27/28專題3.1不等式的性質(zhì)教學目標(1)通過具體情況，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著的大量的不等關系;(2)了解不等式（組）的實際背景；(3)理解不等式的性質(zhì).(4)會利用數(shù)軸求無限集的交集、并集的運算，體會數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用．教學重難點1.重點(1)比較兩個數(shù)的大小；(2)不等式的性質(zhì)及應用．2.難點(1)對不等式的性質(zhì)的理解；(2)證明不等式．知識點01不等式的概念在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數(shù)學符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.自然語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符號語言【即學即練】1.用不等式表示下列不等關系：（1）某段高速公路規(guī)定機動車限速80km/h至120km/h.（2）x的5倍與7的差大于3.（3）糖水中有糖，若再添上糖，則糖水變甜了.【答案】（1）（2）（3）【分析】根據(jù)題意結(jié)合實際情況列出關系式即可【解析】（1）根據(jù)限速80km/h至120km/h，可得（2）（3）涉及糖水濃度，糖做分子，糖水做分母，列出不等關系有【點睛】實際問題列不等式最容易忽略每一個參數(shù)的限定條件，列式時要尤為注意知識點02比較大小1.作差法比較兩實數(shù)大小依據(jù)如果a－b＞0，那么a＞b.如果a－b＜0，那么a＜b.如果a－b＝0，那么a＝b.結(jié)論確定任意兩個實數(shù)a，b的大小關系，只需確定它們的差a－b與0的大小關系.2.作商法比較兩實數(shù)大小依據(jù)設如果，那么a＞b.如果，那么a＜b.如果，那么a＝b.結(jié)論確定任意兩個正實數(shù)a，b的大小關系，只需確定它們的商a－與1的大小關系.【即學即練】1．（24-25高一上·河南信陽·階段練習）試比較與的大小【答案】【解析】（1）因為所以.2．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比較與的大?。?）已知，，比較與的大?。敬鸢浮浚?）；（2）【分析】（1）作差法得出差值為負；（2）作差并因式分解得出即可判斷正負.【解析】（1）因為，所以；（2）因為，又，，則，，所以，得到.知識點03不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)可開方性【即學即練】1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正確的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＜eq\r(b)C．a(chǎn)2＜b2 D．|a|＞|b|【答案】A【解析】A正確，B、C、D可舉反例排除，如對B、C，設a＝－9，b＝1，對D，設a＝－1，b＝2即可．2.(多選)（23-24高一上·貴州黔南·期末）設，則下列選項中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)推理判斷AC；舉例說明判斷B，作差判斷D.【解析】對于A，由，得，A正確；對于B，取滿足，而不成立，B錯誤；對于C，由，得，則，C正確；對于D，由，得，則，D正確.故選：ACD知識點04不等式的拓展性質(zhì)（拓展）1.取倒數(shù)性質(zhì)倒數(shù)法則：若.（巧記：同號兩數(shù)，大數(shù)的倒數(shù)反而小）2.有關分數(shù)的性質(zhì)若，則：(1)真分數(shù)的性質(zhì)（俗稱糖水不等式）：，；(2)假分數(shù)的性質(zhì)：>,<【即學即練】1．（24-25高一下·浙江·期中）設，若，則下列不等式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應用不等式的性質(zhì)及作差法判斷A，B，C，再應用特殊值法判斷D.【解析】因為，則，則，A選項正確；因為，由倒數(shù)法則得，B選項正確；因為，則，則，C選項正確；取，所以，D選項錯誤；故選：D.題型01用不等式（組）表示不等關系【典例1】某汽車公司因發(fā)展需要，需購進一批汽車，計劃使用不超過1000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，設購買A型汽車和B型汽車分別為x輛，y輛，寫出滿足上述所有不等關系的不等式組.【答案】【分析】根據(jù)題意列式即可.【解析】由題意得，即.用不等式（組）表示不等關系時，要注意提取題中所有不等關系的信息，再將它們“翻譯”成數(shù)學語言，即得不等式（組）.【變式】咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為9g，4g，3g，乙種飲料用奶粉、咖啡、糖分別為4g，5g，5g．已知每天使用原料分別為奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，設每天配制甲種飲料x杯，乙種飲料y杯，則滿足上述所有不等關系的不等式組為．【答案】【分析】根據(jù)題意，列出一元一次不等式組，即可得到答案.【解析】設每天配制甲種飲料x杯，乙種飲料y杯，其中每天使用原料分別為奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，可得所有不等關系的不等式組為.故答案為：.題型02由己知條件判斷所給不等式是否正確【典例1】（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)或反例可得選項.【解析】因為，所以，D正確；當時，滿足，但是，A,C不正確；當時，滿足，但是，B不正確；故選：D【典例2】（24-25高一上·湖南益陽·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AC，舉例說明判斷BD.【解析】A：若，則，故A錯誤；B：舉例，不成立，故B錯誤；C：由題意知，則，故C正確；D：舉例，不成立，故D錯誤.