27/28專題3函數(shù)的單調(diào)性和最值教學目標1.能求函數(shù)的單調(diào)性，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；2.掌握函數(shù)單調(diào)性的證明，會求常用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.會利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大與最小值.并能通過函數(shù)的單調(diào)性求待定參數(shù)的值。教學重難點重點（1）利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）掌握函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性及簡單應用；難點：（1）數(shù)形結(jié)合求單調(diào)性問題；（2）數(shù)形結(jié)合處理參數(shù)問題。知識點01函數(shù)的單調(diào)性（基礎）1．增函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2.減函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).3.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．4.常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當時，在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當時，在和上單調(diào)遞減當時，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對稱軸為當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減【即學即練】1.(2024·貴溪市實驗中學高二期末)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________；【答案】【解析】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.2．(2025·和平區(qū)·天津市第二南開中學高一期中)函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是_____．【答案】【解析】的圖象開口向下，又的對稱軸為，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.知識點02函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明（重點）1.定義法：一般用于證明函數(shù)的單調(diào)性，設函數(shù)，證明的單調(diào)區(qū)間為①取值：任取，，且；②作差：計算；③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數(shù)；④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數(shù)；⑤下結(jié)論：指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性2．圖象法一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3．性質(zhì)法（1）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與在給定區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；（3）和的公共定義區(qū)間，有如下結(jié)論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減【即學即練】1．(2025·湖北武漢高一上聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=，證明函數(shù)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.【證明】?x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，f(x)=則f(x1)-f(x2)==，因為x1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.2.證明:函數(shù)f(x)=1-【分析】按定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟進行，證明的關鍵是進行變形，盡量變成幾個最簡單因式的積或商的形式.【證明】任取x1,x2∈[-1,0],且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1-x12-1-∵x1,x2∈[-1,0],且x1<x2,∴x2-x1>0,x1+x2<0,1-x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)=1-知識點03函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ仉y）1．最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得 那么稱是函數(shù)的最大值；2．最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；【即學即練】1.（24-25高一上·山西忻州·開學考試）二次函數(shù)在上的最大值為，對應的的值為.【答案】【解析】，所以二次函數(shù)對稱軸為，且開口向上，當時，二次函數(shù)在上取最大值且最大值為：.知識點04復合函數(shù)的單調(diào)性（拓展）一般地，對于復合函數(shù)，單調(diào)性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時，復合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增【即學即練】1．（2025·全國·高三專題練習）當時，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因為，所以，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，當時，即，所以，所以函數(shù)的值域為：.題型01用定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性【典例】設函數(shù)，.判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】在上為增函數(shù)，證明見解析.【解析】任取且，，因為，所以，，所以，所以，所以在上為增函數(shù)；用定義法證明或判斷單調(diào)性1.函數(shù)單調(diào)性的證明目前只能用定義法，即利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明，其步驟是固定的，即：取值、作差變形、定號、判斷.其關鍵是“作差變形”.2.對于有些函數(shù)的單調(diào)性證明，也可利用作商比較的策略，其步驟為：取值、作商變形、定號、判斷，其中定號是將商式與1比較.3.對于含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，利用定義判斷時，若參數(shù)取任意值時，無法確定作差（商）變形后的式子符號（或與1的關系），則說明函數(shù)的單調(diào)性與變量的取值有關，這時要注意對變量進行分類討論.【變式1-1】（2024秋·高一課時練習）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【證明】任取，.又，，.∴，則，即.∴在區(qū)間上是增函數(shù).【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習）求證：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．【證明】設，且，則,，且，又，,,即，故函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù).題型02用性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性【典例】(2024臺州市黃巖中學高一月考)函數(shù)f(x)＝1－()A．在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增B．在(1，＋∞)上單調(diào)遞增C．在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減D．在(1，＋∞)上單調(diào)遞減【答案】B【解析】f

