13.1三角形的邊角關(guān)系

（三角形中角的關(guān)系）題型一證明三角形內(nèi)角和1．（23-24八年級上·廣東佛山·期末）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于”時，綜合實踐小組的同學作了如圖四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”的是（

）A．如圖①，過點作B．如圖②，延長到，過點作C．如圖③，過上一點作，D．如圖④，過點作【答案】D【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，平行線的性質(zhì)，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義逐一判斷即可得答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，故A選項不符合題意，∵，∴，∵，∴，故B選項不符合題意，∵，，∴，，∴，∵，∴，故C選項不符合題意，∵，∴，不能證明“三角形的內(nèi)角和等于”故D選項符合題意，故選：D2．（24-25七年級下·山東泰安·期中）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是”時，綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是”的是（

）A．如圖①所示，過三角形一邊上點D作B．如圖②所示，過三角形內(nèi)部一點P作C．如圖③所示，過點C作于點DD．如圖④所示，過三角形外部一點P作【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得，，則，由平角的定義得到，則，據(jù)此可判斷A；由平行線的性質(zhì)可得，同理可得，據(jù)此可判斷B；設(shè)交于O，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，，，再由，即可判斷D；C中根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明．【詳解】解：A、∵，∴，，∴，∵，∴，故A不符合題意；B、∵∴，∵，∴同A選項中的證明方法可得，∴，故B不符合題意；C、根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，故C符合題意；D、設(shè)交于O，∵，∴，∵，∴，，，∵，∴，∵，∴，故D不符合題意；故選；C．3．（24-25七年級下·福建漳州·階段練習）學習了“平行線的性質(zhì)和判定”后，聰明的小穎同學只撕下三角形的一個角來拼到另一個角的頂點處便可說明三角形的內(nèi)角和等于．請閱讀小穎的操作和說理過程，并完成相應任務：如圖1，中的三個內(nèi)角分別為．將撕下，按圖2的方式拼擺，使與的頂點重合，的一邊與重合．理由：由操作可知，所以________（依據(jù)：________）．所以，________（依據(jù)：________）．即________________．所以，三角形的內(nèi)角和等于【答案】；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；；【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和的證明方法，先由內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到，再由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到，據(jù)此可證明．【詳解】證明；由操作可知，所以（依據(jù)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．所以，（依據(jù)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．即．題型二由三角形內(nèi)角和直接求角度4．（2025·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，在矩形中，對角線、相交于點O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可解答．【詳解】解：∵矩形中，對角線、相交于點O，∴，∴，∴，∵，∴．故選A．5．（2025·云南楚雄·二模）如圖，在正五邊形中，連接．則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正五邊形內(nèi)角問題，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，根據(jù)正五邊形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案．【詳解】解；∵五邊形是正五邊形，∴，∴，故選：A．6．（24-25七年級上·安徽淮北·開學考試）如圖：等于度．【答案】【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和為得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴故答案為：7．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在中，已知，，則．【答案】50【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和為這一性質(zhì)，結(jié)合已知條件建立關(guān)于的方程求解．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，由得出關(guān)于的表達式，將的值和關(guān)于的表達式代入三角形內(nèi)角和等式，求解．【詳解】在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，已知，移項可得，因為，把和代入中，得到，解得，故答案為：50．8．（24-25八年級上·安徽六安·期中）求出下列圖形中的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理的應用，熟練掌握三角形內(nèi)角和為，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和為列出方程，進行求解即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】解：（1）三角形內(nèi)角和是，，解得；（2）三角形內(nèi)角和是，，解得：．題型三由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀9．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在中，，那么是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)在中，，可求出各角的度數(shù)，進而得出結(jié)論．【詳解】解：解：∵在中，，，∴，解得，∴，∴是銳角三角形．故選：A．10．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在中，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的分類、三角形的內(nèi)角和定理及其應用問題，運用三角形的內(nèi)角和定理求出，進而求出，，即可解決問題．【詳解】解：在中，∵，且，，，∴是直角三角形．故選：A．11．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）具備下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，熟悉掌握三角形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．利用三角形的內(nèi)角和，代入已知條件求出角的度數(shù)，逐一判斷是否有直角即可．【詳解】解：A：，代入，得：，，故此選項不符合題意；B：，根據(jù)得：，，故此選項不符合題意；C：，∴，∴為鈍角三角形，故此選項符合題意；D：代入，得：，，故此選項不符合題意；故選：C．12．（22-23八年級上·安徽亳州·期末）當滿足條件（

