2/37專(zhuān)題05權(quán)方和不等式、柯西不等式、基本不等式鏈應(yīng)用的四大題型題型一：應(yīng)用權(quán)方和不等式求最值題型二：應(yīng)用柯西不等式求最值題型三：應(yīng)用柯西不等式證明不等式題型四：基本不等式鏈的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)綜述】1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展）（1）二元柯西不等式：對(duì)于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．2．權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對(duì)于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．3.基本不等式鏈,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.其中分別為平方平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù).可利用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進(jìn)行放縮、轉(zhuǎn)化.題型一：應(yīng)用權(quán)方和不等式求最值權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.在代數(shù)式符合權(quán)方不等式的左邊或右邊的形式時(shí)，可以用權(quán)方和不等式快速求得相應(yīng)代數(shù)式的最值.1.函數(shù)的最小值為（

）A．39 B．52 C．49 D．36【答案】B【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，根?jù)權(quán)方和不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為.故選：B2.(2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】.【分析】利用權(quán)方和不等式求解即可【解析】，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3．的最大值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，故答案為：.4.已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為.【答案】2【解析】由權(quán)方和不等式，可知==，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2.5.已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【答案】【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.【解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).6．已知，求的最小值為【答案】【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)7．已知，且滿足，則的最小值為.【答案】【分析】由權(quán)方不等式，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可.【解析】由權(quán)方和不等式，可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.題型二：應(yīng)用柯西不等式求最值高中階段主要應(yīng)用二元柯西不等式解決相應(yīng)的問(wèn)題，二元柯西不等式如下：對(duì)于任意的，都有，對(duì)于上述形式左邊或右邊的代數(shù)式為定值時(shí)，往往能利用基本不等式求得另一邊代數(shù)式的最值，但利用柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值.而不少于三元的柯西不等式的應(yīng)用往往以新定義題的形式出現(xiàn).8．柯西不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】因?yàn)?，根?jù)題目中柯西不等式的三元形式可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是，故選：A9．（2025·北京朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，則，此時(shí)且，由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即，所以函數(shù)的最大值為2.故選：C.10.(多選)（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一種在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中廣泛使用的不等式，它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他不等式，也可以用于解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.以下是柯西不等式的原始形式：①對(duì)于所有實(shí)數(shù)和，有.②等式條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.例：已知，由柯西不等式，可得.運(yùn)用柯西不等式，判斷以下正確的選項(xiàng)有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)柯西不等式，等號(hào)成立條件為，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析計(jì)算，判斷其正誤.【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)柯西不等式.因?yàn)椋?，?所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，令，，則.根據(jù)柯西不等式.即.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)柯西不等式.因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，令，，則.根據(jù)柯西不等式.因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以，D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.（多選）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】將不等式變?yōu)?，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而構(gòu)造不等式求得的取值范圍，從而得到結(jié)果.【解析】由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即當(dāng)時(shí)，，，解得：，可能的取值為.故選：BCD.12．（2025江蘇南通高一上聯(lián)考）已知正實(shí)數(shù)x、y、z的和為1，則的最小值為．【答案】【分析】利用不等式構(gòu)造定值求解即可.【解析】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，∴，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．解法二：（均值不等式），，，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．解法三：（權(quán)方和不等式）．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．13．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）存在正數(shù)使得不等式成立，則的最大值是.【答案】3【分析】運(yùn)用柯西不等式計(jì)算即可.【解析】解:由柯西不等式可知由能成立.故答案為：3.14．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）的最小值為．【答案】/【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．15．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)分離常量法可得，結(jié)合權(quán)方和不等式計(jì)算可得，即，即可求解.【解析】，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，得，所以或（舍去），即的最小值為.16．（2024高二下·北京·競(jìng)賽）對(duì)于，若非零實(shí)數(shù)滿足，且使最大，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)等式先配方出平方和，再利用柯西不等式，湊出，以等號(hào)成立的條件為依據(jù)，把轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的函數(shù)，求最值即可.【解析】因?yàn)?，所以，由柯西不等式得，，?dāng)最大時(shí)，有，所以，，所以，當(dāng)，即時(shí)，上式取得最小值.故答案為：.【關(guān)鍵點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式，關(guān)鍵在于用柯西不等式湊出，當(dāng)反推柯西不等式時(shí)，需要結(jié)合不等式兩邊已有的式子，對(duì)相同未知數(shù)的系數(shù)進(jìn)行分析配湊.17．（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足:.(1)求的最小值;(2)求的最小值;(3)求的最小值.【分析】（1）利用常值代換法和基本不等式即可求得；（2）利用“1”的妙用，將所求式整理后運(yùn)用基本不等式求解即可；（3）利用柯西不等式求得的最小值，再利用常值代換法求得的最小值，且兩式都在時(shí)取等，故得所求式的最小值.【解析】（1），（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為25.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值是.（3）由柯西不等式（下面提供證明）可知:，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.故，即時(shí)，的最小值是.18．（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）我們利用完全平方公式得出了一類(lèi)重要不等式：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.我們從不等式出發(fā)，可以得到一個(gè)非常優(yōu)美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式為：，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.(1)若，求的最小值；(2)求的最大值；(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范圍.【分析】（1）構(gòu)造應(yīng)用柯西不等式計(jì)算即可；（2）構(gòu)造應(yīng)用柯西不等式計(jì)算即可；（3）先化簡(jiǎn)得出，再構(gòu)造應(yīng)用柯西不等式結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解；【解析】（1）因?yàn)榭挛鞑坏仁娇傻茫忠驗(yàn)?，所以，即?當(dāng)且僅當(dāng)取最小值3；（2）因?yàn)榭挛鞑坏仁娇傻?，又因?yàn)椋?，即得，化?jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)取最大值9；（3）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)榭挛鞑坏仁娇傻?，又因?yàn)?，，所以，令，所以，即得，?dāng)且僅當(dāng)取最小值24；所以m的取值范圍是.題型三：應(yīng)用柯西不等式證明不等式應(yīng)用柯西不等式證明不等式時(shí)，一是要注意各數(shù)均為正數(shù)，二是要注意等號(hào)是否取得到.19.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若a，b，c為正數(shù)且，求證：.【證明】由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.20．（23-24高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，證明:.【證明】因?yàn)椋?，而，因此，?dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以.21．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知，且．(1)求的最小值m；(2)證明：．【分析】（1）將等式變形為，再利用基本不等式，（2）對(duì)已知條件兩邊同除可得，再利用柯西不等式求證.【解析】（1）由均值不等式可知，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立）.整理得，故的最小值為4．（2）由（1）知，即證，由可得，即有，由柯西不等式可知，取等條件為，即．故，即：得證.題型四：應(yīng)用基本不等式鏈求最值由基本不等式鏈可知，兩個(gè)正數(shù)的和、平方和、積、倒數(shù)和中只要有一個(gè)為定值，其余幾個(gè)均有最值，而速求得最值的方法便是基本不等式鏈：22．（多選）（2022·全國(guó)·新高考Ⅱ卷）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由基本不等式鏈:,可得（R），對(duì)于C，由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；故選AC.23.(多選)（24-25高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)榍遥?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，令所以所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．24．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，正數(shù)滿足，故，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，B正確；C選項(xiàng)，由基本不等式鏈得，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：ABD25.（多選）若，，，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式及其變形公式和“1”的靈活運(yùn)用即可求解.【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)：，，，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)：，而成立，成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.26.（多選）若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，