2025年下學期高二數(shù)學排列與組合應(yīng)用試題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）從5個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)是（）A.60B.20C.10D.5若(C_{n}^2=10)，則(n)的值為（）A.4B.5C.6D.7把4個相同的球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放1個球，有（）種放法A.3B.4C.5D.6從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中任取3個數(shù)，其和為偶數(shù)的取法有（）種A.8B.10C.12D.20用0，1，2，3這4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是（）A.8B.10C.12D.14從(n)個不同元素中取出(r)個元素的排列數(shù)(A_{n}^r)與組合數(shù)(C_{n}^r)的關(guān)系是（）A.(A_{n}^r=C_{n}^r)B.(A_{n}^r=r!C_{n}^r)C.(C_{n}^r=r!A_{n}^r)D.(A_{n}^r=\frac{C_{n}^r}{r!})某班有50名學生，要從中選出5名學生代表，不同的選法有（）種A.(C_{50}^5)B.(A_{50}^5)C.(50^5)D.(5^50)用0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）個A.30B.32C.36D.405名同學排成一排，甲不站排頭，乙不站兩端，則不同的排列種數(shù)為（）A.54種B.48種C.36種D.42種高二（1）班5位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，若保持原來5位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）A.42B.30C.21D.15二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）7名同學站成一排，甲身高最高，排在中間，其他6名同學身高均不相等，甲的左邊和右邊均由高到低排列，共有______種排法。兩本不同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有_______種。將3名志愿者分配到2個項目進行培訓，若每名志愿者只分配到1個項目，且每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有____________種。某停車場有一整排11個空車位。甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩側(cè)都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間，則共有______種不同的停放方式。人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有__________種排法。用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字，能組成_________個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）計算下列各題：（1）(A_{8}^{3}+C_{7}^{3})（2）(C_{n+1}^{n-1}=21)，求(n)的值（12分）4件不同的禮品，按以下各種情況，各有幾種分法？（1）平均分成兩堆；（2）平分給兩人；（3）分成兩堆，一堆3件，一堆1件；（4）分給兩人，一人3件，一人1件。（12分）一場小型晚會有3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單。（1）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（2）前3個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？（12分）現(xiàn)有4個編號為1，2，3，4的盒子和4個編號為1，2，3，4的小球，要求把4個小球全部放進盒子中，求下列情況的放法種數(shù)：（1）沒有空盒子的方法共有多少種？（2）恰有1個盒子不放球的方法共有多少種？（3）沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有多少種？（12分）已知安排3名男生和2名女生參加A，B，C三項不同的公益活動，每人只能參加1項公益活動，每項公益活動至少有1人參加。（1）求不同安排方案的種數(shù)；（2）若每項活動都必須安排1名男生，求不同安排方案的種數(shù)；（3）若公益活動A需要1人，公益活動B和C都需要2人，求不同安排方案的種數(shù)。（12分）有6名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)，按要求列出式子，再計算結(jié)果，用數(shù)字作答。（1）從中選出3名男生和2名女生排成一列；（2）全體站成一排，男生互不相鄰；（3）全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾；（4）全體站成一排，甲、乙必須站在一起。四、綜合應(yīng)用題（本大題共2小題，共20分）（10分）某學校擬派2名語文老師、3名數(shù)學老師和3名體育老師共8人組成兩個支教分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)支教，其中每個分隊都必須有語文老師、數(shù)學老師和體育老師，則不同的分配方案有多少種？（10分）為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請A、B、C、D、E五位黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個學校至少一人參加。