）時，是直角三角形．A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的分類，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合各選項的條件分解即可．【詳解】解：A．∵，，∴，∴不是直角三角形，故不符合題意；B．∵，，∴，∴是直角三角形，故符合題意；C．∵，，∴∴不是直角三角形，故不符合題意；D．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴不是直角三角形，故不符合題意．故選B．題型四求三角形外角的度數(shù)13．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）等腰三角形的一個外角是，則頂角是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的定義，根據(jù)三角形外角定義即可求解相鄰的內(nèi)角為，即可得到答案．【詳解】解：∵等腰三角形的一個外角是，∴相鄰的內(nèi)角為，∴頂角是，故選：D．14．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）一個三角形中，三個內(nèi)角的比為，則該三角形最大的外角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求出各個內(nèi)角，再求解外角即可．【詳解】解：設(shè)三角形的內(nèi)角為別為，，，，解得，∴，，∴最小的內(nèi)角為，故這個三角形的最大的外角的度數(shù)是．故選：C．15．（21-22八年級上·安徽馬鞍山·期末）已知一個等腰三角形的一個外角為，則這個等腰三角形的底角為．【答案】或【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．因為沒有指明這個內(nèi)角是頂角還是底角，所以分兩情況進行分析，從而求得其底角的度數(shù)．【詳解】解：∵等腰三角形的一個外角為，∴與這個外角相鄰的角的度數(shù)為，∴當角是頂角時，其底角為；當角是底角時，底角為．故這個等腰三角形的底角等于或．故答案為：或．題型五由三角形的外角性質(zhì)求角度16．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．設(shè)，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：∵，，設(shè)，，，，，解得，故選：C．17．（24-25八年級上·安徽六安·期中）如圖，在中，，，則的度數(shù)是．【答案】/38度【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求解．【詳解】解：∵是的外角，∴．∵，，∴．故答案為：．18．（24-25八年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，在中，沿虛線剪去，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查三角形的外角與內(nèi)角，根據(jù)外角得到，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和計算即可．【詳解】解：如圖，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．19．（22-23八年級上·安徽淮北·期末）如圖，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)；過點，作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【詳解】解：過點，，作射線，如圖∵，∴∵，，，∴故答案為：題型六三角形的內(nèi)角和定理/外角性質(zhì)的應用20．（24-25八年級上·安徽宿州·期末）如圖，缺了一個角，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，由此即可求出答案．【詳解】解：，，，，故選：C．21．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）在下列條件中：①；②；③；④中，能確定是直角三角形的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的定義等知識點，掌握三角形的內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的判定方法以及三角形內(nèi)角和定理逐個判定即可．【詳解】解：①因為，則，即，所以是直角三角形；②因為，設(shè)，則，解得：，則，所以是直角三角形；③因為，即，則，所以是直角三角形；④因為，則，解得：，所以是直角三角形．所以能確定△ABC是直角三角形的有①②③④，共4個．故選：D．22．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，B是邊上一點，，，，求和的度數(shù)．【答案】，【分析】根據(jù)，結(jié)合，，得到，繼而得到，根據(jù)，得到，結(jié)合解答即可．本題考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角的和，熟練掌握三角形外角，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23．（24-25八年級上·河南信陽·期中）小明同學在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究：在一個支架的橫桿的點處用一根細繩懸掛一個小球，小球可以自由擺動，如圖，表示小球靜止時的位置．當小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從擺到位置，此時過點作于點，當小球擺到位置時，與恰好垂直（圖中的在同一平面上），過點作于點，測得，．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由得，又，，則，根據(jù)同角的余角相等即可求解；（）由（）得：，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得，最后由線段和差即可求解；本題考查了垂直的定義，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴；（2）解：由（）得：，，在和中，，∴，∴，∵，∴．24．（2024七年級上·安徽·專題練習）如圖，，兩處是我國在南海上的兩個觀測站，從處發(fā)現(xiàn)它的北偏西方向有一艘輪船，同時，從處發(fā)現(xiàn)這艘輪船在它的北偏西方向．(1)試在圖中確定這艘輪船的位置處．（保留畫圖痕跡）(2)求度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了方向角，三角形的內(nèi)角和，正確畫出方位角是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意正確畫出方向角，（2）利用三角形的內(nèi)角和求解即可．【詳解】（1）解：如圖，（2）根據(jù)題意，知，，則；題型一三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與平行線的綜合運用1．（2025·安徽合肥·一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力G方向的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知是重力與斜面形成的三角形的外角，從而可求得的度數(shù)．【詳解】解：重力的方向豎直向下，重力與水平方向夾角為，摩擦力的方向與斜面平行，，，故選：C．2．（2025·安徽六安·一模）如圖，將一直角三角形放于一對平行線上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了兩直線平行同位角相等，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，由對頂角的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意可知，∵，∴，∴，∴．故選：C．3．（2025·河南周口·一模）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應用，平行線的性質(zhì)．如圖，求出正六邊形的一個內(nèi)角和一個外角的度數(shù)，得到，，平行線的性質(zhì)，得到，三角形的外角的性質(zhì)，得到，進而求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖：

