/第七模塊圖形的變化五年考頻統(tǒng)計講次命題點考頻講次命題點考頻1.投影與視圖幾何體及其展開圖5年2考2.圖形的變換圖形的平移5年2考視圖5年3考圖形的旋轉(zhuǎn)5年3考2.圖形的變換圖形的軸對稱5年4考3.尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖5年考模塊體系構(gòu)建第1講投影與視圖目標領(lǐng)航構(gòu)建知識網(wǎng)考點通關(guān)直擊考什么考點1幾何體及其展開圖1.常見幾何體的表面展開圖常見幾何體長方體圓柱圓錐正三棱柱表面展開圖圖示展開圖特征3對大小相同的矩形2個大小相同的圓和1個矩形1個圓和1個扇形2個全等的等邊三角形和3個相同的矩形2.正方體的表面展開圖（顏色相同的為折成正方體時的相對面）（1）一四一型（巧記：中間四個面，上下各一面）（2）二三一型（巧記：中間三個面，一二隔河見）（3）二二二型（巧記：中間兩個面，樓梯天天見）（4）三三型（巧記：中間沒有面，三三連一線）3.立體圖形的折疊：一個幾何體能展開成一個平面圖形，這個平面圖形就可以折疊成相應的幾何體，展開與折疊是一個互逆過程.4.立體圖形中的最短路徑問題：先把立體圖形展開成平面圖形，根據(jù)“兩點之間，線段最短”原則，在平面圖形上構(gòu)造直角三角形來解決此類問題.考點2投影1．平行投影：由①________形成的投影叫作平行投影.（在平行投影中，如果投影線垂直于投影面，那么這種投影就稱為正投影）2.中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫作中心投影.溫馨提示1.形成中心投影的光線交于一點，形成平行投影的光線互相平行.2.在同一時刻，同一地點，不同物體在太陽光下的影長與它們的高度成正比，即物體影長之比等于其對應高度的比.考點3三視圖的概念與畫法視圖視圖的畫法主視圖在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖,叫作主視圖（1）畫三視圖時,三個視圖要放在正確的位置,并且注意主視圖與俯視圖的②_____,主視圖與左視圖的③_____,左視圖與俯視圖的④____；（2）主視圖在左上方,它的正下方是俯視圖,左視圖在主視圖的右邊；（3）畫圖時，看得見的輪廓線畫成實線，看不見的輪廓線畫成⑤___俯視圖在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖,叫作俯視圖左視圖在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖,叫作左視圖知識點睛常見幾何體的三視圖幾何體三視圖命題研究聚焦怎么考命題點1幾何體及其展開圖5年2考1．易錯題圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2的①②③④某一位置，不能使所組成的圖形圍成正方體的位置是（）A．① B．② C．③ D．④易錯T1判斷正方體的表面展開圖時要注意不能出現(xiàn)“”“”圖形,更不能出現(xiàn)五個小正方形排一行的情況.若出現(xiàn)“”圖形,則另兩個小正方形必須在“”的上、下兩側(cè).2．[2022河北]①~④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是由6個小正方體構(gòu)成的長方體，則應選擇（） ① ② ③ ④A．①③ B．②③ C．③④ D．①④3．[2021河北]一個骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，它的展開圖如圖，下列判斷正確的是（）A．A代表 B．B代表 C．C代表 D．B代表4．[冀教九下P109習題B組T1改編]T3變式將三個面分別標有字母A、B、A． B． C． D．方法T3，T4根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法:先確定同一行（或列）中相間排列的兩個面是相對面（即相對的兩個面中間一定隔著一個小正方形,且沒有公共邊和公共頂點）;再確定處于“Z”形兩端的面也是相對面.命題點2視圖5年3考方法命題點2由三視圖想象立體圖形時,首先分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象立體圖形的前面、上面和左側(cè)面,然后綜合起來確定幾何體的形狀,再根據(jù)三個視圖“長對正、高平齊、寬相等”的關(guān)系,確定幾何體的尺寸.5．[2024河北]如圖是由11個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．6．[2020河北]圖中的兩個幾何體分別由7個和6個相同的小正方體搭成，比較兩個幾何體的三視圖，正確的是（）A．僅主視圖不同B．僅俯視圖不同C．僅左視圖不同D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同7．[2025河北]一個幾何體由圓柱和正方體組成,其主視圖、俯視圖如圖所示,則其左視圖為（）A． B． C． D．8．[2023河北]如圖1，一個2× 圖1 圖2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．T8變式A．6個 B．9個 C．11個 D．13個易錯T8、T9由三視圖確定小正方體的個數(shù)時，答案有時不唯一，特別是只給出兩種視圖的情況.