專題5.3軸對稱的性質(zhì)【八大題型】

【北師大版】

【題型1游戲中的軸對稱】......................................................................1

【逑型2利用軸對稱的性質(zhì)求角度】.............................................................3

【超型3利用軸對稱的性質(zhì)求線段長度】.........................................................4

【胭型4在格點(diǎn)中作軸對稱圖形】...............................................................6

【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊問題】.......................................................8

【題型6利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題】..................................................10

【題型7利用軸對稱的性質(zhì)解決探究性問題】....................................................13

【題型8軸對稱圖案的設(shè)計(jì)】...................................................................18

緋g產(chǎn)一笈三

【知識點(diǎn)1軸對稱的性質(zhì)】

（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱；

②如果兩個(gè)圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這

兩個(gè)圖形的對稱軸.

⑵軸對稱圖形的對稱軸也是任何-對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

【題型1游戲中的軸對稱】

[例1]（2022春?余姚市校級月考）小王設(shè)計(jì)了一“對稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線/,在

直線/兩邊各放一粒圍棋子4、B,使線段44長&m，并關(guān)干直線/對稱，在圖中外處有一粒跳棋子，

Pi距A點(diǎn)6cm.與直線I的距離為3cm,按以下程序起跳:第1次,從P,點(diǎn)以A為對稱中心跳至P2點(diǎn)；

第2次，從P2點(diǎn)以/為對稱軸跳至P3點(diǎn)：第3次，從P3點(diǎn)以8為對稱中心跳至R點(diǎn)；第4次，從尸4

點(diǎn)以/對稱軸跳至P5點(diǎn)：….

（1）棋子跳至幾點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)巴的距離是;

（2）棋子按上述程序跳躍2014次后停下，這時(shí)它與點(diǎn)B的距離是

B

*

【變式1-1】（2022?云夢縣一模）甲和乙下棋，甲執(zhí)白子，乙執(zhí)黑子.如圖，已共下了7枚棋子，棋盤中

心黑子的位置用（-1,0）表示，其右下角黑子的位置用（0,-1）表示.甲將第4枚白子放入棋盤后,

所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對稱圖形.他放的位置是（）

【變式1-2】（2022?濰坊）甲乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲.如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下了，黑棋下一子后白

C.黑（2,7）；白（5,3）D.黑（3,7）；白（2,6）

【變式1-3]（2022?綏棱縣校級模擬）如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒有棋

子.我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)，沿著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步.已知

點(diǎn)A為己方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為3步.

【題型2利用軸對稱的性質(zhì)求角度】

【例2】（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，△ABC中，NB=58°,NC=55°,點(diǎn)D為8C邊上一動點(diǎn).分別

作點(diǎn)。關(guān)于AB,AC的對稱點(diǎn)E,F,連接AE,AF.則NE4尸的度數(shù)等于.

【變式2-1］（2022春?壽陽縣期末）如圖，△A〃C中，ZZ?=60",NC=50°,點(diǎn)。是3。上任一點(diǎn)，點(diǎn)

E和點(diǎn)尸分別是點(diǎn)。關(guān)于A8和4C的對稱點(diǎn)，連接A￡和AF,則/E4F的度數(shù)是（）

A.140°B.135°C.120°D.100°

【變式2-2］（2022秋?臺江區(qū)期中）如圖，四邊形43CO中，A8=AO,△A3C沿著AC翻折，點(diǎn)8關(guān)于

AC的對稱點(diǎn)E恰好落在CD上，若N8=a度，則NO的度數(shù)是度.

【變式2-3］（2022秋?房山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是/4OB外的一-點(diǎn)，點(diǎn)。是點(diǎn)尸關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，點(diǎn)R

是點(diǎn)，關(guān)于03的對稱點(diǎn)，直線QR分別交NAO8兩邊OA,08于點(diǎn)N,連接PM,PN,如果

=33°,NPN0=7()°,求N0PN的度數(shù).

【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求線段長度】

【例3】（2022秋?土默特左旗期中）如圖，點(diǎn)P在NAO8內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO、的對稱

點(diǎn)，若△尸石尸的周長為15,求的長.

NB

【變式3-1］（2022春?洛寧縣期末）如圖，點(diǎn)P在N4OB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是P點(diǎn)關(guān)于OA、08的對稱點(diǎn),

且交04、。3相交于點(diǎn)E,若△「￡：”的周長為20,求MN的長.

N

【變式3-2］（2022春?驛城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。是NAOB外的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是NAO8兩邊上的點(diǎn)，

點(diǎn)P關(guān)于Q4的對稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于08的對稱點(diǎn)R落在MN的延長線上.若PM

=3c〃?，PN=4c〃i,MN=4.5cm,則線段QR的長為.