(x)圖象可由y＝－圖象沿x軸向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到，如圖所示．性質(zhì)法判斷單調(diào)性借助圖表或者函數(shù)性質(zhì)可以直觀地顯現(xiàn)兩個變量的關系，便于我們分析和猜想，從而發(fā)現(xiàn)單調(diào)性．【變式2-1】(2024·全國高一課時練習)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增的是()A．y=-3x-1 B．y=C．y=x2-4x+5 D．y=|x-1|+2【答案】D【解析】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-3x-1在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減，故A錯誤；由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減，故B錯誤，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，故C錯誤；由一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上單調(diào)遞增.故選：D.【變式2-2】(2023·太原市·山西實驗中學高一月考)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】A【解析】直接通過解析式，結(jié)合二次函數(shù)圖象得：遞增，在遞減，故選：A.題型03求復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間【典例】（2024·海南?？诮y(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【解析】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法分解復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合或者討論得出單調(diào)性．【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A題型04運用單調(diào)性求參數(shù)【典例】(2025·江西宜春市高安中學高一期末(理))已知函數(shù)f(x)=，在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D．【答案】D【解析】函數(shù)，畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：函數(shù)在上單調(diào)遞減，由圖象可知：，解得：，故實數(shù)的取值范圍是：.運用單調(diào)性求參數(shù)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的一般方法:(1)將參數(shù)看成已知數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再與已知的單調(diào)區(qū)間比較,求出參數(shù)的取值范圍;(2)運用函數(shù)單調(diào)性的定義建立關于參數(shù)的不等式(組),解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍,即將函數(shù)值之間的不等關系與自變量之間的不等關系進行等價轉(zhuǎn)化.【變式4-1】(2025·四川省遂寧市第二中學校高一月考(文))已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以a的取值范圍是，【變式4-2】(2025·云南大理白族自治州·賓川四中高一開學考試)若是定義在上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上的減函數(shù)，所以，即，解得.【變式4-3】（2023·全國·高一專題練習）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】的圖象如圖所示，要想函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，必須滿足，因為是的子集，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件.題型05運用單調(diào)性解不等式【典例1】(2023·全國高一課時練習)已知y=f(x)是定義在區(qū)間(-2，2)上單調(diào)遞減的函數(shù)，若f(m-1)>f(1-2m)，則m的取值范圍是_______.【答案】【解析】由題意得：解得<m<.【典例2】(2024·全國高一課時練習)已知f(x)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，則滿足的x的取值范圍是_______.【答案】x＜【解析】因為，所以和化為，又因為f(x)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，解得.利用函數(shù)單調(diào)性解不等式通過構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù),借助該函數(shù)的單調(diào)性將方程或不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量取值的大小問題.【變式5-1】（2024·云南保山高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù),滿足,且當時,.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(2)若,解不等式.【解析】（1）在上單調(diào)遞增,理由如下:因為定義域為,不妨取任意,且,則,由題意,即,所以在上單調(diào)遞增.（2）因為,令,由可得:,即,由,可得,令,,則,所以不等式,即,即,由(1)可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以只需,解得,所以不等式的解集為.【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2m－3)>f(－m)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】D【解析】因為函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2m－3)>f(－m)，所以，得，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1)，故選：D【變式5-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得．題型06運用單調(diào)性求最值或值域【典例1】(2024·廣東汕頭市高一期末)設函數(shù)，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，由，得，不符合題意；當時，函數(shù)的對稱軸為，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)，要使，恒成立，只需，解得，所以；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時函數(shù)，要使，恒成立，只需，解得，不符合題意；綜上：實數(shù)的取值范圍是.【典例2】(2023·廣東廣州市高一期末)已知函數(shù)，若，，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】，恒成立，即恒成立，設在單調(diào)遞減，所以，所以.運用單調(diào)性求求最值或值域根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性，運用數(shù)形結(jié)合或者分類討論．得出最值或值域?！咀兪?-1】(多選)（2025秋·云南怒江·高一?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為B．的最大值為C．的最小值為D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ABC【解析】對于A，由圖象可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為，A正確；對于B，當時，，B正確；對于C，當時，，C正確；對于D，由圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和，但并非嚴格單調(diào)遞增，不能用“”連接，D錯誤.【變式6-2】（2025秋·高一單元測試）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)(1)求實數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在,上的最大值和最小值．【答案】(1)，單調(diào)遞增(2)最小值，最大值【解析】（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，解得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，在,上為減函數(shù)．