2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力試題一、選擇題（每題5分，共30分）在構(gòu)建人口增長(zhǎng)模型時(shí)，若某地區(qū)人口年增長(zhǎng)率為常數(shù)r，初始人口為N?，則以下哪個(gè)模型適用于描述該地區(qū)人口隨時(shí)間t的變化規(guī)律？A.線性模型N(t)=N?+rtB.指數(shù)模型N(t)=N?e^(rt)C.二次函數(shù)模型N(t)=N?+rt2D.分段函數(shù)模型N(t)=N?(1+r)?（t∈整數(shù)）某電商平臺(tái)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，商品銷量y與廣告投入x（單位：萬(wàn)元）滿足線性回歸方程y=120x+80。若下個(gè)月計(jì)劃投入廣告5萬(wàn)元，據(jù)此模型預(yù)測(cè)銷量約為：A.600件B.680件C.720件D.800件在優(yōu)化問(wèn)題中，某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，需消耗甲、乙兩種原料，原料限額與產(chǎn)品利潤(rùn)如下表：|產(chǎn)品|甲原料（kg/件）|乙原料（kg/件）|利潤(rùn)（元/件）||------|-----------------|-----------------|---------------||A|2|1|50||B|1|3|100|若甲原料每日限額100kg，乙原料限額120kg，則該問(wèn)題的約束條件不包括：A.2x+y≤100（x為A產(chǎn)品數(shù)量，y為B產(chǎn)品數(shù)量）B.x+3y≤120C.x,y≥0且為整數(shù)D.50x+100y≥10000某城市在疫情期間，感染人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線近似滿足Logistic模型：I(t)=K/(1+e^(-r(t-t?)))，其中K為環(huán)境容納量。以下關(guān)于該模型的說(shuō)法正確的是：A.當(dāng)t→∞時(shí)，I(t)→0B.曲線在t=t?處增長(zhǎng)速率最快C.感染人數(shù)的增長(zhǎng)速率與當(dāng)前人數(shù)成正比D.模型參數(shù)r越大，達(dá)到峰值的時(shí)間越早在層次分析法（AHP）中，若構(gòu)造判斷矩陣時(shí)某元素a??=5，則表示：A.i因素比j因素同等重要B.i因素比j因素明顯重要C.i因素比j因素強(qiáng)烈重要D.i因素比j因素極端重要某氣象站記錄了過(guò)去10年的年降水量數(shù)據(jù)（單位：mm）：820,950,1020,880,980,1100,920,860,1050,990。若用移動(dòng)平均法（窗口大小3）預(yù)測(cè)下一年降水量，計(jì)算結(jié)果為：A.980B.1013C.1020D.1040二、填空題（每題6分，共30分）某公司生產(chǎn)的電子元件壽命服從正態(tài)分布N(1000,252)（單位：小時(shí)），則壽命在950~1050小時(shí)之間的元件占比約為_(kāi)_______%（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）。某共享單車平臺(tái)統(tǒng)計(jì)顯示，單車使用時(shí)長(zhǎng)t（分鐘）與騎行距離d（公里）的散點(diǎn)圖近似呈線性關(guān)系，經(jīng)計(jì)算得d=0.2t+0.5。若某次騎行距離為3.5公里，估計(jì)騎行時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)_______分鐘。某學(xué)校要在長(zhǎng)100米、寬60米的矩形操場(chǎng)內(nèi)建造一個(gè)圓形花壇，要求花壇面積盡可能大且不超出操場(chǎng)邊界，則花壇半徑最大為_(kāi)_______米。在灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)中，已知原始序列x???=(2,4,7,11)，其一次累加生成序列x?1?的第4項(xiàng)為_(kāi)_______。某十字路口的紅綠燈周期設(shè)置問(wèn)題中，若東西方向車流量為300輛/小時(shí)，南北方向車流量為200輛/小時(shí)，采用“車流量比例分配法”設(shè)計(jì)綠燈時(shí)長(zhǎng)（忽略黃燈時(shí)間），則東西方向綠燈時(shí)長(zhǎng)應(yīng)為一個(gè)周期（假設(shè)周期為90秒）中的________秒。三、解答題（共90分）12.線性規(guī)劃模型（20分）某物流公司有A、B兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，需向甲、乙、丙三個(gè)門店配送貨物。A倉(cāng)庫(kù)可發(fā)貨量800件，B倉(cāng)庫(kù)可發(fā)貨量1000件；甲門店需求量500件，乙門店需求量600件，丙門店需求量700件。各倉(cāng)庫(kù)到門店的運(yùn)輸成本（元/件）如下表：|倉(cāng)庫(kù)/門店|甲|乙|丙||-----------|------|------|------||A|10|12|15||B|8|11|13|（1）設(shè)x??為從倉(cāng)庫(kù)i向門店j的配送量（i=A,B；j=甲,乙,丙），建立總成本最低的線性規(guī)劃模型（無(wú)需求解）；（2）若A倉(cāng)庫(kù)到丙門店的運(yùn)輸成本上漲至20元/件，分析該變化對(duì)最優(yōu)解的可能影響。