2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)技術(shù)素養(yǎng)評(píng)估試題第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）已知直線$l:3x-4y+12=0$與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$(x+2)^2+(y-3)^2=13$B.$(x-2)^2+(y+3)^2=13$C.$(x+2)^2+(y-3)^2=25$D.$(x-2)^2+(y+3)^2=25$在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(1,2,3)$，$B(4,5,6)$，則向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{n}=(1,1,1)$上的投影為（）A.$3\sqrt{3}$B.$6$C.$\sqrt{3}$D.$2\sqrt{3}$若圓$C_1:x^2+y^2-2x+4y+1=0$與圓$C_2:x^2+y^2-4x-2y+m=0$外切，則實(shí)數(shù)$m$的值為（）A.$4$B.$5$C.$6$D.$7$直線$l$的方向向量為$\overrightarrowbfh1fhl=(2,1,-1)$，平面$\alpha$的法向量為$\overrightarrow{n}=(1,-2,1)$，則直線$l$與平面$\alpha$所成角的正弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{6}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{6}$已知點(diǎn)$P(2,3)$在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上，且橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$B.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1$C.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$某算法的程序框圖如圖所示，若輸入$x=3$，則輸出的$y$值為（）（注：此處省略流程圖，算法邏輯為：當(dāng)$x>0$時(shí)，$y=x^2-2x+3$；當(dāng)$x\leq0$時(shí)，$y=2x+5$）A.$6$B.$3$C.$5$D.$4$在棱長(zhǎng)為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$M$為$A_1D_1$的中點(diǎn)，則點(diǎn)$M$到平面$BCC_1B_1$的距離為（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，點(diǎn)$P$在拋物線上，且$|PF|=5$，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為（）A.$(4,4)$或$(4,-4)$B.$(5,2\sqrt{5})$或$(5,-2\sqrt{5})$C.$(3,2\sqrt{3})$或$(3,-2\sqrt{3})$D.$(2,2\sqrt{2})$或$(2,-2\sqrt{2})$二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分）關(guān)于直線$l:y=kx+1$與圓$O:x^2+y^2=1$的位置關(guān)系，下列說(shuō)法正確的有（）A.無(wú)論$k$為何值，直線$l$恒過(guò)定點(diǎn)$(0,1)$B.當(dāng)$k=0$時(shí)，直線$l$與圓$O$相切C.當(dāng)$k=1$時(shí)，直線$l$被圓$O$截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$D.存在實(shí)數(shù)$k$，使得直線$l$與圓$O$相離在空間向量中，已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2,3)$，$\overrightarrow=(x,y,z)$，則下列命題正確的有（）A.若$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow$，則$x+2y+3z=0$B.若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，則$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$C.$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|\geq|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$D.$(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow)^2\leq|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow|^2$已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$，則下列結(jié)論正確的有（）A.雙曲線的離心率$e=2$B.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為$b$C.雙曲線上存在點(diǎn)$P$，使得$|PF_1|=2|PF_2|$（$F_1,F_2$為焦點(diǎn)）D.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，則雙曲線方程為$x^2-\frac{y^2}{3}=1$下列關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)的說(shuō)法中，正確的有（）A.一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大B.若隨機(jī)事件$A$，$B$滿足$P(AB)=P(A)P(B)$，則$A$與$B$相互獨(dú)立C.用樣本頻率估計(jì)總體分布時(shí)，樣本容量越大，估計(jì)越精確D.若回歸直線方程為$\hat{y}=0.5x+2$，則$x$每增加1個(gè)單位，$y$平均增加0.5個(gè)單位第II卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）已知直線$l_1:ax+2y+6=0$與直線$l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0$平行，則實(shí)數(shù)$a$的值為_(kāi)_________。在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，則三角形$ABC$的面積為_(kāi)_________。某學(xué)校高二年級(jí)有500名學(xué)生，其中男生300人，女生200人。現(xiàn)采用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取50人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為_(kāi)_________。已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\geq0\2x+5,&x<0\end{cases}$，則不等式$f(x)\leq0$的解集為_(kāi)_________。四、解答題（本題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知直線$l$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P(2,1)$，且與直線$l_0:2x-y+5=0$的夾角為$45^\circ$，求直線$l$的方程。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓$C$的圓心在直線$y=2x$上，且與$x$軸相切于點(diǎn)$(1,0)$。（1）求圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線$l:mx-y+1=0$與圓$C$相交于$A$，$B$兩點(diǎn)，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)$m$的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，點(diǎn)$D$，$E$分別為$BC$，$B_1C_1$的中點(diǎn)。（1）求證：$DE\parallel$平面$A_1ABB_1$；（2）求異面直線$A_1D$與$CE$所成角的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1$，$F_2$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$P(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，且以$AB$為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)$O$，求$m^2$的取值范圍。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為20元，銷售價(jià)格$x$（元/件）與日銷售量$y$（件）之間的關(guān)系如下表所示：銷售價(jià)格$x$（元/件）30405060日銷售量$y$（件）100806040（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程；（2）若該產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為65元/件，預(yù)測(cè)日銷售利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售收入-成本）。（參考公式：回歸直線方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$，其中$\hat=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_