【變式3-3］（2022秋?淮安月考）如圖，在△ABC中，AB=\2cm,AC=6cm,8c=10cm,點(diǎn)及，E分別

在AC,A8上，且△BC。和△BE。關(guān)于8。對稱.

（I）求AE的長；

（2）求△人。￡的周長.

【題型4在格點(diǎn)中作軸對稱圖形】

【例4】（2022秋?密山市校級期末）如圖所示，

（1）寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）作△八BC關(guān)于,，軸對稱的△人/iG，并寫出辦的坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)A?（mb）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，求。-人的值.

x

【變式4-1]（2022秋?自貢期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，八、B、C、。各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-7,7）、

(-7,1)、(-3,1)、(-1,4).

（1）在給出的圖形中，畫出四邊形人8C。關(guān)于,，軸對稱的四邊形4/力。|。|；（不寫作法〕

（2）寫出點(diǎn)A和G的坐標(biāo)；

（3）求四邊形4SCG的面積.

【變式4-2］（2022秋咻州市期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長為1,格點(diǎn)三角形ABC

（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（-6,7）,（-4,3）.

（1）請你根據(jù)題意在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系.

（2）請畫出△ABC關(guān)于），軸對稱的△48iG

【變式4-3］（2022春?銅仁市期末）如圖，已知點(diǎn)A（4,3）,B（3,1）,C（1,2）,請解決下列問題:

（1）若把AABC向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得到△4SG，請畫出平移后的圖形并寫出

A，&,G的坐標(biāo)；

（2）若282c2是△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形，請畫出2c2并寫出A2,%,。2的坐標(biāo).

【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊問題】

【例5】（2022春?廣陵區(qū)校級期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,把△A6C沿。E折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，請你

判斷N1+N2與/A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由

思考（2）如圖2,8/平分NA8C,C7平分NAC8,把△ABC折疊，使點(diǎn)4與點(diǎn)/重合，若/1+/2=100°

求NB/C的度數(shù)；

拓展（3）如圖3,在銳角△ABC中，8尺LAC于點(diǎn)凡CG_L4B于點(diǎn)G,BF.CG交于點(diǎn)、H,把△ABC

折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)”重合，試探索。與/1+N2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式5-1］（2022春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長為8cm的正方形A8CZ）折疊，使點(diǎn)。落在BC邊的

中點(diǎn)E處,點(diǎn)4落在尸處，折痕為MN.

（1）求線段CN長.

（2）連接尸M并求EV的長.

【變式5-2］（2022秋?成都期末）如圖，四邊形ABCO中，AB//CD,ADA.AB,AB=6,AO=CO=3,點(diǎn)

E、產(chǎn)分別在線段A8、4）上，洛ZM斯沿斯翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為尸.當(dāng)尸落在四邊形A8C。內(nèi)部時(shí),

PD的最小值等于

【變式5-3］（2022?惠安縣期末）如圖，已知一張長方形紙片ABC。，A8〃CZ）,AD=BC=\,AB=CD=5.在

長方形AACQ的邊AN上取一點(diǎn)M,在CO上取一點(diǎn)N,將紙片沿MN折登，使MH與DN爻于點(diǎn)K,得

到△MNK.

D

A

（1）請你動手操作，判斷△MNK的形狀一定是

（2）問△MNK的面積能否小于：？試說明理由;

（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，并求最大值.

【題型6利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題】

【例6】（2022春?嶗山區(qū)期中）早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海

倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題.

將軍每天從軍營人出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營8開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它.從比以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題便

流傳至今.

大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問題.

圖1圖2圖3

如圖2,作4關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)8,，連接AZT與直線/交于點(diǎn)C,點(diǎn)C就是所求的位置.

證明：如圖3,在直線，上另取任一點(diǎn)C',連接AC',BC,B'C',

???直線/是點(diǎn)8,小的對稱軸，點(diǎn)C,C在/上，

：，CB=CB',CB=C'夕，

：.AC+CB=AC+=.

在△AC，B'中，

<ACr+C'B'

.\AC+CB<AC,+C'B'即AC+CB最小.

本問題實(shí)際上是利用軸對稱變換的思想，把A,8在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用

“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決(其中C在4B'與/的交點(diǎn)

上，即4、C、B1三點(diǎn)共線).本問題可歸納為“求定宜線上一動點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”

的問題的數(shù)學(xué)模型.

【簡單應(yīng)用】

(1)如圖4,在等邊△A8C中，AB=6,ADA.BC,E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC的

最小值

AQ

B5

B

D

圖4圖5圖6

借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，8與C關(guān)亍直線人。對稱，連接BM,EM+MC的最小

值就是線段BE的長度,則EM+MC的最小值是:

(2)如圖5,在四邊形ABC。中，NBAD=130°,NB=ND=90",在BC,C。上分別找一點(diǎn)M、N

當(dāng)△AMN周長最小時(shí)，/AMN+NANM=°.