∵正六邊形的一個外角的度數(shù)為：，∴正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為：，即：，，∵一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，，∴，∴，∴；故選：C．4．（2025·安徽蚌埠·三模）圖1是某折疊椅的側(cè)面圖，圖2是該折疊椅抽象成的幾何圖形，椅面DE與地面平行，，，則椅子靠背與椅面夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等；由平行線的性質(zhì)得，由三角形外角的性質(zhì)得，即可求解；能熟練利用平行線的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵椅面與地面平行，，，，，；即椅子靠背與椅面夾角的度數(shù)為．故選：B．5．（23-24八年級上·四川達州·期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．(1)如圖1，若，點P在內(nèi)部，，求；(2)如圖2，將點P移到外部，則之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等的知識點．（1）過P點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可求解；【詳解】（1）【小問1詳解】解：如圖1，過P點作，

∵，∴，∴，，∵；（2）解：，證明如下：∵，∴，∵，∴；題型二三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與角平分線的綜合運用1．（24-25八年級下·安徽蚌埠·階段練習）如圖，正方形的邊長為2，連接，，平分交于點，則的長為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的定義．根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得，再由角平分線的定義可得，然后結(jié)合三角形外角的定義可得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∴．故選：B2．（2025·湖南·模擬預測）如圖，在五邊形中，，分別平分和，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵分別平分和，∴，∴，∴故選：B．3．（24-25八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在中，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了含角平分線的三角形內(nèi)角和定理問題，牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后由角平分線的概念得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，，∴，∴．故選：C．4．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，和相交于點，，，，分別平分和，若，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等；，設(shè)，則，由三角形的內(nèi)角和定理得，，再由角平分線及三角形的內(nèi)角和定理得，由三角形的外角性質(zhì)得，即可求解；能熟練利用三角形的內(nèi)角和定理進行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，，，又，，設(shè)，則，，，，分別平分和，，，，，，，解得：，，故答案為：．5（24-25八年級上·安徽淮北·期中）（1）問題引入：如圖①，在中，O是和的平分線的交點，若，則________；如圖②，，，，則________（用含的式子表示）（2）如圖③，，，，請猜想________（用含的式子表示），并說明理由．（3）類比研究：，分別是的外角，的n等分線，它們交于點O，，，，請猜想________．【答案】（1）；（2）（3）【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求得，根據(jù)角平分線的定義可求得，在中利用三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）方法同（1）；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得．【詳解】解：（1）∵，,∴，∵點O是和平分線的交點，∴，∵，∴；同法，在中，，故答案為：；；（2）理由如下：在中，；故答案為：；（3）類似（2），可得在中，；故答案為：．題型三三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與翻折的綜合運用1．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，，，點D是上的一點，將沿翻折得到，邊交于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，由等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，由，得，最后由三角形的內(nèi)角和定理即可求解，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵將沿翻折得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故選：．2．（24-25八年級上·安徽淮北·期末）如圖，在中，，將沿直線翻折，點落在點的位置，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖：由折疊的性質(zhì)可知：，根據(jù)外角的性質(zhì)可知：，∴，∴，故選：C．3．（2022·安徽·模擬預測）如圖，在中，的平分線與的平分線交于點．若將沿翻折，使得點與點重合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)角平分線的定義，推出，利用三角形內(nèi)角和定理得到，求得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：分別是的平分線，，．由翻折可知，，，∴，故選項AC都不正確；∴，故選項B不正確；故選項D正確；故選：D．4．（23-24八年級上·安徽亳州·期中）如圖，，，點、分別為、上的兩點，將沿翻折得到，交于點，若，，則．

