2/37專題06拓展:分式不等式、高次不等式、絕對值不等式的七大題型題型一：解分式不等式 2題型二：高次不等式的解法 4題型三：公式法解絕對值不等式 6題型四：平方法解絕對值不等式 7題型五：去絕對值法解絕對值不等式 8題型六：絕對值性質(zhì)法解絕對值不等式 9題型七：零點分段討論法 10【知識點綜述】分式不等式的解法解分式不等式的實質(zhì)就是講分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.設(shè)A、B均為含x的多項式（1）（2）（3）（4）【注意】當分式右側(cè)不為0時，可過移項、通分合并的手段將右側(cè)變?yōu)?；當分母符號確定時，可利用不等式的形式直接去分母.二、高次不等式的解法如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：1.標準化：通過移項、通分等方法將不等式左側(cè)化為未知數(shù)的正式，右側(cè)化為0的形式；2.分解因式：將標準化的不等式左側(cè)化為若干個因式（一次因式或高次因式不可約因式）的乘積，如的形式，其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；3.求根：求如的根，并在數(shù)軸上表示出來（按照從小到大的順序標注）4.穿線：從右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點，（奇穿偶回：經(jīng)過偶次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)仍回到這一側(cè)，經(jīng)過奇數(shù)次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過到達數(shù)軸的另一側(cè)）5.得解集：若不等式“>0”，則找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間；若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間三、絕對值不等式的解法1.絕對值的代數(shù)意義正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即2.絕對值的幾何意義一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．3.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．4.絕對值不等式的解集（1）的解集是，如圖1．（2）的解集是，如圖2．（3）．（4）或可簡記為：大于找兩邊，小于找中間.5.絕對值不等式的性質(zhì)(1);(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.題型一：解分式不等式分式不等式往往化除為乘，轉(zhuǎn)化為整式不等式求其解集,在轉(zhuǎn)化時要注意分母不能為0這一隱含條件.1．不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原不等式可化為，解得．故選：D．2．不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，解得：或，∴不等式的解集為，故選：D.3.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以且，所以且，所以且，所以不等式的解集為，故選：C4.不等式的解是__________．【答案】【解析】不等式等價于或解得5.解下列分式不等式：(1)≤1；(2)<0；(3)【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等價于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.∴原不等式的解集為{或}（2）由<0得>0，此不等式等價于(x－1)>0，解得x<－或x>1，∴原不等式的解集為或}.(3)通分整理，原不等式化為：，它等價于，解得或且，∴原不等式的解集為或}.6.解關(guān)于的不等式.【解析】原不等式可化為）(1)當，即或時，不等式的解集為；(2)當，即或時，不等式的解集為；(3)當，即時，不等式的解集為.題型二：高次不等式的解法(1)對于高次不等式一般用穿針引線法求解；(2)對于高次不等式與分式不等式綜合的問題，往往先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再利用穿針引線法求解.7.不等式的解集為（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】不等式，化為：，由穿根法可知：不等式的解集為：或.故選：A.8.不等式的解集為（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】不等式，化為：，由穿根法可知：不等式的解集為：或.故選：A.9.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.【解析】根據(jù)不等式標根所以原不等式的解為.故答案為：.10.解下列分式不等式：（1）;（2）;

（3）;（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1），所以，所以，即，解得，故原不等式的解集為；（2），所以等價于，解得或或，故原不等式的解集為（3），所以，等價于，解得或，故原不等式的解集為；（4），所以，即，即,因為恒成立，所以原不等式等價于，即，解得或，故原不等式的解集為題型三：公式法解絕對值不等式若一個絕對值不等式一邊為含絕對值的代數(shù)式，另一邊為正數(shù)，則一般可以類比以下絕對值不等式套用公式求解：(1)．(2)或.上述規(guī)律可簡記為：大于找兩邊，小于找中間.11.不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式.故選：D.12.不等式的解集是___________【答案】【解析】不等式可化為，∴，或；解之得：或，即不等式的解集是.13.解下列不等式：（1）；（2）；（3）；【解析】（1）由題意，，解得，所以原不等式的解集為．（2）由題意，或，解得或，所以原不等式的解集為．（3）由題意，，解得，所以原不等式的解集為．14．已知，設(shè)集合，．(1)求集合A和集合B；(2)求，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)，，或，或，或.(2),,或，且，或.題型四：平方法解絕對值不等式對于絕對值不等式（其中A,B為含未知數(shù)的代數(shù)式），一般利用平方法求解，即轉(zhuǎn)化為求解.15.不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】兩邊平方后可求不等式的解.【解析】因為，故，故，故，故選：D.16.不等式的解集為；【答案】【分析】利用同時平方法求解絕對值不等式即可.【解析】左右兩側(cè)同時平方得，所以，故，化簡得，解得.17.解下列不等式：(1);(2).【解析】（1）兩邊平方得，解得，故解集為.（2）由不等式，可得，即，即，解得，即原不等式的解集為.題型五：去絕對值法解絕對值不等式對于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知數(shù)，常利用絕對值的意義對A與0的大小分類討論，從而脫去絕對值，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式求解.此外，這類不等式其解集具有規(guī)律性，最終也可總結(jié)成如下公式，利用公式法簡解:.18．解關(guān)于x的不等式：；【解析】解法一：由題意，當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為.解法二：原不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為.19.解不等式：(1)；(2).【分析】（1）利用絕對值不等式的解法求解即可；（2）法一：分和兩種情況求解即可.（2）利用絕對值不等式的解法求解即可.【解析】（1）原不等式等價于，由可得或，解的或；由可得，解的.綜上所述，原不等式的解為，或.（2）解法一：當，即時，不等式可化為，解得，∴不存在滿足條件的.當，即時，不等式可化為，解的，∴，綜上所述，原不等式的解為，解法二：原不等式可化為或，即或，即∴原不等式的解為.題型六：絕對值性質(zhì)法解絕對值不等式對于不少于2個絕對值的不等式，有時可利用以下性質(zhì)能轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式：，從而去掉了絕對值，轉(zhuǎn)化為常見的不等式求解.20．不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是()A.[－5，7] B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) D.(－∞，＋∞)【答案】D【解析】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1?原不等式的解集為R，故選D.21．（2025·上?！と＃┎坏仁降慕饧癁椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)絕對值三角不等式及題干可得，等式成立需要同號，列不等式求解即可得解.【解析】因為，又，所以，則.22．（24-25高三上·上海·期中）若對于任意的實數(shù)，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)絕對值三角不等式求得的最小值，由此列不等式來求得的取值范圍.【解析】，當且僅當時等號成立，所以，解得23．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）存在實數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，代入計算，即可得到結(jié)果.【解析】由題意可得又，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.題型七：零點分段討論法對于不少于兩個絕對值的不等式，可先求出使各絕對值等于0的x的值（簡稱為零點），再針對這些零點將x的范圍分割成若干部分，通過分類討論去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式求解.24．不等式的解集為_________.【答案】【解析】，化為：或或解得：或或.不等式的解集為：25．不等式的解集為______．【解析】當時，，解得，當時，，解得當時，，解得，綜合得不等式的解集為26．（24-25高一·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)．(1)求該函數(shù)的最小值；(2)解不等式．【分析】（1）根據(jù)絕對值三角不等式求函數(shù)的最小值；（2）分，和三種情況求解不等式.【解析】（1），當且僅當取等號，所以．（2）當時，，解得，所以．當時，