【拓展應(yīng)用】

如圖6,是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、8兩個(gè)碼頭，N4OB=30°,Q4=l千米，。8=2千米，現(xiàn)有一艘

貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先停靠。8岸C處裝貨，再?？?。4岸。處裝貨，最后到達(dá)碼頭

B.怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程.

【變式6-1]在ABC中，NAC8=90°,N8=60°,AC=6,點(diǎn)。，石在邊上，AD=CD,點(diǎn)、E關(guān)于

AC,CO的對稱點(diǎn)分別為凡G,則線段FG的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

【變式6-2]（2022秋?雙流區(qū)校級期中）在△ABC中，ZA=45°,AC=8,BD1AC,BD=6,點(diǎn)、E為邊

BC上的一個(gè)動點(diǎn).后，民分別為點(diǎn)E關(guān)于直線AC,4B的對稱點(diǎn)，連接后良，則線段以昂長度的最小

【變式6-3]（2022春?青羊區(qū)期末）如圖，△A8C中，N8=45°,ZC=75°,AB=4,。為8c上一動

點(diǎn)，過。作。E_LAC于點(diǎn)E,作。凡LAB于點(diǎn)尸，連接石尸，則石尸的最小值為

【題型7利用軸對稱的性質(zhì)解決探究性問題】

[ft7]（2022春?二道區(qū)期末）解答下列各題：

（1）【問題引入】：如圖①，在△ABC中，NBAC=70°,點(diǎn)。在8C的延長線上，三角形的內(nèi)角N

4BC與外角N4CZ）的角平分線8P,C尸相交于點(diǎn)P,求N尸的度數(shù).（寫出完整的解答過程）

①

（2）【深入探究】：如圖②，在四邊形MNC8中，設(shè)NM=a,NN=p,四邊形MNC3的內(nèi)角NM3c

與外角NNC。的角平分線8尸，CP相交于點(diǎn)P,則NP的度數(shù)為.（用含有a和p的代數(shù)

式表示）

(3)【問題拓展】：如圖③，在圖①中，把NBAC=70°改成NBAC=y,其他條件不變，將△P8C以

直線BC為對稱軸翻折得到△GBC,ZGBC的角平分線與NGCB的角平分線交于點(diǎn)M,貝!N8MC的度

數(shù)為用含有丫的代數(shù)式表示)

【變式7-1](2022秋?洛南縣期末)問題提出:

(1)如圖1,畫出直角三角形ABC關(guān)于AC所在直線的軸對稱圖形,其中NZMC=90°(保留

作圖痕跡，不寫作法).

圖1圖2圖3

問題探究：

(2)如圖2,NMAN=90°,射線AE在NM4N的內(nèi)部，點(diǎn)8、。在NM4N的邊AM、AN上，且A8=

AC,過點(diǎn)C作CF_LAE于點(diǎn)凡過點(diǎn)8作8O_LAE于點(diǎn)。，證明：△ABOg△CA凡

深入思考：

(3)如圖3,在RlAABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線/經(jīng)過點(diǎn)C,且點(diǎn)4、8在直線/的異側(cè)，

過點(diǎn)A作AOJJ于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作于點(diǎn)E.判斷線段人。、BE、。石之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明.

【變式7-2](2022春?臨汾期末)綜合實(shí)踐課上，小聰用一張長方形紙片A8CO*，不同折法下的夾角大小

進(jìn)行了探究，先將紙片的一角對折，使角的頂點(diǎn)A落在A'處，￡尸為折痕，如圖①所示.

(1)若NAE尸=30°,

①求NA'EB的度數(shù)；

②又將它的另一個(gè)角也折過去，并使點(diǎn)B落在班’上的8'處，折痕為EG,如圖②所示，求的

度數(shù)；

(2)若改變NAE/的大小，則E4'的位置也隨之改變，則//EG的大小是否改變？請說明理由.

【變式7-3］（2022秋?鼓樓區(qū)月考）問題情境

如圖1,AABC+,沿N8AC的平分線4叢折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿NSAC的平分線A/2

折疊，剪掉重疊部分；如此反復(fù)操作，沿N8AC的平分線4&+I折疊，點(diǎn)&與點(diǎn)C重合，我們就稱/

BAC是△ABC的正角.

以圖2為例，△A8C中，NB=70。，NC=35°,若沿N/MC的平分線AB］折疊，則NAA由i=70".沿

AS剪掉重疊部分，在余下的△BMC中，由三角形的內(nèi)角和定理可知NASC=35°,若沿/以4。的

平分線AB?第二次折疊，則點(diǎn)8與點(diǎn)C重合.此時(shí)，我們就稱NBAC是△ABC的正角.

探究發(fā)現(xiàn)

（1）△ABC中，NB=2NC,則經(jīng)過兩次折疊后，NBAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不

是"）.