【答案】/度【分析】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識；連接，先證明出，得，從而求出的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和即可求出答案．【詳解】如圖，連接，

是的外角，，是的外角，，，將沿翻折得到，，，，，，，，，故答案為：．5．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）把三角形紙片沿折疊．(1)如圖①，當點A落在四邊形內(nèi)部時，，，有怎樣的等量關(guān)系？寫出這個關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，當點A落在四邊形外部時，，，有怎樣的等量關(guān)系？寫出這個關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理翻折的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，根據(jù)翻折以及平角的意義可得，，，，，整理得，；（2）解：，理由如下：如圖：根據(jù)翻折以及平角的意義可得，，，，，整理得，．題型四三角形內(nèi)角和與三角板的綜合運用1．（2025·山東菏澤·一模）一副三角板按如圖方式擺放，，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：，，，故選：D．2．（2025·安徽宿州·三模）如圖，直線，把一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式放置，點在上，點，在上，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】該題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，結(jié)合平行線性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，，．，，即，故選：B．3．（24-25七年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖，將一副三角板的直角頂點重合，其中，，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題主要考查了互余定義，互補定義，平行線的性質(zhì)定理和判定定理等知識點，熟練靈活應用以上知識點是解題的關(guān)鍵．利用互余定義，互補定義，平行線的性質(zhì)定理和判定定理即可解答此題．【詳解】解：A、,（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）故該選項正確；B、如圖所示，延長，，，又，，故該選項正確；C、故該選項正確；D、由圖可得的對頂角∴未知∴不可得故該選項錯誤，符合題意，故選：D．4．（23-24八年級上·江西吉安·期末）如圖，將一個直角三角板放置在銳角三角形上，使得該三角板的兩條直角邊恰好分別經(jīng)過點，若，則．【答案】/40度【分析】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余的關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系得到，由此即可得到答案．【詳解】如圖所示，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．5．（22-23八年級下·安徽宿州·期中）小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．

(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；②由三角板可知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：；（2）解：①∵，，∴；②∵，，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．題型五由三角形內(nèi)角和定理（或外角性質(zhì)）探究角度之間的關(guān)系1．（23-24七年級下·安徽蕪湖·期中）已知，請完成以下問題：(1)如圖1，的度數(shù)之間的等量關(guān)系是___________；(2)如圖2，，則___________．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線利用平行線的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）如圖2中，作，，結(jié)論，利用平行線的性質(zhì)即可證明．（2）如圖3中，作，，與交于點，利用平行線的性質(zhì)即可解決．【詳解】（1）如圖2中，如圖2中，作，，，，，，，，，，即．故答案為．（2）如圖3中，作，，與交于點．，，，，，，，，，，．故答案為2．（15-16八年級上·安徽蚌埠·期中）如圖①，已知線段、相交于點O，連接、，我們把這種圖形稱之為“8字型”，試解答下列問題：

(1)在圖①中寫出、、、之間的等量關(guān)系為________．(2)如圖②，和的平分線和相交于點P，并與、分別交于點M、N．①若，，求的度數(shù)；②探究與、之間有何等量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)①；②；理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出與，再根據(jù)對頂角相等可得，然后整理即可得解；（2）①根據(jù)（1）的關(guān)系式求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解；②根據(jù)“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根據(jù)角平分線的定義可得，然后整理即可得證．【詳解】（1）解：，，又∵，；（2）解：①，，，，、分別是和的角平分線，，，又，；②；理由如下：根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，，，∴，，、分別是和的角平分線，，，，整理得，，．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，對頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．3．（21-22八年級上·安徽合肥·期中）如圖1，在中，、是、的平分線；

