2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)航空航天與數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）衛(wèi)星軌道的橢圓離心率計算我國“北斗三號”導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道可近似視為橢圓，其近地點距離地球表面約200公里，遠地點約36000公里。已知地球半徑為6400公里，若橢圓的焦點在長軸上，則該橢圓的離心率為（）A.$\frac{34000}{42800}$B.$\frac{34000}{42800}$C.$\frac{17000}{21400}$D.$\frac{17000}{42800}$解析：橢圓長半軸$a=\frac{(6400+36000)+(6400+200)}{2}=21400$公里，焦距$2c=(6400+36000)-(6400+200)=35800$公里，故離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{17900}{21400}\approx\frac{17000}{21400}$。火箭推進劑燃燒速率的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某型號火箭發(fā)動機的燃料燃燒速率$v(t)$（單位：kg/s）與時間$t$（單位：s）的關(guān)系為$v(t)=t^2-6t+10$，則在$t=2$秒時的燃燒加速度（即速率對時間的導(dǎo)數(shù)）為（）A.-2kg/s2B.2kg/s2C.-4kg/s2D.4kg/s2解析：$v'(t)=2t-6$，代入$t=2$得$v'(2)=-2$，負號表示加速度方向與速率方向相反。航天器軌道的雙曲線模型深空探測器脫離地球引力后，其軌道可近似視為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一支。若探測器在點$(5,3)$處的切線斜率為$\frac{4}{3}$，且$a=3$，則$b$的值為（）A.4B.5C.6D.7解析：對雙曲線求導(dǎo)得$\frac{2x}{a^2}-\frac{2yy'}{b^2}=0$，代入$x=5$，$y=3$，$y'=\frac{4}{3}$，$a=3$，解得$b=4$。飛機起飛的拋物線軌跡飛機起飛時的上升高度$h(t)$（單位：米）與時間$t$（單位：秒）滿足$h(t)=-0.01t^2+2t+100$，則飛機達到最大高度的時間為（）A.50秒B.100秒C.150秒D.200秒解析：二次函數(shù)對稱軸$t=-\frac{2a}=-\frac{2}{2\times(-0.01)}=100$秒。衛(wèi)星信號覆蓋的圓與直線方程某通信衛(wèi)星的信號覆蓋范圍是半徑為3000公里的圓，其中心坐標為$(0,0)$。若地面接收站位于直線$x+y-5000=0$上，則該接收站距離衛(wèi)星信號邊緣的最短距離為（）A.$5000\sqrt{2}-3000$公里B.$5000\sqrt{2}-3000$公里C.$\frac{5000}{\sqrt{2}}-3000$公里D.$\frac{5000}{\sqrt{2}}+3000$公里解析：圓心到直線的距離$d=\frac{5000}{\sqrt{2}}$，最短距離為$d-r=\frac{5000}{\sqrt{2}}-3000$。空間站的空間向量定位在空間站坐標系中，某實驗設(shè)備的三個頂點坐標為$A(1,2,3)$，$B(4,5,6)$，$C(7,8,9)$，則向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角余弦值為（）A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$B.$\frac{2}{\sqrt{3}}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.1解析：$\overrightarrow{AB}=(3,3,3)$，$\overrightarrow{AC}=(6,6,6)$，兩向量共線，夾角余弦值為1?；鸺剂舷牡亩ǚe分計算某火箭發(fā)動機的燃料消耗速率為$v(t)=100+50t$（kg/s），則從$t=0$到$t=10$秒內(nèi)的總消耗量為（）A.3500kgB.4000kgC.4500kgD.5000kg解析：總消耗量$Q=\int_0^{10}(100+50t)dt=[100t+25t^2]_0^{10}=3500$kg。衛(wèi)星軌道的橢圓面積地球同步衛(wèi)星的軌道為橢圓，其長半軸$a=42164$公里，短半軸$b=42163$公里，根據(jù)阿基米德橢圓面積公式$S=\piab$，則軌道面積約為（）A.$5.6\times10^9$km2B.$5.6\times10^{10}$km2C.$5.6\times10^{11}$km2D.$5.6\times10^{12}$km2解析：$S=\pi\times42164\times42163\approx\pi\times(4.2\times10^4)^2\approx5.6\times10^9$km2。航天器姿態(tài)的矩陣旋轉(zhuǎn)某衛(wèi)星繞$x$軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣為$\begin{pmatrix}1&0&0\0&\cos\theta&-\sin\theta\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$，若初始向量為$(0,1,0)$，旋轉(zhuǎn)后變?yōu)?(0,0,1)$，則$\theta$的值為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{6}$解析：矩陣乘法得$\cos\theta=0$，$\sin\theta=1$，故$\theta=\frac{\pi}{2}$。飛機導(dǎo)航的球面距離計算飛機從北緯$30^\circ$、東經(jīng)$120^\circ$飛往北緯$60^\circ$、東經(jīng)$150^\circ$，地球半徑$R=6400$公里，忽略高度影響，最短飛行距離為（）A.$\frac{\piR}{6}$B.$\frac{\piR}{3}$C.$\frac{\piR}{2}$D.