（2）小明經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)N84C是aABC的正角，則與NC（不妨設(shè)/C）之間的等量關(guān)系

為?

根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過〃次折疊NZMC是△AAC的正角，則NA與NC（不妨設(shè)NA>NC）之間的

等量關(guān)系為.

應(yīng)用提升

（3）如果一個(gè)三角形的最小角是10°,直接寫出此三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使得此三角形的三個(gè)角

均是它的正角.

【題型8軸對稱圖案的設(shè)計(jì)】

【例8】（2022秋?滄州期末）如圖1所示是一塊有圖案的瓷磚，請利用四塊這樣的瓷瓶拼出一個(gè)正方形,

使所拼的圖案為軸對稱圖形.在圖4中畫出你的四個(gè)設(shè)計(jì)方案.（圖2、圖3視為同?圖案）

同田田田田

圖1圖2圖3圖4

【變式8-1］（2022?金華）現(xiàn)有9個(gè)相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑.如圖（1）,（2）

所示.

觀察圖（1）,圖（2）中涂黑部分構(gòu)成的圖案.它們具有如下特征：①都是軸對稱圖形；②涂黑部分都

是三個(gè)小正三角形.

【變式8-2](2022春?臨渭區(qū)期末）認(rèn)真觀察下面四幅圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問

恃征1：

特征2：

（2）請你借助下面的網(wǎng)格，設(shè)計(jì)出三個(gè)不同圖案，使它也具備你所寫出的上述特征.（注意：新圖案與

以上四幅圖中的圖案不能相同）

【變式8?3】（2022秋?盂縣期末）有這樣?道題：用四塊如圖甲所示的瓷磚拼成?個(gè)正方形，形成軸對稱

圖案，和你的同伴比一比，看誰的拼法多.某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖的兩個(gè)圖案，請你也用如圖乙所示的瓷質(zhì)

北師大版舉一反三初中數(shù)學(xué)?七年級下冊

專題5.3軸對稱的性質(zhì)【八大題型】

【題型1游戲中的軸對稱】......................................................................1

【題型2利用軸對稱的性質(zhì)求角度】..............................................................3

【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求線段長度】.........................................................4

【題型4在格點(diǎn)中作軸對稱圖形】................................................................6

【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊問題】.......................................................8

【題型6利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題】..................................................10

【題型7利用軸對稱的性質(zhì)解決探究性問題】....................................................13

【題型8軸對稱圖案的設(shè)計(jì)】...................................................................18

【知識點(diǎn)1軸對稱的性質(zhì)】一

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對

稱；

②如果兩個(gè)圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，

就可以得到這

兩個(gè)圖形的對稱軸.

(2)軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

【題型1游戲中的軸對稱】

［例1］小王設(shè)計(jì)了一“對稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線I,在直線/兩邊各

放一粒圍棋子A、B,便線段長8c〃?，并關(guān)于直線/對稱，在圖中外處有一粒跳棋子，

Pi距A點(diǎn)6cm、與直線/的距離為3C7〃，按以下程序起跳：第1次，從Pi點(diǎn)以A為對稱

中心跳至P2點(diǎn)；第2次，從P2點(diǎn)以/為對稱軸跳至P3點(diǎn)；第3次，從03點(diǎn)以8為對稱

中心跳至尸4點(diǎn)；第4次，從心點(diǎn)以/對稱軸跳至P5點(diǎn)；….

(1)棋子跳至幾點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)1的距離是12cvn；

(2)棋子按上述程序跳躍2014次后停下，這時(shí)它與點(diǎn)8的距離是6cm.

BA

*

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，&與P2重合，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解;

（2）根據(jù)圖形，每跳動4次為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2014除以4,根據(jù)商和余數(shù)的情

況解答即可.

【解答】解：（1）如圖，尸6與P2重合，

〈Pi距A點(diǎn)6cm,

?"|P2=2X6=

???跳至2點(diǎn)時(shí)，與點(diǎn)Pi的距離是12cm；

（2）???每跳動4次為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，2014+4=503余2,

.?.跳躍2014次為第504次循環(huán)的第2次，停在凸，

它與點(diǎn)3的距離是6。兒

故答案為：12（7〃；6cm.

【變式1-1】甲和乙下棋，甲執(zhí)白子，乙執(zhí)黑子.如圖，已共下了7枚棋子，棋盤中心黑子

的位置用（-1,0）表示，其右下角黑子的位置用（0,-1）表示.甲將第4枚白子放

入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對稱圖形.他放的位置是（）

【分析】首先確定原點(diǎn)位置，再利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：如圖所示：甲將第4枚白子放入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對稱圖形,

他放的位置是：（?1,1）.