(1)填寫下面的表格的度數(shù)的度數(shù)(2)試猜想與之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖2，的高、交于O點，試說明圖中與的關(guān)系．【答案】(1)，，(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義進行計算即可；（2）由（1）中的求法，進行計算即可；（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和以及平角的定義進行計算即可．【詳解】（1）解：當時，∵、是、的平分線，∴，，在中，；當時，；當時，即，解得；故答案為：，，；補充表格如下：的度數(shù)的度數(shù)（2）解：，理由如下：∵、是、的平分線，∴，，在中，；（3）解：∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，∵、是的高，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的應用，三角形高線，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形內(nèi)角和為．題型六與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的規(guī)律探究1．（24-25八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則（

）度．

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先分別對運用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．【詳解】解：如圖：

∵，，∴設(shè)，，則，，由三角形的外角的性質(zhì)得：，，∴，如圖：

同理可求：，∴，……，∴，即，故選：A．2．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，已知，在射線、上分別取點，連接，在、上分別取點、，使，連接，…，按此規(guī)律，記，，…，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，，進而求得，進而求解即可【詳解】解：，，，，，，，，故，，，故答案為：3．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，在四邊形中，的平分線與外角的平分線交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

①若，則；②若，則；③若，則．(1)根據(jù)上述規(guī)律，若．則______．(2)猜想：的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、外角的定義、多邊形內(nèi)角和問題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180度，四邊形內(nèi)角和為360度．（1）根據(jù)題目中已知式子找出規(guī)律，即可求解；（2）先根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和360度，推出，進而可得．【詳解】（1）解：由題意知：若，則，故答案為：；（2）解：；理由如下：∵分別是，的平分線，∴，∴，∴，∵在四邊形中，，∴．1．（24-25七年級下·安徽·期中）【問題提出】小穎同學在學習中自主探究以下問題，請你解答她提出的問題：(1)如圖1所示，已知，點為，之間一點，連接，，得到．請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)【類比遷移】如圖2所示，已知，點為之間一點，和的平分線相交于點，若，求的度數(shù)；(3)【變式挑戰(zhàn)】小穎結(jié)合角平分線的知識將問題進行深入探究，如圖3所示，已知：，點的位置移到上方，點在延長線上，且平分與的平分線相交于點，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)【分析】（1）如圖：過E作，結(jié)合，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差以及等量代換即可解答；（2）如圖：延長交于點G，利用平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角的平分線定義，四邊形內(nèi)角和定理，解答即可．（3）如圖：延長交于點M，然后利用平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖：過E作，∵，∴，∴，，∵，∴．（2）解：如圖：延長交于點G，∵，∴，∵和的平分線相交于點，∴．∵，，∴，∴．（3）解：，理由如下：如圖：延長交于點M，∵，∴，∵分與的平分線相交于點，∴，，設(shè)，的交點為N，∵，且，，∴，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、對等角相等、四邊形內(nèi)角和定理、角的平分線等知識點，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，點E，F(xiàn)分別在邊和上，連接，將沿著直線折疊，使得點A與點重合，連接，，平分，平分．(1)若，求的度數(shù)：(2)若，，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義等知識，熟練掌握疏導他對于空間解答本題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理求出，由角平分線定義得，再由三角形內(nèi)角和定理可求出；（2）設(shè)，則，求出根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，，且又平分，平分，∴∴；（2）解：設(shè)，則，由折疊得，∴∴而∵∴∵，∴∴∴∴．3．（24-25八年級上·安徽池州·階段練習）在一個三角形中，如果一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“三倍角三角形”，例如，三個內(nèi)角分別為，，的三角形是“三倍角三角形”．(1)中，，，是“三倍角三角形”嗎？為什么？(2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小內(nèi)角的度數(shù)．【答案】(1)是，見解析(2)或【分析】本題考查新定義問題，涉及三角形內(nèi)角和定理，讀懂題意，理解“三倍角三角形”是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意，由定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理分三種情況求解即可得到答案．【詳解】（1）解：是“三倍角三角形”，理由如下：∵，，∴，∴是“三倍角三角形”．（2）∵，∴，設(shè)最小的角為，①當時，，滿足題意；②最小角為時，另外兩個角為，，滿足題意；③當時