專升本理工科專業(yè)2025年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專項(xiàng)練習(xí)試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)。1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）A與B獨(dú)立（B）A與B不獨(dú)立（C）A與B互為對立事件（D）A與B可能獨(dú)立2.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，它們除顏色外完全相同。從中隨機(jī)依次取出兩個(gè)球（取出后不放回），則第二個(gè)球是紅球的概率為（）。（A）5/8（B）5/8（C）5/12（D）5/123.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={c(x-1),1≤x≤3;0,其他}，則常數(shù)c的值為（）。（A）1/2（B）1/3（C）1（D）24.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E(X^2)=2，則P(X=1)等于（）。（A）λe^(-λ)（B）λ^2e^(-λ)（C）2λe^(-λ)（D）2e^(-λ)5.設(shè)X～N(μ,σ^2)，Y是X的樣本均值，樣本容量為n，則Y的分布是（）。（A）N(μ,σ^2)（B）N(μ,σ^2/n)（C）N(μ,nσ^2)（D）N(μ/n,σ^2/n)二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案填在題中橫線上。6.若P(A|B)=P(A|B?)，且P(A)>0,P(B)>0，則事件A與B的關(guān)系是。7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=(k+1)/15,k=1,2,3，則P(X≤2)=。8.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，Y=2X+1，則Y～。9.從總體X中抽取樣本X1,X2,...,Xn，樣本方差S^2=1/n∑(Xi-X?)^2，則E(S^2)=(其中X?為樣本均值)。10.設(shè)總體X服從參數(shù)為p的0-1分布，X1,X2,...,Xn是樣本，則參數(shù)p的矩估計(jì)量是。三、計(jì)算題：本大題共5小題，共55分。請寫出計(jì)算步驟。11.（本小題滿分10分）袋中有10個(gè)產(chǎn)品，其中正品6個(gè)，次品4個(gè)?，F(xiàn)從中不放回地依次取出3個(gè)產(chǎn)品，求取出的3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)正品的概率。12.（本小題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0≤x≤1;0,其他}。（1）求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)；（2）求P(0.5<X<1)。13.（本小題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,4)，Y～N(0,9)。求隨機(jī)變量Z=2X-Y的期望E(Z)和方差D(Z)。14.（本小題滿分10分）設(shè)總體X～N(μ,16)，從中抽取一個(gè)容量為25的樣本，樣本均值為x?=10。（1）求總體均值μ的95%置信區(qū)間（已知σ=4）；（2）若置信水平不變，為使置信區(qū)間的長度不大于2，樣本容量n至少應(yīng)取多大？15.（本小題滿分12分）用極大似然估計(jì)法估計(jì)泊松分布P(X=k)=(λ^ke^(-λ))/k!的參數(shù)λ，其中k=0,1,2,...。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.A5.B二、填空題6.A與B獨(dú)立7.2/38.N(1,4)9.σ^210.?X/n三、計(jì)算題11.解：設(shè)A=“取出的3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)正品”，則A包括“恰有2個(gè)正品”和“3個(gè)都是正品”兩個(gè)互斥事件。P(A)=P(恰有2個(gè)正品)+P(3個(gè)都是正品)=C(6,2)*C(4,1)/C(10,3)+C(6,3)/C(10,3)=(15*4)/120+20/120=60/120+20/120=80/120=2/3。答：取出的3個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)正品的概率為2/3。12.解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=0。當(dāng)0≤x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=∫[0,x]2tdt=x^2。當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=1。所以，F(xiàn)(x)={0,x<0;x^2,0≤x≤1;1,x>1}。(2)P(0.5<X<1)=F(1)-F(0.5)=1-(0.5)^2=1-0.25=0.75。答：P(0.5<X<1)=0.75。13.解：因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,4)，Y～N(0,9)。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和期望、方差的線性性質(zhì)：E(Z)=E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2*1-0=2。D(Z)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4*4+9=16+9=25。答：E(Z)=2，D(Z)=25。14.解：(1)已知總體X～N(μ,16)，σ=4，樣本容量n=25，樣本均值x?=10。因?yàn)棣乙阎?，用Z分布構(gòu)建置信區(qū)間。置信水平為95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。置信區(qū)間為(x?-Z_(α/2)*(σ/√n),x?+Z_(α/2)*(σ/√n))=(10-1.96*(4/√25),10+1.96*(4/√25))=(10-1.96*(4/5),10+1.96*(4/5))=(10-1.568,10+1.568)=(8.432,11.568)。答：總體均值μ的95%置信區(qū)間為(8.432,11.568)。(2)置信區(qū)間長度L=2*Z_(α/2)*(σ/√n)≤2?！蘮≥Z_(α/2)*σ/L√n≥1.96*4/2√n≥3.92n≥(3.92)^2n≥15.3664。因?yàn)閚必須為整數(shù)，所以n至少應(yīng)取16。答：樣本容量n至少應(yīng)取16。15.解：設(shè)樣本觀測值為x1,x2,...,xn，總體X～P(λ)。則似然函數(shù)為L(λ)=∏[i=1ton]P(X=x_i)=∏[i=1ton](λ^x_i*e^(-λ))/x_i!=λ^(∑x_i)*e^(-nλ)/(∏[i=1ton]x_i!)令θ=∑x_i，則L(λ)=λ^θ*e^(-nλ)/(∏x_i!)對L(λ)取對數(shù)得lnL(λ)=θlnλ-nλ