當給出的視圖中含有俯視圖時，可先由俯視圖把握幾何體的堆疊方式，即結(jié)合其他視圖在俯視圖的每個小正方形中標出對應列的小正方體個數(shù)，再確定所搭成的幾何體中小正方體的個數(shù)情況.10．[2019河北]圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，且S主=x2+ 圖1 圖2A．x2+3xC．x2+2x11．[人教九下P111復習題T8改編]（1）在圖②的橫線上填寫“主”“俯”或“左”；（2）根據(jù)兩種視圖中的數(shù)據(jù)(單位：cm)，計算這個組合幾何體的表面積.方法T11三視圖的相關(guān)計算1.根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，并將提供的數(shù)據(jù)與幾何體相對應，利用相應面積或體積公式進行計算；2.對于不完整的三視圖，要分析其可能出現(xiàn)的所有情況，從中選擇符合要求的情況進行計算.請繼續(xù)完成提升作業(yè)《分層精練冊》P96—P97第2講圖形的變換目標領(lǐng)航構(gòu)建知識網(wǎng)考點通關(guān)直擊考什么考點1圖形的軸對稱1．軸對稱圖形和軸對稱軸對稱圖形軸對稱定義如果一個圖形沿某條直線對折后,直線兩旁的部分能完全重合,那么就稱這個圖形為軸對稱圖形,這條直線稱為對稱軸.對稱軸一定為直線把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能與另一個圖形重合,那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫作對稱軸.兩個圖形中的對應點（折疊后重合的點）叫作對稱點圖示區(qū)別（1）軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形,只對一個圖形而言;（2）對稱軸不一定只有一條（1）兩個圖形成軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系,必須涉及兩個圖形;（2）只有一條對稱軸軸對稱的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形;（2）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的①________；（3）兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,如果它們的對應線段或?qū)€段的延長線相交,那么交點在②______上2．折疊的性質(zhì)圖示性質(zhì)在矩形ABCD中，將△ABC沿AC折疊得到△ABAB'=AB∠AB'C=∠△AB'C與△直線AC③________BB'，即AC⊥BB直線AC平分∠B'AB與∠B（1）幾何圖形折疊的本質(zhì)是軸對稱，折疊前后兩部分圖形關(guān)于折痕所在直線成軸對稱，即折痕所在直線是對稱軸，折痕所在直線可看作對應點所連線段的垂直平分線；（2）折疊前后兩部分圖形滿足軸對稱的性質(zhì)（即全等性與對稱性）夯基對點練1．[新北師七下P125習題T2改編]A． B．C． D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點A．60° B．70° C．75°3．如圖，在△ABC中，沿過點B的直線折疊這個三角形，使得點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，若△ABC和△ADE的周長分別是20和6，則BC的長是___考點2圖形的平移1.定義：在平面內(nèi),將某個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移.2．性質(zhì):（1）平移前后,對應線段④____且平行（或一邊在同一直線上）,各組對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等;（2）平移前后,對應角⑤____且對應角的兩邊分別平行（或一邊在同一直線上）;（3）平移不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置,平移前后兩圖形全等.3．示例:如圖，四邊形ABCD平移到四邊形EFGH的位置，則線段AB的對應線段是EF，AB=EF,CD=HG;線段BC⑥____（填“平行”或“垂直”）于線段FG，線段BF⑦____（填“平行”或“垂直”）于線段CG;夯基對點練4．將△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1A．3 B．4 C．5 D．6考點3圖形的旋轉(zhuǎn)1．中心對稱圖形與中心對稱中心對稱圖形（常見的中心對稱圖形有平行四邊形、正六邊形、圓等）中心對稱概念把一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)⑧________，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合,那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點叫作它的對稱中心把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°圖示區(qū)別一個圖形兩個圖形性質(zhì)經(jīng)過對稱中心的任意一條直線把該圖形分成面積相等的兩部分（1）關(guān)于某點成中心對稱的兩個圖形⑨__；（2）對應點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分；（3）對應線段平行（或者在同一條直線上）且相等2．