故選：C對于這類題型，一般有以下兩種方法：(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．【變式1】（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意實數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性質(zhì)一一判定選項即可.【解析】若，故A錯誤；若，故B錯誤；若，故C錯誤；顯然，故D正確.故選：D【變式2】（2025春?大名縣校級期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（）A．若a＞b，則1a＜1b B．若a＞b，則ac2C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解析】對于A，令a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a＞1對于B，當c＝0時，ac2＝bc2，故B錯誤，對于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正確，對于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，滿足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D錯誤．故選：C．【變式3】（2022?孝義市開學）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【解題思路】由1a＜1b＜0【解答過程】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項B正確，故選：B．【變式4】（2025春?包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則1【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接判斷．【解析】選項A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，選項A錯誤，選項B，如c＝0，不等式不成立，選項B錯誤，選項C，根據(jù)不等式兩邊同除以﹣3，不等號改變，∴選項C正確，選項D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，選項D錯誤，故選：C．題型03由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)大小【典例】（24-25高一下·重慶·期中）若，，，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉反例排除ABD，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可得解.【解析】對于A，取，滿足，但，故A錯誤；對于B，取，滿足，但，故B錯誤；對于D，取，則，故D錯誤；對于C，因為，則，又，所以，故C正確.故選：C.利用不等式的性質(zhì)比較兩式的大小時，往往利用不等式的基本性質(zhì)進行多次變形，從而得到所比較的兩個式子的大小.【變式1】（2025?孝義市開學）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【答案】B【分析】由1a＜1b＜0【解析】∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項B正確，故選：B．【變式2】已知，，試比較與的大小.【答案】答案見解析.【分析】討論的符號，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明.【解析】由，，當時，則，當時，則，當時，則.題型04作差法比較大小【典例】（23-24高一上·貴州六盤水·期中）比較大?。海?）設，比較的大?。唬?）設，比較的大小；【答案】（1）；（2）；③；【分析】（1）利用有理根式可得，再由即可得的大小關系；（2）用作差法比較即可；【解析】（1），因為，所以，即；.(2)，.(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．【變式1】如果，比較與的大小并證明．【答案】，證明見解析【分析】利用作差法比較大小即可.【解析】，理由如下：，當時等號成立，所以.【變式2】若，試比較與的大?。敬鸢浮俊痉治觥糠纸M因式分解，得到，結(jié)合條件即得.【解析】，因為，所以，故.【變式3】（24-25高一上·湖北武漢·階段練習）設、均為正實數(shù)，試比較和的大小．【答案】當時，；當時，；當時，．【解析】．因為，均為正實數(shù)，所以．當，即時，，此時；當，即時，，此時；當，即時，，此時．

綜上可得：當時，；當時，；當時，．題型05作商法比較大小【典例】（24-25高一下·黑龍江鶴崗·期末）設，比較與的大小【答案】【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與1進行比較即可.【證明】，，，.當所比較的兩個數(shù)或代數(shù)式含有冪、指數(shù)式或分式時，?？紤]作商法.【變式1】比較與的大小；【答案】【分析】利用作商法，分類討論即可；【解析】因為，所以，所以①當時，，所以，②當時，，即，所以，③當時，，即，所以，綜上所述：當，.【變式2】（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計算，從而可得，進而可求解.【解析】（方法1）因為，所以.所以.因為，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.題型06利用不等式性質(zhì)求值或取值范圍【典例1】（2025湖北武漢高一上聯(lián)考）已知，，求，及的取值范圍．【答案】的取值范圍為；的取值范圍為；的取值范圍為.【分析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求解.【解析】（1）因為，所以，又，兩個不等式相加可得，即．因為，所以，又，兩個不等式相加可得，即．因為，所以，當時，兩個不等式相加乘可得：，即；當時，兩個不等式相加乘可得：，即，所以．的取值范圍為；的取值范圍為；的取值范圍為.