又所以題型07含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題【典例1】（2024·陜西西安高一校考階段練習）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值【解析】，（1）當，即時，，（2）當，即時，，（3）當即時，，.【典例2】（2024·全國高三專題練習）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）設，則，因為，所以，故，解得：又所以，所以；（2）由（1）得，圖象開口向上，對稱軸為．當時，，所以此時函數(shù)的最大值為；當時，，所以此時函數(shù)的最大值為；綜上：．含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論．結(jié)合圖形，得出最值或值域?！咀兪?-1】（2024秋·寧夏銀川·高一校考階段練習）已知函數(shù)（）的最小值為–1．(1)求實數(shù)a的值；(2)當，時，求函數(shù)的最小值．【解析】（1）∵函數(shù)，∴函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線．∴，解得或（舍）．∴實數(shù)a的值為2．（2）由（1）知函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線．①當，即時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，∴；②當時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，∴；③當，即時，易知．綜上，當時，；當時，；當時，．【變式7-2】（2022秋·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求時的最小值．【解析】（1）的開口向上，對稱軸為，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.（2）當時，，開口向上，對稱軸為，所以，當時，在時取得最小值，即；當，時，在時取得最小值，即；當時，在時取得最小值，即.所以.題型08利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題【典例】（2024·高一課時練習）已知函數(shù).(1)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）解法一：對任意的，恒成立，即恒成立，即對任意的恒成立.①當時，不等式為恒成立，此時；②當時，，∵，∴，∴，當且僅當時，即時取“=”，∴，綜上，a的取值范圍為；解法二：由題可得對任意成立，所以，對于二次函數(shù)，對稱軸為軸，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當時，則，解得；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，無解，綜上，a的取值范圍為；（2）由題可得，則當時，不等式恒成立，則，整理得：，解得：或，∴x的取值范圍為或.利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題分析函數(shù)的特點，根據(jù)不等式的性質(zhì)，分離參數(shù)或者分離函數(shù)或者結(jié)合圖形，可解決參數(shù)問題?！咀兪?-1】（2024·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學校考期中）已知.(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)解集見解析【解析】（1）變形得到對一切實數(shù)x恒成立，當時，，不對一切實數(shù)x恒成立，舍去；當時，則需，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是；（2），即，因為，所以，因為，所以當時，，解集為，當時，，解集為，當時，，解集為，綜上：當時，的解集為，當時，的解集為，當時，的解集為.【變式8-2】（2024·江蘇高一專題練習）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由見解析；(2).【解析】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞增；（2）若對任意的時，恒成立，時，無意義，舍去，當時，，此時無解，舍去，所以，只需求出的最大值，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故，又因為，，故，故，所以，因為，故解得：或?qū)崝?shù)的取值范圍是.題型9分類討論法與函數(shù)的單調(diào)性【典例】（2024·全國·高三對口高考）設的定義域為，對于任意實數(shù)，則的最小值__________．【答案】【解析】可化為，當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取最小值，最小值為，當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取最小值，最小值為，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取最小值，最小值為，所以，故答案為：.分類討論法分析函數(shù)的特點，分成多段，分析每段特點，結(jié)合圖形，討論出結(jié)果?！咀兪?-1】（2025·高一課時練習）定義一種運算，設（t為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值是__________．【答案】【解析】若在上的最大值為4，所以由，解得或，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)新定義，結(jié)合與圖象可知，當，時，，此時解得，當，時，，此時解得，故或4，故答案為：或4.

題型10數(shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性【典例】（2024·全國高三對口高考）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】若存在，使得成立，則說明在上不單調(diào)，當時，，圖象如圖，滿足題意；當時，函數(shù)的對稱軸，其圖象如圖，滿足題意；當時，函數(shù)的對稱軸，其圖象如圖，要使在上不單調(diào)，則只要滿足，解得，即.綜上，.數(shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)果?！咀兪?0-1】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在時為單調(diào)遞增，即，解得；易知，二次函數(shù)是開口向上且關于對稱的拋物線，所以為單調(diào)遞增；若滿足函數(shù)在上單調(diào)遞增，則分段端點處的函數(shù)值需滿足，如下圖所示：所以，解得；綜上可得.練基礎1．函數(shù)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是（） A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)題干圖象求出單調(diào)遞增區(qū)間即可.【解析】由題圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C2．(2025·廣東廣州高一上聯(lián)考)函數(shù)在區(qū)間(2，4)上()A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減C．先減后增 D．先增后減【答案】C【解析】函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=3，此函數(shù)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞增.3．（2024高二上·江蘇·學業(yè)考試）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，可求值域.【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，拋物線的開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，所以函數(shù)的值域為.故選：C.4.設函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),a,b∈R,且a+b≤0,則下列選項正確的是()A.f(a)+f(b)≤f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)【答案】D【分析】由a+b≤0得a≤-b,b≤-a,再根據(jù)單調(diào)性得f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),相加即可確定正確選項.【解析】∵a+b≤0,∴a≤-b,b≤-a,又∵函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).5.