圖形的旋轉(zhuǎn)（1）概念：在平面內(nèi),將一個圖形繞一個定點按某個方向旋轉(zhuǎn)一定的角度,這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn).這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.（2）三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角.（3）性質(zhì)：a.對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離⑩____；b.任意一組對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；c.對應線段相等，對應角?____；d.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，只改變位置.（4）示例：如圖，△ABC旋轉(zhuǎn)到△A'a.旋轉(zhuǎn)中心是點O,旋轉(zhuǎn)角是90°b.點A的對應點是點A'，點B的對應點是點Bc.線段AB的對應線段是A'B'，OAd.∠ABC的對應角是∠A'知識點睛圖形對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的作圖步驟（1）找出圖形的關(guān)鍵點；（2）把關(guān)鍵點按要求進行對稱、平移、旋轉(zhuǎn)得到其對應點；（3）按原圖形連接各關(guān)鍵點的對應點，得到變換后的圖形.夯基對點練5．[人教九上P69習題T2改編]A． B． C． D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△A．30° B．60° C．90°命題研究聚焦怎么考命題點1圖形的軸對稱5年4考1．[2024河北]如圖，AD與BC交于點O,△ABO和△CDO關(guān)于直線PQ對稱，點A,B的對稱點分別是點C,A．AD⊥BC C．△ABO≌△CDO2．[2021河北]如圖，直線l，m相交于點O.P為這兩直線外一點，且OP=2.8.若點P關(guān)于直線l，m的對稱點分別是點P1，PA．0 B．5 C．6 D．7妙招T2連接OP1,OP3．T2變式如圖，∠AOB內(nèi)有一點P，P1，P2分別是P關(guān)于OA，OB的對稱點，連接P1P2交OA于點M，交OB于點N，連接PM，PNA．6cm B．5cm C．4cm4．[2019河北]如圖，在由小正三角形組成的網(wǎng)格中，已涂黑6個小正三角形，還需涂黑n個小正三角形，使它們與原來被涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則n的最小值為（）A．10 B．6 C．3 D．25．[2025河北]如圖,將矩形ABCD沿對角線BD折疊,點A落在A'處,A'D交BC于點E.將△CDE沿DE折疊,點C落在A．∠1=45C．∠2=906．[2025唐山模擬]如圖，將平行四邊形ABCD(AD>AB)折疊，使點B落在邊AD上的點E處，折痕為PQ，點P在邊AB上．若ABA．23?2 B．3 C．2妙招T6確定EQ取最小值時的圖形是解題的關(guān)鍵，當EQ⊥BC時，EQ取得最小值，設(shè)AP的長為x，得到BP的長,由折疊性質(zhì)得命題點2圖形的平移5年2考要點命題點2平移的過程中，不僅僅會出現(xiàn)全等圖形，根據(jù)平移的性質(zhì)“各對應點所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等”推理，還會出現(xiàn)平行四邊形.7．已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，將此直角三角形沿射線BC方向平移，到達直角三角形A1B1C1的位置（如圖所示），其中點B1落在BC的中點處，此時A1B1與AC相交于點D，如果BC8．T7變式如圖，兩個大小一樣的直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著BC方向平移6cm到△DEF的位置，若AB=8cm，DH=3cm，則陰影部分的面積等于_9．[新人教七下P30習題T6改編] 圖1 圖2 圖3（1）如圖1，在5×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，將線段AB向右平移，得到線段A'B'，連接AA'，BB'，四邊形ABB'A（2）如圖2，在5×5的網(wǎng)格中，將△ABC向右平移3個單位長度得到△A'B'C'（3）拓展延伸：如圖3，在一塊長為a米，寬為b米的矩形草坪上修建一條水平寬為m米的小路（小路寬度處處相同），直接寫出剩下的草坪面積是__________________.方法T9作平移圖形的一般步驟1.根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2.確定原圖形的關(guān)鍵點；3.按平移的方向和平移的距離平移各個關(guān)鍵點，得到各關(guān)鍵點的對應點；4.按原圖形依次連接各對應點，得到平移后的圖形.命題點3圖形的旋轉(zhuǎn)5年3考10．