【變式1-2】甲乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲.如圖所示，現(xiàn)輪到黑棋下子，黑棋下一子后白

棋再下一子，使黑棋的5個(gè)棋子組成軸對稱圖形，白棋的5個(gè)棋子也成軸對稱圖形.則

下列下子方法不正確的是（），［說明：棋子的位置用數(shù)對表示，如A點(diǎn)在（6,3）］.

01234567RC

A.黑（3,7）；白（5,3）B.黑14,7）；白（6,2）

C.黑（2,7）；白（5,3）D.黑（3,7）；白（2,6）

【分析】分別根據(jù)選項(xiàng)所說的黑、白棋子放入圖形，再由軸對稱的定義進(jìn)行判斷即可得

出答案.

【解答】解：A、若放入黑（3,7）；白（5,3）,則此時(shí)黑棋是軸對稱圖形，白棋也是

軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、若放入黑（4,7）：白（6,2）,則此時(shí)黑棋是軸對稱圖形，白棋也是軸對稱圖形，

故本選項(xiàng)不符合題意；

。、若放入黑（2,7）；白（5,3）,則此時(shí)黑棋不是軸對稱圖形，白棋是軸對稱圖形，

故本選項(xiàng)正確；

D、若放入黑（3,7）；白（2,6）,則此時(shí)黑棋是軸對稱圖形，白棋也是軸對稱圖形，

故本選項(xiàng)不符合題意；

【變式1-3】如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒有棋子.我們約

定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)，沿著棋子對稱跳行，跳行?次稱為一步.已

知點(diǎn)A為己方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少

步數(shù)為3步.

【分析】根據(jù)題意：分別計(jì)算出兩種跳法所需要的步數(shù)，比較就可以了.

【解答】解：如圖中紅棋子所示，根據(jù)規(guī)則;

①點(diǎn)A從右邊通過3次軸對稱后，位于陰影部分內(nèi):

②點(diǎn)A從左邊通過4次軸對稱后，位于陰影部分內(nèi).

所以跳行的最少步數(shù)為3步.

【題型2利用軸對稱的性質(zhì)求角度】

【例2】如圖，△48C中，N4=58°,NC=55°,點(diǎn)。為5c邊上一動點(diǎn).分別作點(diǎn)D

關(guān)于AB,AC的對稱點(diǎn)E,F,連接AE,4F.則NEA尸的度數(shù)等于13于

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???點(diǎn)七和點(diǎn)廠分別是點(diǎn)。關(guān)于A/3和4c的對稱點(diǎn)，

：?NEAB=NBAD,NFAC=NCAD,

???NB=58°,ZC=55°,

/HAC=/HAD+/DAC=1800--55°=67°,

：,ZEAF=2ZBAC=\W,

故答案為：134°.

【變式2-1］如圖，△A8C中，NB=60。，ZC=50°,點(diǎn)。是8c上任一點(diǎn),點(diǎn)E和點(diǎn)”

分別是點(diǎn)。關(guān)于48和人C的對稱點(diǎn)，連接人七和八F,則NE4尸的度數(shù)是()

【分析】利用軸乂寸稱的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖，丁點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別是點(diǎn)。關(guān)于48和4c的對稱點(diǎn),

：?/EAB=NBAD,ZFAC=ZCAD,

VZ5=60°,ZC=50°,

：,ZBAC=ZBAD+ZDAC=\^-600-50°=70°,

：.ZEAF=2ZBAC=\W，

【變式2-2］如圖，四邊形A3c。中，AB=AD,ZXAHC沿著AC翻折，點(diǎn)3關(guān)于AC的對

稱點(diǎn)E恰好落在CO上，若NB=a度,則NQ的度數(shù)是（180-a）度.

【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)得出48=4,/B=N4FC=a,再結(jié)合等腰三角形的

性質(zhì)得出答案.

【解答】解：???△44C沿著AC翻折，點(diǎn)8關(guān)于AC的對稱點(diǎn)￡恰好落在8上，

：.AB=AE,NB=NAEC=a,

,：AB=AD,

：,AD=AE,

：.ZD=ZAED=180°-ZAEC=180-a.

故答案為：（180-a）.

B

【變式2-3】如圖，點(diǎn)尸是NA08外的一點(diǎn)，點(diǎn)。是點(diǎn)尸關(guān)于。4的對稱點(diǎn)，點(diǎn)R是點(diǎn)P

關(guān)于03的對稱點(diǎn)，直線QR分別交NAO3兩邊04,0B于點(diǎn)M,N,連接PM,PN,如

果NPMO=33°,/PNO=70：求NQPN的度數(shù).