$\piR$解析：經(jīng)緯度差計算球面角$\alpha=\sqrt{(30^\circ)^2+(30^\circ)^2}\approx42.4^\circ=\frac{\pi}{4}$弧度，距離$l=R\alpha=\frac{\piR}{4}\approx\frac{\piR}{3}$?；鸺七M的數(shù)列模型某多級火箭每級燃料質(zhì)量為前一級的$\frac{1}{2}$，第一級燃料1000kg，若每級燃料燃燒效率為80%，則三級火箭總有效燃料為（）A.1400kgB.1500kgC.1600kgD.1700kg解析：總有效燃料$=1000\times0.8+500\times0.8+250\times0.8=1400$kg。航天材料的正態(tài)分布航天器鈦合金部件的強度測試值服從正態(tài)分布$N(500,10^2)$MPa，若強度低于480MPa為不合格，則合格率為（）A.95.4%B.97.7%C.99.7%D.99.9%解析：$P(X<480)=P(Z<-2)=2.3%$，合格率$=1-2.3%=97.7%$。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）衛(wèi)星變軌的拋物線焦點某衛(wèi)星在近地點進行拋物線變軌，軌跡方程為$y^2=2px$，若近地點到地心距離為$p$，地球半徑$R=6400$公里，則$p=$______公里。答案：6400解析：拋物線焦點到頂點距離為$\frac{p}{2}=R$，故$p=2R=12800$（注：此處題目可能存在表述歧義，若近地點距離為$p$，則$p=R$）?；鸺铀俣鹊亩ǚe分火箭加速度$a(t)=2t+3$（m/s2），從靜止開始$t=0$到$t=10$秒內(nèi)的速度增量為______m/s。答案：130解析：$\Deltav=\int_0^{10}(2t+3)dt=[t^2+3t]_0^{10}=130$。航天器對接的向量投影空間站A在向量$\vec{a}=(2,3,4)$方向，探測器B在向量$\vec=(1,1,1)$方向，A對B的相對速度在$\vec$方向的投影為______。答案：$\frac{9}{\sqrt{3}}$解析：投影公式$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{2+3+4}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}$。飛機機翼的流體力學(xué)導(dǎo)數(shù)機翼升力系數(shù)$C_L=0.1\alpha+0.01\alpha^2$（$\alpha$為迎角，弧度），則$\alpha=5^\circ$（$\approx0.087$弧度）時的升力導(dǎo)數(shù)$\frac{dC_L}{d\alpha}=$______。答案：0.117解析：$\frac{dC_L}{d\alpha}=0.1+0.02\alpha$，代入$\alpha=0.087$得0.117。三、解答題（本大題共6小題，共70分）衛(wèi)星軌道的橢圓參數(shù)計算（12分）地球衛(wèi)星的橢圓軌道半焦距$c=8000$公里，離心率$e=0.2$，求：（1）長半軸$a$和短半軸$b$；（2）衛(wèi)星運行的最大速度與最小速度之比（提示：開普勒第二定律$v_aa=v_p(a-c)$）。答案：（1）$a=\frac{c}{e}=40000$公里，$b=a\sqrt{1-e^2}=40000\times0.98=39200$公里；（2）$\frac{v_p}{v_a}=\frac{a}{a-c}=\frac{40000}{32000}=1.25$。火箭推進劑的優(yōu)化問題（12分）火箭總質(zhì)量$M=2000$kg，燃料質(zhì)量$m$，有效載荷$P=M-m-km$（$k=0.1$為結(jié)構(gòu)系數(shù)）。已知射程$S=2000\ln\left(\frac{M}{M-m}\right)$公里，求最大射程及對應(yīng)的燃料質(zhì)量$m$。答案：令$f(m)=\ln\left(\frac{2000}{2000-m}\right)-0.05m$，求導(dǎo)得$m=1000$kg時$S_{\text{max}}=2000\ln2\approx1386$公里。航天器姿態(tài)控制的矩陣運算（12分）衛(wèi)星初始姿態(tài)矩陣$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}$，先繞$x$軸旋轉(zhuǎn)$90^\circ$，再繞$y$軸旋轉(zhuǎn)$90^\circ$，求最終姿態(tài)矩陣。答案：旋轉(zhuǎn)矩陣乘積$\mathbf{R}_y(90^\circ)\mathbf{R}_x(90^\circ)=\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\-1&0&0\end{pmatrix}$。飛機起飛的動力學(xué)模型（12分）飛機起飛滑跑距離$s(t)=t^3-6t^2+15t$（米），求：（1）$t=2$秒時的速度和加速度；（2）何時速度達到$60$m/s（離地速度）。答案：（1）$v=3t^2-12t+15$，$a=6t-12$，$t=2$時$v=3$m/s，$a=0$；（2）解方程$3t^2-12t+15=60$，得$t=5$秒。航天材料的概率統(tǒng)計（12分）某材料斷裂強度測試數(shù)據(jù)：520,510,530,525,515MPa，求：（1）樣本均值和方差；（2）以95%置信度估計總體均值范圍（$t_{0.025}(4)=2.776$）。答案：（1）均值$\bar{x}=520$，方差$s^2=50$；（2）置信區(qū)間$520\pm2.776\times\sqrt{\frac{50}{5}}=[512.3,527.7]$。深空探測的雙曲線軌道（10分）探測器沿雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$飛離太陽系，太陽位于焦點處，求探測器與太陽的最近距離。答案：雙曲線$a=5$，$c=13$，最近距離$c-a=8$天文單位。四、附加題（共20分）星際航行的相對論效應(yīng)（10分）飛船以$0.6c$（$c$為光速）飛行，地球上觀測航程10光年，求飛船內(nèi)時鐘顯示的飛行時間。答案：時間膨脹$\Deltat'=\Deltat\sqrt{1-v^2/c^2}=10\times0.8=8$年?；鸺剂系奈⒎址匠蹋?0分）火箭質(zhì)量隨時間變化$m(