若其中A、B因只會漢語不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學校宣講。則不同的選派方案共有多少種？五、拓展探究題（本大題共1小題，共10分）對于函數(shù)(f(x))，若關(guān)于(x)的方程(f(x)=k)（(k\in\mathbb{R})）恰有(m)個實數(shù)根，則稱函數(shù)(f(x))為"m根函數(shù)"。已知函數(shù)(f(x))同時滿足以下兩個條件：①函數(shù)的定義域為({1,2,3,4})且(f(x)\in{1,2,3,4})；②函數(shù)(f(x))是"2根函數(shù)"，也是"3根函數(shù)"。那么同時滿足條件①②的函數(shù)共有多少個？參考答案及解析一、單項選擇題C解析：(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!2!}=10)B解析：(C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2}=10)，解得(n=5)A解析：采用隔板法，4個相同球中間有3個空，插入2個隔板分成3組，(C_{3}^{2}=3)B解析：分兩類：3個偶數(shù)或1偶2奇，(C_{3}^{3}+C_{3}^{1}C_{3}^{2}=1+9=10)B解析：分兩類：0在個位和2在個位，(A_{3}^{2}+2\times2=6+4=10)B解析：排列數(shù)與組合數(shù)關(guān)系為(A_{n}^{r}=r!C_{n}^{r})A解析：從50名學生中選5名代表，不考慮順序，是組合問題B解析：分兩類：0在個位和2、4在個位，(A_{4}^{2}+2\times3\times3=12+18=30)D解析：分兩類：甲在兩端和甲在中間，(2\timesA_{3}^{1}A_{3}^{3}+3\timesA_{3}^{1}A_{3}^{3}=36+6=42)A解析：采用插空法，原來5人有6個空，插入2人，(A_{6}^{2}+6=42)二、填空題32解析：先排甲在中間，剩余6人分左右各3人，(C_{6}^{3}=20)，每邊3人身高有序，所以共20種30解析：分兩步：先分圖畫書(A_{3}^{2}=6)，再分音樂書(2^{2}+2=6)，共(6\times5=30)6解析：先分組(C_{3}^{2}=3)，再分配(A_{2}^{2}=2)，共(3\times2=6)20解析：先排空車位，再插入車輛，(C_{8}^{3}\times2=56\div2=28)（注：原答案可能有誤，正確應(yīng)為28）252解析：從10人中選5人排前排，后排隨之確定，(C_{10}^{5}=252)600解析：首位有5種選擇，其余四位全排列，(5\timesA_{5}^{4}=5\times120=600)三、解答題解：（1）(A_{8}^{3}+C_{7}^{3}=8\times7\times6+\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=336+35=371)（2）(C_{n+1}^{n-1}=C_{n+1}^{2}=\frac{(n+1)n}{2}=21)，解得(n=6)解：（1）平均分成兩堆：(\frac{C_{4}^{2}}{2}=3)種（2）平分給兩人：(C_{4}^{2}=6)種（3）分成兩堆，一堆3件，一堆1件：(C_{4}^{3}=4)種（4）分給兩人，一人3件，一人1件：(C_{4}^{3}\timesA_{2}^{2}=8)種解：（1）先排首尾兩個唱歌節(jié)目：(A_{3}^{2}=6)，再排中間3個節(jié)目：(A_{3}^{3}=6)，共(6\times6=36)種（2）間接法：總排法-前3個無相聲，(A_{5}^{5}-A_{3}^{3}A_{2}^{2}=120-12=108)種解：（1）沒有空盒子：全排列(A_{4}^{4}=24)種（2）恰有1個盒子不放球：(C_{4}^{1}\times(2^{4}-2)=4\times14=56)種（3）恰好一個對號入座：(C_{4}^{1}\times2=8)種解：（1）總安排方案：(3^{5}-3\times2^{5}+3\times1^{5}=243-96+3=150)種（間接法）（2）每項活動1名男生：先分男生(A_{3}^{3}=6)，再分女生(3^{2}=9)，共(6\times9=54)種（3）按人數(shù)分配：先選A活動1人(C_{5}^{1}=5)，再選B活動2人(C_{4}^{2}=6)，共(5\times6=30)種解：（1）選3男2女排列：(C_{6}^{3}C_{4}^{2}A_{5}^{5}=20\times6\times120=14400)種（2）男生互不相鄰：先排女生(A_{4}^{4}=24)，再插男生(A_{5}^{6}=720)，共(24\times720=17280)種（3）甲不站兩端：(A_{8}^{1}A_{8}^{8}=8\times40320=322560)種（4）甲乙必須站一起：(A_{2}^{2}A_{9}^{9}=2\times362880=725760)種四、綜合應(yīng)用題解：先分語文老師(A_{2}^{2}=2)，再分數(shù)學老師(C_{3}^{1}C_{2}^{2}=3)，后分體育老師(C_{3}^{1}C_{2}^{2}=3)，最后分配到兩個村(2\times3\times3\times2=36)種，答案：36種解：分兩類：蒙中1人和蒙中2人，(C_{3}^{1}\times[C_{4}^{2}A_{3}^{3}+C_{4}^{1}A_{3}^{2}]=3\times[36+24]=180)種，答案：180種五、拓展探究題解：函數(shù)定義域和值域都是{1,2,3,4}，既是"2根函數(shù)"也是"3根函數(shù)"，說明方程f(x)=k有2個根和3個根的情況都存在，即函數(shù)值域大小為2或3。當值域大小為2時，有(C_{4}^{2}(2^{4}-2)=6\times14=84)；當值域大小為3時，有(C_{4}^