【分析】先根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線0A對稱可知0M是線段PQ的垂直平分線，故PM

=MQ,ZPMQ=2ZPM0,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NPQM的度數(shù)，同理可得出PN

=RN,故可得出NPNR=2NPNO,再由平角的定義得出NPNQ的度數(shù)，由三角形外角

的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：???點(diǎn)。和點(diǎn)P關(guān)于的對稱，

點(diǎn)R和點(diǎn)戶關(guān)于08的對稱

???直線。4、08分別是PQ、PR的中垂線，

：?MP=MQ,NP=NR,

JZPMO=ZQMO,NPN0=ZRNO,

???NPMO=33°，NPN0=7金。

???NPMO=NQMO=33°,NPNO=NRNO=10°

/.Z=66°,NPNR=140°

:./MQP=57°,

，NPQN=I23°,/戶NQ=40°,

：.ZQPN=\1°.

【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求線段長度】

【例3】如圖，點(diǎn)尸在NAO6內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)尸關(guān)于AO、國7的對稱點(diǎn)，若&PEF

的周長為15,求MN的長.

。

NB

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知EP=EM，PF=FN,結(jié)合的周長為15,利用等量

代換可知MN=EP+EF+PF=\5.

【解答】解：???點(diǎn)M是點(diǎn)P關(guān)于A0,的對稱點(diǎn)，

，4。垂直平分MP,

：.EP=EM.

同理PF=FN.

，：MN=ME+EF+FN,

：,MN=EP+EF+PF,

???△PEF的周長為15,

:?MN=EP+EF+PF=\5.

【變式3-1】如圖，點(diǎn)。在NAO8內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是尸點(diǎn)關(guān)于。4、OB的對稱點(diǎn)，且MN

交04、04相交于點(diǎn)E,若△PEF的周長為20,求MN的長.

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：EP=EM,PF=FN,所以線段MN的長=Z\P石尸的周

長，再根據(jù)△尸石尸的周長為20,即可得出的長.

【解答】解：???點(diǎn)M是P點(diǎn)關(guān)于。4的對稱點(diǎn)，

:?EP=EM,

?:N是P點(diǎn)關(guān)于0B的對稱點(diǎn)，

:?PF=FN,

AMN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=APEF的周長，

??.△PE尸的周長為20,

:,MN=20cm.

【變式3-2］如圖，點(diǎn)P是NAO5外的一點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是NAO8兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)

于（M的對稱點(diǎn)Q恰好落在線段上,點(diǎn)P關(guān)于OB的對?稱點(diǎn)R落在MN的延長線上.若

PM=3cm,PN=4cm,MN=45cm,則線段OR的長為5.5c〃？.

A

O

ONB

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到OA垂直平分PQ,OB垂直平分PR,則利用線段垂直平

分線的性質(zhì)得QM=PM=3a〃，RN=PN=4cm,然后計(jì)算QM再計(jì)算QN+KN即可.

【解答】解：???點(diǎn)產(chǎn)關(guān)于OA的時(shí)稱點(diǎn)Q恰好落在線段"N上,

：,OA垂直平分PQ,

:.QM=PM=3cm,

:.QN=MN-QM=4.5cm-3c、/〃=1.5?！ǎ?/p>

???點(diǎn)P關(guān)于08的對稱點(diǎn)R落在MN的延長線上,

JOB垂直平分尸R,

:.RN=PN=4cm,

QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm.

故答案為5.5cm.

【變式3?3】如圖,在△ABC中,AB=\2cm,AC=6cmfBC=10an,點(diǎn)D,E分別在AC,

AB上，且△BC。和△B￡O關(guān)于對稱.

(1)求AE的長；

(2)求△AOE的周長.

【分析】(1)先根據(jù)ABCD和△BEZ)關(guān)于BQ對稱，得出ABCD空ABED,故BE=BC,

由此可得出AE的長，

(2)由△AOE的周長=AE+A/)+OE=AE+4C即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)?.?△區(qū)。7)和(△區(qū)口)關(guān)于月/)對稱.

:.△BCgABED,

:?BE=BC=lOcm,

?"E=12-10=2皿

(2),:2BCDmABED,

:,DC=DE,

：,△AOE的周長=4E+4D+OE=AE+AC=8cm.

【題型4在格點(diǎn)中作軸對稱圖形】

【例4】如圖所示，

（1）寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）作△ABC關(guān)于），軸對稱的小G，并寫出小的坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)A?（。，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，求的值.

【分析】（I）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫出坐標(biāo)即可；

（2）作出A、B、。三點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4、小、G即可:

（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出〃、人的值即可；

【解答】解：⑴C1-2,-1）.

（2）△ABC關(guān)于），軸對稱的△AiSG如圖所示；

如圖,B\（-3,1）.

（3）YA（I,2）與左（。，b）關(guān)于x軸對稱，

可得：a=l,h=-2,

'.a-b=3.