[2019河北]對于題目：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長的最小整數(shù)n.”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長x，再取最小整數(shù)n.圖1 圖2 圖3 圖4甲：如圖2，思路是當x為矩形對角線長時就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=乙：如圖3，思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n=丙：如圖4，思路是當x為矩形的長與寬之和的22倍時就可以移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n下列正確的是（）A．甲的思路錯，他的n值對B．乙的思路和他的n值都對C．甲和丙的n值都對D．甲、乙的思路都錯，而丙的思路對11．[新冀教八上P149數(shù)學活動改編]問題探究（1）如何用一條直線將一個中心對稱圖形分成面積相等的兩部分？我們知道圓和長方形都是中心對稱圖形，由圖①可總結(jié)規(guī)律：一個中心對稱圖形，____________的直線將它分成面積相等的兩部分.（2）圖②是一個由正方形和圓構(gòu)成的組合圖形，用一條直線EF將圖②的陰影部分分成面積相等的兩部分.（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）拓展應用（3）圖③是由兩個長方形拼成的組合圖形，用一條直線MN將組合圖形分成面積相等的兩部分.（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）知識T11中心對稱圖形與面積等分1.一個中心對稱圖形，經(jīng)過對稱中心的直線將它分成面積相等的兩部分.如圖所示.2.由兩個中心對稱圖形組成的圖形，過兩個對稱中心的直線可以平分組合圖形的面積.如圖所示.12．[2025保定清苑期中]一次小組合作探究課上，嘉嘉將兩個正方形按如圖1所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且 圖1 圖2 圖3 圖4（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則BE與DG的數(shù)量關(guān)系為________，位置關(guān)系為________.（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論（3）把背景中的正方形分別改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，將矩形AEFG請繼續(xù)完成提升作業(yè)《分層精練冊》P98—P101微專題10圖形的折疊、裁剪與拼接典題精練聚焦怎么考類型1圖形的折疊方法解讀1.已知:如圖,將矩形紙片ABCD沿CE折疊,點B的對應點B'落在邊AD上,連接BB圖形折疊的性質(zhì)及結(jié)論:（1）折疊問題的本質(zhì)是軸對稱變換.①線段相等:B'C=②角相等:∠CB'E=∠CBE③折痕所在直線可看作垂直平分線:CE垂直平分BB'（2）折疊問題中的全等、相似關(guān)系:①全等關(guān)系:△BCE②相似關(guān)系:△AB（3）利用勾股定理求線段長:AE2+2.圖形拓展1．如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處.若點E在邊AB上，AB=3，BC=5，則AE=____2．如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，使點B翻折到點E處，連接DE，若DEAC=13，則ABBC的值為____3．在矩形紙片ABCD中,E為BC的中點,連接AE,將△ABE沿AE折疊得到△AFE,連接CF.若AB=4,BC=6,則CF的長是____4．在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，用如圖①所示的方法折出一個正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕MN，如圖②.根據(jù)以上操作，若AB=8，AD=12，則線段BM的長是___ 圖① 圖②5．如圖，已知在矩形ABCD中，點E在邊BC上，BE=2CE，將矩形沿著過點E的直線翻折后，點C，D分別落在邊BC下方的點C'，D'處，且點C'，D'，B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點F，D'F與BE交于點G.設(shè)AB=3類型2圖形的裁剪與拼接方法解讀情形一以三角形為背景分別找出△ABC的邊AB,AC的中點D,E,沿DE1.直角三角形（圖1）:將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)1802.銳角三角形（圖2）：作AF⊥DE,再沿AF把△3.鈍角三角形（圖3）：作BG⊥DE,沿BG把四邊形BCED6．綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則該矩形的周長為____ 圖1 圖2方法解讀情形二以正方形為背景一大一小兩個正方形可以裁剪拼接成一個新的大正方形.拓展：如圖，在正方形中，當滿足xy7．現(xiàn)有一張紙片，∠BAF=∠B=∠CA．