【典例2】已知，，求的取值范圍.【答案】【分析】計算出，從而得到，得到答案.【解析】設，∴，∴，解得，故，∵，，∴，，∴，即，故的取值范圍為.【易錯警示】本例中如果由，得到x,y的取值范圍，再求x-2y的取值范圍，那么得到的結(jié)果不是正確答案.這是因為求得的x,y的取值范圍與已知條件不是等價關系.利用性質(zhì)求范圍問題的基本要求(1)利用不等式性質(zhì)時，要特別注意性質(zhì)成立的條件，如同向不等式相加，不等號方向不變，兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能相乘等.(2)要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍，注意變形的等價性.【變式1】（24-25高一上·四川德陽·階段練習）若，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計算可得.【解析】因為，所以，所以，即的范圍為.【變式2】（2025高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）若實數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計算即可求解.【解析】由，得，又，所以.即的取值范圍為.【變式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案.【解析】令，則，即，由，即，可得，則.題型07證明不等式【典例】（1）已知，，，求證：；（2）證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【證明】（1）因為，所以．又，所以，則，所以，即．又，所以．（2）要證，只需證，即證，即證，即證，即證，顯然成立，所以．(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用．(2)應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【變式1】求證：．【答案】證明見解析【分析】利用濃度不等式進行放縮，即可證明.【解析】?由濃度不等式，可得，則有，于是，，因此．證明濃度不等式：，其中，證明：，所以.【變式2】（24-25高一上·陜西渭南·階段練習）（1）已知，，，求證：．（2）已知，，，，求證：．【答案】證明見解析；證明見解析【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)證明；（2）利用基本不等式“1”的妙用證明不等式.【解析】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵，，，且，∴，當且僅當時取等號．.題型08等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的綜合運用【典例】（24-25高三下·浙江·階段練習）已知，，為正整數(shù)，，則方程的解得個數(shù)為（

）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，可以斷定，之后對分別求解，得到結(jié)果.【解析】因為，所以，當時，則，即，可得可??；當時，則，可得可?。划敃r，則，解得，或，進而解得為；當時，則，可得為；所以方程的解的個數(shù)為，故選：B.不等式的性質(zhì)常與方程綜合，判斷方程根的個數(shù)的問題，在解題的過程中，注意結(jié)合不等式的性質(zhì)，求得某個變量的取值，分類討論求得結(jié)果.【變式1】（24-25高一下·四川成都·期中）實數(shù)，，滿足且，則下列關系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等式可變形為，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比較大小.【解析】由可得，則，由可得，利用完全平方可得所以，，，綜上，故選：D【變式2】（2023高一·上海·專題練習）給定無理數(shù)．若正整數(shù)滿足．(1)試比較三數(shù)，，的大小；(2)若，證明下面三個不等式中至少有一個不成立①；②；③．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）作差法比較大小；（2）利用反證法，因，又，故可分，與證明.【解析】（1）由題意可知，，所以bc＞ad，所以，所以，，所以，所以；（2）證明：由（1），又若假設①；②；③都成立，①③之和可得：④，②③之和可得：⑤，④化簡得，⑤化簡得，由④⑤之和可得：，即，則，又為正整數(shù)，所以是有理數(shù)，故矛盾；假設不成立若且，同理可證下列三個不等式中至少有一個不成立；①；②；③所以三個不等式中至少有一個不成立.題型09不等式性質(zhì)與充分必要性的綜合【典例】（24-25高三下·江西贛州·階段練習）已知實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】化簡，對照條件的定義可得答案.【解析】不等式，等價于，因為，所以，顯然，不一定得出；也不一定得出.故選：D對于不等式與充分性、必要性綜合的問題，一般利用不等式的性質(zhì)推證充分性或必要性是否成立，即不等式的性質(zhì)在解題中取到解題工具的作用.【變式1】（2025·山東泰安·模擬預測）已知，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必聚條件【答案】A【分析】令可判斷必要性，設取絕對值可判斷充分性.【解析】當時，成立，但不成立，所以是不必要條件；若，則，所以是充分條件.綜上，是的充分不必要條件.故選：A【變式2】（24-25高一下·廣東湛江·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合舉反例說明.【解析】當，，時，滿足，此時，即不能推出；當，，時，滿足，此時，即不能推出.故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.