(2024·深圳市高級中學)已知函數(shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是()．A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，解得或．6.(2024·浙江省淳安縣汾口中學高一開學考試)函數(shù)滿足條件：對任意的，都有，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B．C．且 D．【答案】A【解析】因為對任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，當時，在定義域上單調(diào)遞增，滿足條件；當時，則，解得，綜上可得；7．（24-25高一下·廣西貴港·期中）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對稱軸與區(qū)間的關系構(gòu)造不等式求解即可.【解析】由題意二次函數(shù)對稱軸為：，要使得函數(shù)在上具有單調(diào)性，需滿足或，得或，則k的取值范圍為．故選：B8．（多選）已知函數(shù)，則（） A． B．若，則 C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在的值域為【答案】ABD【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐個分析判斷即可【解析】作出分段函數(shù)圖象：對A，，故A正確；對B，當時，，舍去；當時，（舍）或，則，故B正確；對C，當時，，結(jié)合圖象可得，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對D，由圖象可知當時，，，故在的值域為，D正確．故選：ABD．9．（多選）（24-25高一下·山西大同·期末）已知函數(shù)（），下列說法正確的是（

）A．當時，函數(shù)的值域為B．當時，函數(shù)有最小值沒有最大值C．當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．當時，函數(shù)的值域為【答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)對勾函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可求解BCD.【解析】對于A，時，，當，當且僅當取到等號，由于，故為奇函數(shù)，故當，因此函數(shù)的值域為，故A正確，對于B，當時，，由于函數(shù)均在單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞增函數(shù)，故在內(nèi)無最大值也無最小值，結(jié)合，故為奇函數(shù)，因此在也無最大值和最小值，故B錯誤，對于C，當時，，函數(shù)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯誤，對于D，由B可知，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，因此函數(shù)的值域為，D正確，故選：AD10．（2025高三·全國·專題練習）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解析】函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由在上不單調(diào)，得，所以實數(shù)a的取值范圍為.11.（2024?灤南縣校級月考）函數(shù)y=1x2【答案】（﹣∞，﹣5）【解析】要使函數(shù)有意義，則x2+4x﹣5＞0，解得x＜﹣5或x＞1，所以函數(shù)y=1x2所以y＝x2+4x﹣5的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣5），因為y=1所以數(shù)y=1x12（2025高一上·河北保定·專題練習）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合一元二次不等式的恒成立關系求解.【解析】當時，有恒成立，滿足題意；當時，令，對稱軸為，時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則有，解得，時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則有，解得，綜上可知，的取值范圍是.13．（2025?江蘇南通高一上期末）已知函數(shù)f(x)=x+1（1）證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【解析】（1）證明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x=(x∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0，∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；（II）解：由（I）知：f（x）在[1，4]上是增函數(shù)，∴當x＝1時，有最小值2；當x＝4時，有最大值17414．已知函數(shù).(1)將寫成分段函數(shù)的形式，并作出函數(shù)的圖象；(2)寫出其單調(diào)區(qū)間（不用證明）.【答案】(1)，圖象見解析；(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為【解析】（1）當時，，當時，，故.圖象如下圖:（2）由圖可知：的單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：.練提升15．（2025·河南南陽·模擬預測）已知是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性列式求解.【解析】函數(shù)是增函數(shù)，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D16．（2025·安徽·模擬預測）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【解析】①當時，；若，則，當時，；若，當時，取得最小值－3，即；若，，，，在時單調(diào)遞增，；②當時，函數(shù)的圖象是一個二次函數(shù)，其對稱軸為；若，則在上單調(diào)遞減，；若，；若，則在上單調(diào)遞增，；因為函數(shù)的值域為，當時，在時最小值為，在時，不滿足值域為；當時，，，，不滿足值域為；當時，在時，在時；為使值域為，需滿足，解得.綜上，.故選：D.17．（23-24高一上·北京·期末）已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)的取值范圍為

A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出函數(shù)在的值域，再利用集合的包含關系列式求解即得.【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，函數(shù)的值域為；函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域為，由，使得，得，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C18.(多選)（24-25高一下·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)滿足，都有，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．的充要條件為C．為減函數(shù) D．若，則【答案】AB【分析】利用特值法構(gòu)造、消元，得到函數(shù)（為常數(shù)）的形式，進而判斷各選項的正確性.【解析】令，方程變?yōu)椋?，則，∴，結(jié)合原方程，令得，設，則，∴，∴（其中為常數(shù)）.對于A：?由（因，故），若，則，得，此時，故A正確；對于B：∵是嚴格增函數(shù)（斜率為1），故當且僅當，故B正確；對于C：∵斜率為1，是增函數(shù)，非減函數(shù)，故C錯誤；?對于D：∵，得，故，故D錯誤.?故選：AB19．（多選）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函數(shù)對于一切實數(shù)，都有，當時，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則C．是增函數(shù) D．【答案】AD【知識點】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】令，，結(jié)合可求得，可判斷A；令，可判斷B；令，由可判斷C.令，由可判斷D；【解析】對于A，令，，則；由時，得：，，A正確；對于B，令，得，B錯誤，對于D，令，則；當時，，，，對于任意，，D正確；對于C，設，；，，即，又，，在上單調(diào)遞減，C錯誤.故選：AD20.（2025?南崗區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）=x2?mx+5，x≤1mx，x＞1，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）