甲、乙方案都不可以 B．甲方案不可以、乙方案可以C．甲、乙方案都可以 D．甲方案可以、乙方案不可以方法解讀情形三以矩形為背景圖形拼接（無縫隙、無重疊）中面積、周長的變化情況：1.總面積不變.2.一個圖形裁剪成兩個圖形，周長增加兩個裁剪痕跡的長;兩個圖形拼成一個圖形，周長減少兩個拼接線的長.8．如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后，各自要拼一個與原來面積相等的正方形，則（）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以9．T8變式-以不規(guī)則圖形為背景如圖是由5個邊長為1的正方形組成的圖形，現(xiàn)將它剪拼成一個大正方形.（1）在網(wǎng)格中畫出剪痕和剪拼后的圖形；（2）剪拼成的大正方形的邊長是______.10．[2024河北]綜合與實踐情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的.該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示.（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余） 操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.如圖3，嘉嘉沿虛線EF,GH裁剪，將該紙片剪成①②③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段EF的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長.探究．淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.請你按照淇淇的說法設(shè)計一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段PQ）的位置，并直接寫出BP的長.11．[2025河北]綜合與實踐［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分,焊接成直角護板（如圖1）,需找到合適的切割線.［模型］已知矩形ABCD（數(shù)據(jù)如圖2所示）.作一條直線MN,使MN與BC所夾的銳角為45°,且將矩形ABCD 圖1 圖2［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問題.［探究］根據(jù)以上描述,解決下列問題.（1）圖2中,矩形ABCD的周長為____.（2）在圖3的基礎(chǔ)上,用尺規(guī)作圖作出直線MN（作出一條即可,保留作圖痕跡,不寫作法）.（3）根據(jù)淇淇的作圖過程,請說明圖4中的直線MN符合要求.［拓展］操作和探究中蘊含著一般性結(jié)論,請繼續(xù)研究下面的問題.（4）如圖5,若直線PQ將矩形ABCD分成周長相等的兩部分,分別交邊AD,BC于點P,Q,過點B作BH⊥PQ于點H,連接圖5①當∠PQC=45②當∠BCH最大時,直接寫出CH請繼續(xù)完成提升作業(yè)《分層精練冊》P102微專題11幾何最值問題典題精練聚焦怎么考類型1利用垂線段最短求最值方法解讀1.求直線l外一定點A到直線l上一動點P的距離的最小值.作法：過點A作AP⊥直線l，垂足為P結(jié)論：AP為垂線段時，點A到點P的距離最小.2.如圖，點P是∠AOB內(nèi)部一定點，點M，N分別是OA，上的動點，PN+MN的最小值為P'M的長（作點P關(guān)于OB的對稱點P'，作P'M1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線.若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是_2．如圖，點M、N分別是矩形ABCD的邊AD和對角線BD上的點，連接BM、MN，已知AB=1，（1）cos∠ADB的值為______（2）求BM+類型2利用兩點之間線段最短求最值方法解讀情形一“兩點一線”型（一條定線+兩個定點）兩定點A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使得PA+PB解題思路：將兩定點同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題.作法：如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B',連接AB'，與直線l交于點3．在正方形ABCD中，AB=4，點E在邊AB上，點M在對角線AC上，當點E是邊AB的中點時，求4．T3變式如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點，P是邊AD方法解讀情形二“一點兩線”型（兩條定線+一個定點）點P是∠AOB內(nèi)部的一定點，在OA上找一點M，在OB上找一點N，使得△PMN解題思路：要使△PMN的周長最小，即PM+作法：如圖，分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點P',P″，連接P'P″交OA于點M，交5．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=140°，點E，F(xiàn)分別為BC和CD上的動點，連接類型3利用三角形三邊關(guān)系及三點共線求最值方法解讀如圖1，AB為定線段，點C為平面內(nèi)一動點.