題型10不等式性質(zhì)的實際應用【典例】（2025春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定【答案】B【分析】比較走完路程所用時間大小來確定誰先到教室，故應把兩人到教室的時間用所給的量表示出來，作差比較【解析】設步行速度與跑步速度分別為v1，v2，顯然v1＜v2，總路程為2s，則甲用時間為sv1+而s=s(故sv故選：B．實際問題中的比較兩個量的大小問題，往往能轉(zhuǎn)化為不等式中的比較兩個數(shù)（或式）的大小問題，再作差或作商得到結(jié)果.【變式1】某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（）A．甲先到達終點 B．乙先到達終點 C．甲乙同時到達終點 D．無法確定誰先到達終點【答案】B【分析】根據(jù)題意，設全程的距離為2s，用s、a、b表示甲、乙的時間，用作差法分析可得答案．【解析】根據(jù)題意，設全程的距離為2s，對于甲，前半程s的時間為sa，后半程的時間為sb，則甲的時間t1對于乙，前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑，則有a×t22+b變形可得t2=4s則有t1﹣t2=s(a+b)ab?4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]又由a≠b，則t1﹣t2＞0，故乙先到達終點，故選：B．【變式2】（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【答案】見解析【分析】當x＞y時，利用不等式的性質(zhì)可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；當x＜y時，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解析】①當x＞y時，則x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此種條件下取A，B能夠穩(wěn)操勝券．②當x＜y時，則y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此種條件下取D，C能夠穩(wěn)操勝券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握．故可能有1種，就是取A，D．【變式3】（24-25?懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往．甲車隊說：“如領隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠”．這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．【答案】當單位去的人數(shù)為5時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．【分析】根據(jù)兩家的政策，求出坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，作差，即可得出結(jié)論．【解析】設該單位有職工n人（n∈N*），全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+3=14x=14x（1當n＝5時，y1＝y(tǒng)2；當n＞5時，y1＜y2；當0＜n＜5時，y1＞y2．因此當單位去的人數(shù)為5時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．題型11與不等式有關的新定義題【典例】（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設，，則的最大值為．【答案】2【分析】分是否大于進行討論，由此即可簡化表達式，若，則可以得到，并且存在，，使得，，同理時，我們可以證明，由此即可得解.【解析】若，則，此時，因為，所以和中至少有一個小于等于2，所以，又當，時，，所以的最大值為2．若，則，此時，因為，所以和中至少有一個小于2，所以．綜上，的最大值為2．故答案為：2.與不等式有關的新定義題求解的關鍵是：通過讀題、審題，充分挖掘問題中所隱含的信息，弄懂新定義的含義，再借助新定義及不等式的性質(zhì)去解決問題．【變式】（2025屆北京五十五中高一上期中）定義為，，中的最大值，設，則y的最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象即可得到函數(shù)的最小值.【解析】分別畫出的圖象，則函數(shù)y的圖象為圖中實線部分，如圖，函數(shù)y的最低點為，由，解得或，即，所以y的最小值為4.題型12與不等式有關的開放探究題【題型】（24-25高三上·北京通州·期末）已知均為大于0的實數(shù),給出下列五個論斷:①,②,③,④,⑤.以其中的兩個論斷為條件,余下的論斷中選擇一個為結(jié)論,請你寫出一個正確的命題.【答案】①③推出⑤(答案不唯一還可以①⑤推出③等)【分析】選擇兩個條件根據(jù)不等式性質(zhì)推出第三個條件即可，答案不唯一.【解析】已知均為大于0的實數(shù),選擇①③推出⑤.①，③，則，所以.故答案為：①③推出⑤此題考查根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小，在已知條件中選擇兩個條件推出第三個條件，屬于開放性試題，寫出一個符合要求的答案即可.【變式】（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c為實數(shù)，能說明“若，則”為假命題的一組a，b，c的值是.【答案】，，(答案不唯一)【分析】可以直接選一組特殊值，只要能滿足，但是即可.【解析】當時，，，此時滿足，但是.故答案為：(答案不唯一).一、單選題1.為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：①此煙花導火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；②人跑開的速度為每秒4米；③距離此煙花燃放點50米以外（含50米）為安全區(qū)．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導火索的長度x（厘米）應滿足的不等式為（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6≥50【答案】B【解析】直接由題意可列出不等關系式即可．