【變式4-1]（2022秋?自貢期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A、8、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為（-7,7）、（-7,1）、（-3,1）、（-1,4）.

j，，、

A

（1）在給出的圖形中，畫出四邊形ABC。關(guān)于），軸對稱的四邊形A山］GO；（不寫作

法）

（2）寫出點(diǎn)4和G的坐標(biāo)；

（3）求四邊形A/IGDI的面積.

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C、。關(guān)于y軸對稱點(diǎn)4、叢、G、5的位

置，然后順次連接即可；

（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)A和G的坐標(biāo)；

（3）利用四邊形所在的矩形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積列式計(jì)算即可

得解.

【解答】解：（1）四邊形AliGOi如圖所示；

(2)由(1)可得A17,7),Ci(3,1):

(3)S四邊形Ai/na/)i=6X6—gx2X3—1x6X3?

=36-3-9,

=36-12,

=24.

【變式4-2］（2022秋?嵯州市期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長為1,

格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是（?6,7）,

（-4,3）.

（1）請你根據(jù)題意在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系.

（2）請畫出△ABC關(guān)于），軸對稱的△A/C1

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)8的坐標(biāo)可確定原點(diǎn)位置，然后畫出坐標(biāo)系即可：

（2）首先確定A、8、C三點(diǎn)關(guān)于〉，軸對稱的對稱點(diǎn)位置，再連接即可.

（解答]解：（1）如圖：

（2）如圖所示：△A/iG即為所求.

【變式4-3]（2022春?銅仁市期末）如圖，已知點(diǎn)A（4,3）,B（3,I）,C（1,2）,

請解決下列問題：

（1）若把△ABC向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得到△4SG，請畫出平移后

的圖形并寫出4,Bi，G的坐標(biāo)；

（2）若△A2B2C2是△A8C關(guān)于x軸對稱的圖形，請畫出△A2&C2并寫出小，&,C2的

坐標(biāo).

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,。的對應(yīng)點(diǎn)4,以，G即可；

（2）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A,B,。的對應(yīng)點(diǎn)4,%,。2即可.

【解答】解：（1）如圖，△?!]81G即為所求，4（-1,2）,以（-2,0）,G（-4,

1）；

（2）如圖,△4&C2即為所求,4（4.-3）.B2（3,-1）,C2（A,-2）.

【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊問題】

【例5】（2022春?廣陵區(qū)校級期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,把△ABC沿。E折疊，使點(diǎn)A落在

點(diǎn)A'處，請你判斷N1+N2與NA有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由

思考（2）如圖2,肘平分/ABC,C7平分NAC8,把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)/重合,

若Nl+N2=100°,求N8/C的度數(shù)；

拓展(3)如圖3,在銳角3c中，BFLAC于點(diǎn)、F,CG_LA3于點(diǎn)G,BF、CG交于點(diǎn)

H,把△A8C折疊使點(diǎn)4和點(diǎn)，重合，試探索與NI+N2的關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

【分析】(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；

(2)根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出N〃3C+N/C8=90°得出N4/C的度數(shù)即

可；

(3)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，N"H+NAG”=90°+90°=180°,

進(jìn)而求出NA=：(N1-/2),即可得出答案.

【解答】解：(1)Z1+Z2=2ZA；

理由：根據(jù)翻折的性質(zhì)，ZADE=^(180°-Zl),ZAED=^(180°-Z2),

???NA+/AOE+NAEO=180°,

AZA+-(180-Zl)4-i(180-Z2)=180°,

22

整理得2NA=N1+N2；

(2)由(1)NI+N2=2NA,得2NA=100°,

:.NA=50°

???/8平分NA8C,IC立分NACB,

AZ/?C+Z/CT=-(NA/3C+NAC8)=-(1800-NA)=90°--ZA,

222

.\ZB/C=180°-(NIBC+NICB)=180°-(90°--ZA)=9004--x50°=115°；

22

(3)VBF±AC,CG1AB,

???NA/77+NAGH=9(r+90°=180°,

ZF//G+ZA=180°,

AZ13HC=ZFHG=180°-ZA,

由(I)知Nl+/2=2/4,

???NA=；(Z1+Z2)

2；

/.ZB//C=I8O°一：(Z1+Z2).

2

【變式5-1](2022春?杜爾伯特縣期中)如圖，將邊長為8cm的正方形4BC。折疊，使點(diǎn)

。落在8C邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在尸處，折痕為MN.

(1)求線段CN長.

(2)連接硒，并求/W的長.

【分析】（I）設(shè)NC=i,則DN=8-x,由翻折的性質(zhì)可知EN=QN=8-x,在RlAENC

中，山勾股定理列方程求解即可；

（2）連接AN,由翻折的性質(zhì)可知FN=AN,然后在RtaAON中由勾股定理求得4N的

長即可.

【解答】解：（1）設(shè)NC=x,則￡W=8-x.由翻折的性質(zhì)可知：EN=DN=8-x.