13.概率統(tǒng)計(jì)模型（25分）某高中為評(píng)估學(xué)生體育鍛煉效果，隨機(jī)抽取50名學(xué)生的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)（單位：cm），整理得頻數(shù)分布表：|成績(jī)區(qū)間|[180,200)|[200,220)|[220,240)|[240,260)|[260,280]||----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------||頻數(shù)|5|12|18|10|5|（1）計(jì)算該樣本的平均數(shù)和方差（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）；（2）若該校學(xué)生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，用樣本參數(shù)估計(jì)μ和σ，求成績(jī)超過(guò)240cm的概率；（3）為提高學(xué)生成績(jī)，學(xué)校計(jì)劃開(kāi)展強(qiáng)化訓(xùn)練。已知訓(xùn)練后成績(jī)提升量ξ服從均勻分布U(5,15)，估計(jì)訓(xùn)練后樣本中成績(jī)超過(guò)240cm的人數(shù)。14.微分方程模型（25分）某湖泊初始含磷量為50單位，現(xiàn)因周邊污染，每日流入含磷廢水10單位，同時(shí)通過(guò)自然凈化每日減少當(dāng)前含磷量的10%。假設(shè)湖泊體積恒定，不含其他污染源與匯。（1）建立湖泊含磷量P(t)隨時(shí)間t（天）變化的微分方程，并求解該方程；（2）計(jì)算第5天末的含磷量，并判斷當(dāng)t→∞時(shí)P(t)的極限值；（3）若環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)要求含磷量需控制在80單位以下，問(wèn)最遲需在多少天后啟動(dòng)更嚴(yán)格的治理措施？15.綜合建模題（20分）某社區(qū)計(jì)劃建造一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，要求面積不小于800m2，且長(zhǎng)不超過(guò)寬的1.5倍。廣場(chǎng)中央需設(shè)置一個(gè)半徑為5m的圓形噴泉，四周預(yù)留寬度為2m的綠化帶，綠化帶外需鋪設(shè)硬化地面（如圖所示，虛擬示意圖）。（1）設(shè)廣場(chǎng)寬為xm，用x表示硬化地面的面積S(x)；（2）為節(jié)約成本，需使硬化地面面積最小，求此時(shí)廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬；（3）若廣場(chǎng)周長(zhǎng)不超過(guò)100m，重新討論（2）中的優(yōu)化問(wèn)題。四、開(kāi)放性建模題（20分）近年來(lái)，“校園外賣”現(xiàn)象日益普遍，某中學(xué)為規(guī)范管理，需制定外賣配送車輛入校規(guī)則。請(qǐng)你結(jié)合以下信息，構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決該問(wèn)題：學(xué)校南門為唯一外賣入口，門口至教學(xué)區(qū)主干道長(zhǎng)200米，寬4米；每日午餐時(shí)段（11:30-13:00）預(yù)計(jì)有150輛電動(dòng)車配送，每輛車平均停留時(shí)間5分鐘；主干道需保留2米寬消防通道，電動(dòng)車行駛速度不超過(guò)5km/h；需避免車輛擁堵導(dǎo)致的安全隱患。要求：（1）明確問(wèn)題的主要目標(biāo)和約束條件；（2）選擇合適的數(shù)學(xué)方法建立模型（如排隊(duì)論、規(guī)劃模型等）；（3）給出至少2條具體的管理建議（如分時(shí)段入校、劃定等候區(qū)域等）。（注：無(wú)需求解復(fù)雜方程，重點(diǎn)體現(xiàn)模型構(gòu)建思路）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.B3.D4.B5.C6.B二、填空題95.48.159.3010.2411.54三、解答題（要點(diǎn)）12.（1）目標(biāo)函數(shù)：minZ=10x_A甲+12x_A乙+15x_A丙+8x_B甲+11x_B乙+13x_B丙約束條件：x_A甲+x_A乙+x_A丙≤800；x_B甲+x_B乙+x_B丙≤1000；x_A甲+x_B甲=500；x_A乙+x_B乙=600；x_A丙+x_B丙=700；x??≥014.（1）微分方程：dP/dt=10-0.1P，初始條件P(0)=50通解：P(t)=100-50e^(-0.1t)（2）P(5)=100-50e^(-0.5)≈69.67；t→∞時(shí)P(t)→100（3）令100-50e^(-0.1t)≤80，解得t≥ln2/0.1≈6.93，故最遲7天后啟動(dòng)治理命題說(shuō)明試卷覆蓋函數(shù)模型、優(yōu)化模型、概率統(tǒng)計(jì)、微分方程等高二核心知識(shí)，突出“問(wèn)題情境-建模轉(zhuǎn)化-數(shù)學(xué)求解-實(shí)際應(yīng)用”的完整鏈條。開(kāi)放性試題（第16題）鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建模型，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象