4.1角的概念的推廣在義務(wù)教育階段我們學(xué)習(xí)過，角是有公共端點的兩條射線構(gòu)成的圖形.4.1角的概念的推廣角是平面內(nèi)由一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.4.1角的概念的推廣已經(jīng)學(xué)習(xí)過的角包括銳角、直角、鈍角、平角、周角等，它們都在0°~

360°范圍內(nèi).

銳角直角鈍角平角周角4.1角的概念的推廣任意角4.1.14.1.1任意角公園里的摩天輪，選定一個機械臂的起始位置作為始邊，如果機械臂從這個起始位置旋轉(zhuǎn)一周，就說它轉(zhuǎn)過了360°，那么當(dāng)它轉(zhuǎn)過一周半或者轉(zhuǎn)過兩周時，它轉(zhuǎn)過了多少度呢？情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)

如果時鐘快了2h，應(yīng)該如何校準？校準過程中分針相對起始位置轉(zhuǎn)過了多少度？如果時鐘慢了2h呢？情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角摩天輪的機械臂從起始位置,旋轉(zhuǎn)了一周,則說它轉(zhuǎn)過了360°,旋轉(zhuǎn)一周半,則說它轉(zhuǎn)過了540°,旋轉(zhuǎn)了兩周,則說它轉(zhuǎn)過了720°.情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角

如果時鐘快了2h,則需要將分針相對于起始位置逆時針旋轉(zhuǎn)720°,如果時鐘慢了2h,則需要將分針相對于起始位置順時針旋轉(zhuǎn)720°.情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角由于旋轉(zhuǎn)的方向不同,其效果也不同.因此,關(guān)于角,不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù),還要考慮旋轉(zhuǎn)的方向.

情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角規(guī)定：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角稱為正角,如圖(1)所示；按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角稱為負角,如圖(2)所示．

如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),也認為形成了一個角,這個角稱為零角.

情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)2周形成的角，記作720°，如圖(1)所示；分針按順時針方向旋轉(zhuǎn)2周形成的角，記作-720°，如圖(2)所示.

(1)

(2)情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)開始/結(jié)束開始/結(jié)束4.1.1任意角通常使用角的頂點或頂點與始邊、終邊上的字母來表示角.例如,下圖中的角,可以記作“∠AOB”或“∠O”.也經(jīng)常使用小寫的希臘字母α,β,γ,…來表示角,記作“角α”.在不引起混淆的情況下,可以簡記成“α”.

例如,α=420°,

β=?135°.情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角

設(shè)角α與角β是兩個任意角，如何理解角-α、角α+β和角α-β？

情境導(dǎo)入例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)探索新知4.1.1任意角為了方便,通常在平面直角坐標系中討論角.將角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,此時角的終邊在第幾象限,就稱這個角為第幾象限角．AB角∠AOB”是第一象限角角∠AOB”是第二象限角角∠AOB”是第三象限角角∠AOB”是第四象限角AAABBB情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角角α是第一象限角角β是第三象限角情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)GOGO4.1.1任意角如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為界限角．如,0°,90°,180°,360°,?90°角都是界限角．0°90°180°360°0°－90°情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)GOGOGOGOGO4.1.1任意角(1)490°角是射線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)490°形成的,終邊落在第二象限,所以490°為第二象限角;例1

在平面直角坐標系中，敘述下列各角的形成過程，并指出它們是第幾象限角.

(1)490°；(2)?650°．解

將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.

情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)GO4.1.1任意角(2)?650°角是射線繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)650°形成的,終邊落在第一象限,所以?650°為第一象限角.情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)GO例1

在平面直角坐標系中，敘述下列各角的形成過程，并指出它們是第幾象限角.

(1)490°；(2)?650°．解

將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.

4.1.1任意角例2

求時鐘從8點到9點15分,如圖所示,分針和時針旋轉(zhuǎn)所成的角.

解

時鐘8點到9點15分,分針順時針旋轉(zhuǎn)450°,因此,分針旋轉(zhuǎn)形成的角為?450°；而時針順時針旋轉(zhuǎn)了37.5°

,因此,時針旋轉(zhuǎn)形成的角為?37.5°.

情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.1任意角終邊相同的角4.1.24.1.2終邊相同的角如圖,30°,?330°,390°角之間有什么關(guān)系呢？

不難發(fā)現(xiàn),在平面直角坐標系中,這三個角的終邊相同,并且都可以表示成30°與k個(k∈Z)360°的和.如：

30°=30°＋0×360°；?330°=30°＋(?1)×360°；

390°=30°＋1×360°．情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)

從上述角的形成過程可以看出，與30°終邊相同的角有無數(shù)多個，它們與30°角均相差360°的整數(shù)倍.

因此與30°終邊相同的所有角可以表示為

β=

30°+k

360°，k∈Z．情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.2終邊相同的角

一般地,與角α終邊相同的所有角構(gòu)成的集合為S={β|β=α+k

360°，k∈Z}，即，所有與角α終邊相同的角都可以表示成角α與360°的整數(shù)倍的和.情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.2終邊相同的角例3

寫出與?950°角終邊相同的所有角構(gòu)成的集合,并找出0°~360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角.解與?950°角終邊相同的所有角構(gòu)成的集合為S={β|β＝?950°+k

360°,k∈Z}.當(dāng)k=3時，β＝?950°+3

360°=130°,故在0°~360°范圍內(nèi),與?950°角終邊相同的角是130°角．情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)4.1.2終邊相同的角

因為?950°與130°終邊相同,集合S={β|β＝?950°+k

360°，k∈Z}也可寫成S={β|β＝130°+k

360°，k

Z}．情境導(dǎo)入探索新知鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)例題辨析4.1.2終邊相同的角例4

寫出終邊在射線y=x(x≥0)上的角組成的集合.解在0°~360°范圍,終邊在射線y=x(x≥0)上的角為45°角,情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)因此終邊在射線y=x(x≥0)上的角組成的集合為

S={β|β=450°+k·360°,k∈Z}.4.1.2終邊相同的角例5

寫出終邊在y軸上的角組成的集合.解在0°~360°范圍,終邊在y軸上的角有90°角和270°角.情境導(dǎo)入探索新知例題辨析鞏固練習(xí)歸納總結(jié)布置作業(yè)所有與90°角和270°角終邊相同的角組成的集合分別為S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}和S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.所以,S=S