn)足哪種條件，然后判斷此對(duì)象是否也具有這種屬性，從而確定該元素與已知集合的關(guān)系.【變式1】集合，且，則有（

）A． B． C． D．不屬于中的任意一個(gè)【變式2】已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式3】已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則.下列說(shuō)法中正確的有（

）.A．. B．.C．若，則. D．若，則.題型04數(shù)集與點(diǎn)集的辨析【典例】下列六種表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．能表示方程組的解集的是()A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥一般地，數(shù)集的代表元素用一個(gè)字母表示，點(diǎn)集或二元一次方程組的解集的代表元素用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示.【變式1】(多選)有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組的解集的是（

）A．或 B．C． D．【變式2】（多選）下列關(guān)于集合的描述，正確的是（

）A．偶數(shù)集用描述法可以表示為B．方程組的解集可表示為C．方程的解構(gòu)成的集合，用列舉法可表示為D．集合與集合交集為空集題型05選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯稀镜淅坑眠m當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于小于12.8的整數(shù)的全體；(3)梯形的全體構(gòu)成的集合；(4)所有能被3整除的數(shù)的集合；集合的常用表示方法有列舉法和描述法.(1)列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，用列舉法表示集合較為方便，而且使人一目了然.但對(duì)于元素較多的有限集，如果其中的元素具有規(guī)律性，那么也可以用列舉法表示，此時(shí)常用省略號(hào)來(lái)表示多個(gè)元素.(2)用描述法表示的集合，認(rèn)識(shí)它一要看集合中豎線(xiàn)左邊代表元素是什么形式;二要看豎線(xiàn)右邊元素滿(mǎn)足什么條件.對(duì)無(wú)限集(集合中元素個(gè)數(shù)無(wú)限)或元素較多的有限集宜用描述法表示.【變式1】用列舉法表示集合為．【變式2】圖中陰影部分（含邊界）的點(diǎn)組成的集合用描述法表示為．【變式3】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)整數(shù)中由所有非負(fù)奇數(shù)組成的集合；(2)由所有小于10的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)組成的集合；(4)方程x2-4x+16=0的實(shí)數(shù)解組成的集合.(5)方程組的實(shí)數(shù)解集.題型06利用元素與集合的關(guān)系求參1.利用分類(lèi)討論思想求解【典例1】舉例說(shuō)明：設(shè)集合M中含有三個(gè)元素3，，：(1)求實(shí)數(shù)，應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.互異性是集合中元素的重要特性之一,解決此類(lèi)含參數(shù)的問(wèn)題時(shí),求出a的所有可能值之后,必須代回原集合進(jìn)行檢驗(yàn).1.若，則a的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【變式2】若集合，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【變式3】已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為．【變式4】已知集合，，若，則實(shí)數(shù).2.利用根的判別式或韋達(dá)定理求解【典例2】已知集合A={x|ax2+2x+1=0}.(1)若A中沒(méi)有任何元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若A中只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若A中至少有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(4)若A中至多有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解決含參數(shù)、其代表元素是一元二次方程的解的集合有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可將求字母的范圍轉(zhuǎn)化為研究方程根的情況的問(wèn)題，即研究根的判別式的符號(hào)，對(duì)于某些二次項(xiàng)系數(shù)為字母參數(shù)的方程，還要分類(lèi)討論方程的類(lèi)型.【變式1】若集合中恰有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值是.【變式2】若非空集合不是單元素集，則其中所有元素之和.【變式3】已知集合為實(shí)數(shù).(1)若集合是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若集合是單元素集，求實(shí)數(shù)的值；(3)若集合中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型07集合中的新定義問(wèn)題【典例】設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6解決集合中的新定義題，要耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求逐步分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以解決【變式1】設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20【變式2】設(shè)集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集合A?B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，則A?B中所有元素之積為（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【變式3】設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（

）個(gè)．A．14 B．16 C．18 D．20【變式4】當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿(mǎn)足“如果，則，且時(shí)，”時(shí)，我們稱(chēng)G就是一個(gè)數(shù)域，以下四個(gè)關(guān)于數(shù)域的命題：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域G有非零元素，則；③集合是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，其中真命題有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型08集合中的開(kāi)放探究題【典例】已知集合A的元素全為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足：若，則.（1）若，求出A中其它所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出A中的所有元素？集合離不開(kāi)元素,元素是集合的核心，因此解決有關(guān)集合中的探索性問(wèn)題時(shí)，可以從集合中的元素入手，作為解題的切入口，同時(shí)還需注意集合中元素的互異性.【變式1】已知數(shù)集M同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：①M(fèi)中不含元素－1，0，1；②若a∈M，則eq\f(1＋a,1－a)∈M.則下列結(jié)論正確的是（）A．集合M中至多有2個(gè)元素B．集合M中至多有3個(gè)元素C．集合M中至少有4個(gè)元素D．集合M中有無(wú)窮多個(gè)元素【變式2】已知集合，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足集合至少有5個(gè)元素的的值：．【變式3】設(shè)A是非空實(shí)數(shù)集，且.若對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)；若對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)集合A具有性質(zhì).(1)寫(xiě)出一個(gè)恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)的集合A；(2)若非空實(shí)數(shù)集A具有性質(zhì)，求證：集合A具有性質(zhì).單選題1．在“①難解的題目；②方程在實(shí)數(shù)集內(nèi)的解；③直角坐標(biāo)平面上第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)；④很多多項(xiàng)式”中，能夠組成集合的是（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④2．已知集合.則（

）A． B． C． D．3．已知集合，，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．下列各組集合中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．5．已知集合，且，則（

）A． B． C． D．6．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，我們把函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，則點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域的面積是（

）A．4 B．2 C．6 D．1多選題7.下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A．10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集