由題意可得4×x故選：B．2.設，，則（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】運用作差法比較大小即可.【解析】因為，所以.故選：A.3.（2025·山西臨汾·二模）若，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【解析】由可得，故，故選：D4．（24-25高一上·北京·期中）若，，為非零實數(shù)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉反例說明ABD是錯誤的，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C的真假.【解析】令，，則，，因為此時，故A不成立；，故B不成立；，故D不成立；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)：，，故C成立.故選：C5．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，，所以，，故A正確，B錯誤；當時，，，故C錯誤，D錯誤．6．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】．當時，結(jié)合，可得．反之，如，亦成立，卻推不出．故“”是“”的充分不必要條件．7．（21-22高一上·遼寧大連·期中）近來豬肉價格起伏較大，假設第一周?第二周的豬肉價格分別為a元/斤?b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲?乙兩次平均單價為分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的大小無法確定【答案】C【分析】分別計算甲?乙購買豬肉的平均單價，作商法，結(jié)合基本不等式比較它們的大小.【解析】甲購買豬肉的平均單價為：，乙購買豬肉的平均單價為：，顯然，且，當且僅當時取“=”，因為兩次購買的單價不同，即，所以，即乙的購買方式平均單價較大.故選：C.8．（2025·廣西南寧·模擬預測）由杭州深度求索人工智能基礎技術(shù)研究有限公司推出，該公司是一家專注于人工智能（）的中國初創(chuàng)公司．其模型于2024年年底發(fā)布，此模型足以媲美，一經(jīng)推出便成為全球熱門話題．利用進行學習已經(jīng)成為一種學生自主學習的全新方式，但是目前市場各種模型運算參差不齊．技術(shù)人員對n個模型進行測試，測試由m道題組成，每個模型都對這道題逐一進行求解．若一道題至少有個模型未解對，則稱此題為難題；若一個模型至少解出了道題，則該模型測試成績合格．如果測試至少有個模型成績合格，且測試中至少有道題為難題，那么的最小值為（

）A．6 B．9 C．18 D．27【答案】B【分析】設有個模型合格，道題為難題，得到，再結(jié)合，求得范圍即可求解.【解析】設有個模型合格，道題為難題，則，依題意有，所以所以，同理，要使兩式有整數(shù)解，則，所以．當時，若3個模型生答題情況如下表：題目1題目2題目31√√×2√×√3√××則有2個模型合格，2個難題，符合題意，所以的最小值為9．故選：B二、多選題9．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）設，則P，Q，R的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因為，所以．因為，又，所以，所以．10.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若，則 D．若且，則【答案】BC【解析】對于A，取，則不成立，故A錯誤；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若，則，所以，所以，故C正確；對于D，若且，則，而b可能為0，故D錯誤．11．（24-25高一下·廣西柳州·開學考試）在下列四個命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．已知，，則D．已知，若，，則【答案】CD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解AB，利用整體法，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解C，利用作差法即可求解D.【解析】對于A,由，故，故A錯誤，對于B，由于，所以，又，所以，又，故，故，因此，故B錯誤，對于C,由于，結(jié)合，，則，故C正確，對于D,，由于，，故，即，故D正確，故選：CD三、填空題12．已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：,,,,,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,寫出一個一般性的不等式.【答案】【解析】根據(jù)已知條件，可知左邊表示的連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)和，并且有項的和，右邊是分母為2，分子是n,即為，因此我們可以得到一般結(jié)論：．13.若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是；若實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是．【答案】，【解析】若x，y滿足，則，從而．若，設，所以解得，則有，所以．14．（24-25高二下·上?！るA段練習）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍為【答案】【分析】先證明和，即可得到，最后驗證上的每個值都能被取到，即可得到的取值范圍是.【解析】①一方面，由于，故，從而.又由于，故.將和結(jié)合，就得到，即.②另一方面，對任意，可驗證是方程的正數(shù)解.此時取，根據(jù)上面方程，就有，同時顯然有.綜合①②兩個方面，即知的取值范圍是.四、解答題15．（24-25高一下·河北保定·階段練習）（1）已知，比較與的大?。?）比較與的大?。敬鸢浮浚?），（