在RdENC中，由勾股定理可知：EN2=EC2+NC2,（8-x）2=42+?,

解得：x=3,BPNC=3cm.

（2）如圖所示，連接AN.

在Rl三角形AQN中，AN=y/AD2+ND2=V824-52=9.

由翻折的性質(zhì)可知FN=AN=V89.

【變式5-2]（2022秋?成都期末）如圖，四邊形/WCQ中，AB//CD,AD1A1L"=6,

4。=。。=3,點(diǎn)E、F分別在線段AB.AD上，將△AE尸沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P.當(dāng)

P落在四邊形A8CQ內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于3瓜一6.

【分析】當(dāng)沿OE折疊，且點(diǎn)人落在8。上，有OP最小，由勾股定理求得8。的長，則

DP=BD-BP=BD-AB.

【解答】解：如圖：設(shè)A的對稱點(diǎn)為P，連接EZ）,過P1作PP|_LEO于P,

???在直角三角形QPQ中,DPi>DP,

???當(dāng)點(diǎn)A的對稱P落在線段ED上時(shí)，此時(shí)P。有最小值，

即當(dāng)“取最大值時(shí)，PD有最小值，而E在線段48上，

???當(dāng)E與8重合時(shí)，最大，從而此時(shí)P。取得最小.

在R&DB中，BD=\AB2+A。2=<36+9=3百

■:PB=AB=6

:.DP=BD-BP=BD-AB=3正-6.

故答案為：3遍一6.

【變式5-3]（2022?惠安縣期末）如圖，己知一張長方形紙片ABCD,AB//CD,AD=BC

=1,AB=CD=5.在長方形ABC。的邊48上取一點(diǎn)M,在CD上取一點(diǎn)M將紙片沿

MN折疊，使MB與。N交于點(diǎn)K,得到△MNK.

（1）請你動手操作，到斷△MNK的形狀一定是等腰三角形；

（2）問△MNK的面積能否小于：？試說明理由：

（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，并求最

大值.

【分析】（1）由AB〃CD與折疊的性質(zhì)易得NMNK=/NMK,即可證得MK=NK,即

△MNK的形狀一定是等腰三角形；

（2）分兩種情況分析：如圖1所示：過點(diǎn)M作MH1KN于點(diǎn)H,如圖2所示：KML

KN,此時(shí)KM最小，KM=KN=1,則可求得S△恤依=（KN?M”N；xIX1=/

（3）分兩種情況討論.情況一：如圖3,將矩形紙片對折，使點(diǎn)B與。重合，此時(shí)點(diǎn)K

也與。重合.情況二；如圖4,將矩形紙片沿對角線AC對折，此時(shí)折痕即為AC.利用

方程思想求解，即可求得答案.

【解答】解：（1）等腰三角形.

理由：\'AB//CD,

；?NMNK=Z1,

由折疊的性質(zhì)可得：Zl=/NMK,

???ZMNK=ZNMK,

:.MK=NK,

即△MNK是等腰三角形;

故答案為：等腰三角形；

（2）不能.

理由：*：AH//CD,

：,NKNM=NNMB,

又?：4KMN=/NMB；

???4KMN=ZKNM,

:?KM=KN,

如圖I所示：過點(diǎn)M作M，J_KN于點(diǎn)從

：.MH=AD=\,

在RtAKMH中,KM>MH,即KN=KM>1,

如圖2所示：KMLKN,此時(shí)KM最小，KM=KN=1,

???KN》1,

:.SLMNK=爭N?MHN|xlXl=i,

:AMNK的面積不可能小于去

（3）分兩種情況討論.

情況一：如圖3,將矩形紙片對折，使點(diǎn)8與。重合，此時(shí)點(diǎn)K也與。重合.

設(shè)MK=MB=x,則AM=5-x.

由勾股定理得12+（5-X）2=/，

解得x=2.6；

ASAM^=1X2.6X1=1.3；

情況二：如圖4,將矩形紙片沿對角線AC對折，此時(shí)折痕即為AC.

設(shè)MK=AK=CK=x,則0K=5-k.

同理可得尤=2.6.

；?S&MNK=~x2.6X1=1.3；

的面枳最大值為1.3.

【題型6利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題】

【例6】（2022春?嶗山區(qū)期中）早在古羅馬時(shí)代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理

的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的

問題.

將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營8開會，應(yīng)該怎樣走

才能使路程最短？這個(gè)問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它.從此以后，

這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今.

大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問題.

如圖2,作8關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)"，連接A8'與直線/交于點(diǎn)C,點(diǎn)C就是所求的

位置.

證明：如圖3,在直線/上另取任一點(diǎn)C',連接AC',BC,B'C,

???直線/是點(diǎn)8,"的對稱軸，點(diǎn)C,C在/上，

：.CB=CB',CB=C