圖11.如圖2，當點C在線段AB上時，AC+BC的值最小，最小值為2.如圖3，當點C在線段AB的延長線上時，AC-BC的值最大，最大值為6．如圖，?ABCD的頂點A，D分別在直角∠MON的兩邊OM，ON上運動（不與點O重合），?ABCD的對角線AC，BD相交于點P，連接OP，若OP=5，則?ABCD周長的最小值是__7．如圖，在矩形ABCD中，CD=2BC=8,M是AB邊上一點，且BM=5，P是直線BC上一動點，則PD?PM類型4利用隱形圓求最值方法解讀定點定長作圓已知平面內(nèi),點A為定點,點B為動點,且AB長度固定OA=圖示結(jié)論點B的軌跡是以點A為圓心,AB長為半徑的圓點A,B,C均在☉O8．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，點P是BC邊上一動點（點P不與點B，C重合），連接AP，沿AP折疊△ABP，點B對應點記為M，連接CM，則CM的最小值為__解題思路點B關(guān)于直線AP的對稱點是M，則A是定點，AM的長是定值.方法解讀定弦定角作圓已知△ABC中,AB的長為定值a,∠圖示結(jié)論1.確定點C的運動軌跡,有三種情況:（1）如圖①,當α<90°時,點C的運動軌跡為優(yōu)弧ACB(不含點A、（2）如圖②,當α=90°時,點C的運動軌跡為☉O（不含點A、B（3）如圖③,當α>90°時,點C的運動軌跡為劣弧AB(不含點 圖① 圖② 圖③2.構(gòu)成等腰三角形(AC=BC)時,點C到9．如圖，AB=4，點P是線段AB外的動點且∠APB=45°，C，D分別是A．2 B．22 C．4 D．解題思路點P在以AB為弦的圓（優(yōu)?。┥线\動且不與A、B重合.方法解讀定角定高作圓已知在△ABC中,∠BAC=α（定角）,AD是BC圖示結(jié)論構(gòu)成等腰三角形(AB=(1)BC(2)△ABC(3)△ABC10．某園林單位要在一個綠化帶內(nèi)開挖一個形如△ABC的工作面,使得∠ACB=60°,CD是AB邊上的高,且CD=6,則△ABC的面積的最小值是___方法解讀四點共圓已知四邊形ABCD中，∠定線BC對等角：∠1=∠2圖示結(jié)論A,B,C,D四點共圓A,B,C,D四點共圓11．如圖，在四邊形ABCD中，BD=6，∠BAD=∠BCD=90°，則四邊形ABCD面積的最大值為_請繼續(xù)完成提升作業(yè)《分層精練冊》P103第3講尺規(guī)作圖考點通關(guān)直擊考什么考點基本尺規(guī)作圖1.作一條線段等于已知線段作法（1）作射線OP；（2）以點O為圓心，線段①______的長為半徑作弧，交射線OP于點A，OA即為所求作的線段依據(jù)圓弧上的點到圓心的距離等于半徑應用已知三邊作三角形作圓的內(nèi)接正六邊形2.作一個角等于已知角作法（1）在∠α上以點O為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，交∠α的兩邊于點P，（2）作射線O'（3）以點O'為圓心，②________________長為半徑作弧，交O'A（4）以點M為圓心，PQ長為半徑作弧，與前弧相交于點N；（5）過點N作射線O'B，依據(jù)（1）三邊分別相等的兩個三角形全等；（2）全等三角形的對應角相等應用過直線外一點作直線與已知直線平行過三角形邊上一點作一個三角形與原三角形相似3.作已知角的平分線作法（1）以點O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA，OB于點N，M；（2）分別以點M，N為圓心，以大于③______MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點P（3）過點O作射線OP，OP即為所求作依據(jù)（1）三邊分別相等的兩個三角形全等；（2）全等三角形的對應角相等應用在角的內(nèi)部作一點，使得該點到角兩邊的距離相等作三角形內(nèi)切圓4.作線段的垂直平分線作法（1）分別以點A，B為圓心，大于④______AB的長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧交于M，N兩點；（2）作直線MN，直線MN即為所求作依據(jù)（1）到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；（2）兩點確定一條直線應用過三角形的一個頂點作直線，把三角形分成面積相等的兩部分已知不重合兩點A，B，作一點C，使其到A，B的距離相等（注：點C為直線l上任意一點）已知底邊與底邊上的高線作等腰三角形過不在同一直線上的三點作圓（即作三角形的外接圓）作圓的內(nèi)接正方形作圓的內(nèi)接正六邊形5.過一點作已知直線的垂線點在直線上作法（1）以直線上的點O為圓心，任意長為半徑作弧，交直線于點A和點B；（2）分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑向直線同側(cè)作弧，兩弧交于點（3）作直線MO，直線MO即為所求作依據(jù)等腰三角形三線合一點在直線外作法（1）在直線l另一側(cè)取點M；（2）以點P為圓心，PM長為半徑作弧，交直線l于點A和點B；（3）分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧在直線l同側(cè)交于點（4）作直線PN，直線PN即為所求作依據(jù)（1）圓弧上的點到圓心的距離等于半徑；（2）到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上*6.過直線外一點作已知直線的平行線（2022年版課標新增）作法（1）在直線AB上取點M；（2）連接PM，并作∠PMB的⑤______（3）以點P為圓心，PM長為半徑作弧，交角平分線于點Q；（4）作直線PQ，直線PQ即為所求作的平行線依據(jù)“角平分線+等腰三角形”推出平行關(guān)系*7.過圓外一點作圓的切線（2022年版課標新增）作法（1）連接點P和圓心O，并作線段OP的中點A；（2）以點A為圓心，AO長為半徑作⊙A，與⊙O交于Q，（3）作直線PQ，PR，直線PQ和直線PR即為⊙O依據(jù)（1）直徑所對⑥______是直角；（2）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線命題研究聚焦怎么考命題點尺規(guī)作圖5年5考明考向1.判斷符合要求的作圖痕跡→T1,T2,2.根據(jù)作圖痕跡判斷結(jié)論正誤→T43.根據(jù)作圖痕跡進行計算→T5，T1．[2024河北]觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABCA．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線2．T1變式尺規(guī)作圖要求：Ⅰ.過直線外一點作這條直線的垂線；Ⅱ.作線段的垂直平分線；Ⅲ.過直線上一點作這條直線的垂線；Ⅳ.作角的平分線.下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：則正確的配對是A．①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B．①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—ⅠC．①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D．①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ3．[2019河北]根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A． B．C． D．4．[2020河北]如圖1，已知∠ABC如圖2，步驟如下，第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BA，BC于點D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點P第三步：畫射線BP.射線BP即為所求.圖1圖2下列正確的是（）A．a(chǎn)，b均無限制 B．a(chǎn)>0，C．a(chǎn)有最小限制，b無限制 D．a(chǎn)≥0，5．[2024石家莊橋西一模]如圖，已知在△ABC中，∠A=70°A．4° B．5° C．8°6．[2025湖南]如圖，在△ABC中，BC=6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是__【參考答案】第七模塊圖形的變化第1講投影與視圖考點通關(guān)直擊考什么考點2投影1．平行光線考點3三視圖的概念與畫法長對正；高平齊；寬相等；虛線命題研究聚焦怎么考命題點1幾何體及其展開圖5年2考1．A2．D3．A4．C命題點2視圖5年3考5．D6．D7．A8．B9．C10．A11．解：（1）主；俯.（2）這個組合幾何體的表面積=2第2講圖形的變換考點通關(guān)直擊考什么考點1圖形的軸對稱1．垂直平分線；對稱軸2．垂直平分夯基對點練1．D2．C3．7考點2圖形的平移2．相等；相等3．平行；平行夯基對點練4．A考點3圖形的旋轉(zhuǎn)1．180°2．相等；相等夯基對點練5．A6．B命題研究聚焦怎么考命題點1圖形的軸對稱5年4考1．A2．B3．A4．C5．D[解析]∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠由折疊的性質(zhì)可得∠ADB=∠A∵∠DEC=90°?∴∠1=45由兩次折疊可知∠BDE∴∠1≠α∵∠2=180°?2∠6．A[解析]當EQ⊥BC時，∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD//BC∴∠BQE由折疊的性質(zhì)得△PBQ≌△PEQ，∠∴∠AEP設(shè)AP=x，則過點A作AF⊥PE于點∵AD//BC∴∠APE∴PF=x∴PE=2解得x=23?2命題點2圖形的平移5年2考7．188．399．解：（1）6（2）△A多邊形ACBB'C'（3）(ab命題點3圖形的旋轉(zhuǎn)5年3考10．B[解析]當x為矩形對角線長時，根據(jù)勾股定理得x=62+122=65，因為13<65<14，所以最小整數(shù)n應為14，所以甲的思路正確，他的n值錯誤；當x為矩形外接圓直徑長（即矩形對角線長）時，11．解：（1）經(jīng)過對稱中心（2）如圖，直線EF即為所求.（3）如圖，直線MN即為所求.（作法不唯一）12．解：（1）BE=DG；（2）當∠EAG=∠BAD理由:∵∠EAG∴∠EAB∵四邊形AEFG和四邊形ABCD為菱形，∴AE=AG∴△AEB∴BE（3）BE=理由：∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是矩形,∴∠EAG∴∠EAB又