第9講概率初步知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件的概念在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件叫必然事件。在一定條件下，一定不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件概率的概念及意義一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率。①事件A的概率是一個(gè)大于等于0，且小于等于1的數(shù)，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機(jī)事件)＜1.②概率是事件在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡(jiǎn)單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.【典例】1.下列問(wèn)題哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機(jī)事件？（1）太陽(yáng)從西邊落山；（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是實(shí)數(shù)）；（3）水往低處流；（4）三個(gè)人性別各不相同；（5）一元二次方程x2+2x+3=0無(wú)實(shí)數(shù)解；（6）經(jīng)過(guò)有信號(hào)燈的十字路口，遇見(jiàn)紅燈．【解析】解：（1）太陽(yáng)從西邊落山、（3）水往低處流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0無(wú)實(shí)數(shù)解是必然事件；（2）a2+b2=﹣1、（4）三個(gè)人性別各不相同是不可能事件，（6）經(jīng)過(guò)有信號(hào)燈的十字路口，遇見(jiàn)紅燈是隨機(jī)事件．2.在一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、外形一模一樣的5個(gè)紅球、3個(gè)籃球和2個(gè)白球，它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了，請(qǐng)判斷以下是不確定、不可能事件、還是必然事件．（1）從口袋中一次任意取出一個(gè)球，是白球；（2）從口袋中一次任取5個(gè)球，全是籃球；（3）從口袋中一次任取5個(gè)球，只有籃球和白球，沒(méi)有紅球；（4）從口袋中一次任意取出6個(gè)球，恰好紅、藍(lán)、白三種顏色的球都齊了．【解析】解：（1）可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是不確定事件；（2）一定不會(huì)發(fā)生，是不可能事件；（3）可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是不確定事件；（4）可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是不確定事件．3.擲一個(gè)骰子，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)，求下列事件的概率：（1）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；（2）點(diǎn)數(shù)大于2且小于5．【解析】擲一個(gè)骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6，共6種．這些點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相等．（1）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)有3種可能，即點(diǎn)數(shù)為2，4，6，∴P（點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)）==（2）點(diǎn)數(shù)大于2且小于5有2種可能，即點(diǎn)數(shù)為3，4，4.已知一個(gè)口袋中裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)白球，4個(gè)黑球．（1）求從中隨機(jī)抽取出一個(gè)黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x個(gè)白球和y個(gè)黑球，從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：（1）∵一個(gè)口袋中裝有7個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)白球，4個(gè)黑球，∴從中隨機(jī)抽取出一個(gè)黑球的概率是：；（2）∵往口袋中再放入x個(gè)白球和y個(gè)黑球，從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是，∴=，則y=3x+5．【方法總結(jié)】要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類(lèi)型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小可能不同.①事件A的概率是一個(gè)大于等于0，且小于等于1的數(shù)，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機(jī)事件)＜1.②概率是事件在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡(jiǎn)單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經(jīng)常的.【隨堂練習(xí)】1．如圖，超市舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)：凡一次性購(gòu)物滿300元者即可獲得一次搖獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，搖獎(jiǎng)機(jī)是一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤(pán)，被分成16等分，指針?lè)謩e指向紅、黃、藍(lán)色區(qū)域，分獲一、二、三獲獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金依次為60、50、40元．（1）分別計(jì)算獲一、二、三等獎(jiǎng)的概率．（2）老李一次性購(gòu)物滿了300元，搖獎(jiǎng)一次，獲獎(jiǎng)的概率是多少？請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下老李搖獎(jiǎng)結(jié)果會(huì)有哪幾種情況？【解答】解：（1）整個(gè)圓周被分成了16份，紅色為1份，∴獲得一等獎(jiǎng)的概率為：；整個(gè)圓周被分成了16份，黃色為2份，∴獲得二等獎(jiǎng)的概率為：=；整個(gè)圓周被分成了16份，藍(lán)色為4份，∴獲得三等獎(jiǎng)的概率為=；（2）∵共分成了16份，其中有獎(jiǎng)的有1+2+4=7份，∴P（獲獎(jiǎng)）=；老李搖獎(jiǎng)共有四種結(jié)果，一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、不中獎(jiǎng)．2．布袋中放有x只白球、y只黃球、2只紅球，它們除顏色外其他都相同，如果從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是．（1）試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=6時(shí)，求隨機(jī)地取出一只黃球的概率P．【解答】解：（1）因?yàn)椴即蟹庞衳只白球、y只黃球、2只紅球，且紅球的概率是．所以可得：y=14﹣x（2）把x=6，代入y=14﹣6=8，所以隨機(jī)地取出一只黃球的概率P==3．一只不透明的袋子中裝有a個(gè)白球，b個(gè)黃球和10個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率是40%；（1）當(dāng)a=8時(shí)，求摸到白球的概率；（2）若摸到黃球的概率是摸到白球的兩倍，求a，b的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得=40%，解得b=7，所以摸到白球的概率==；（2）根據(jù)題意得=40%，化簡(jiǎn)得a+b=15，而b=2a，所以a+2a=15，解得a=5，所以b=10，即a、b的值分別為5，10．知識(shí)點(diǎn)2用列舉法求概率用列表法和樹(shù)狀圖法，求事件的概率1.列表法：當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，為了不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果，我們采用列表法來(lái)求出某事件的概率．2.樹(shù)狀圖法：當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖法來(lái)求出某事件的概率．樹(shù)形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹(shù)的樹(shù)丫形式，最末端的樹(shù)丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果．【典例】1.一個(gè)不透明的口袋中有三個(gè)小球，上面分別標(biāo)有字母A，B，C，除所標(biāo)字母不同外，其它完全相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下字母后放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求該同學(xué)兩次摸出的小球所標(biāo)字母相同的概率．【解析】解：列表得：由列表可知可能出現(xiàn)的結(jié)果共9種，其中兩次摸出的小球所標(biāo)字母相同的情況數(shù)有3種，所以該同學(xué)兩次摸出的小球所標(biāo)字母相同的概率==．2.如圖，在一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)中，指針位置固定，三個(gè)扇形的面積都相等，且分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．（1）小明轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字是奇數(shù)的概率為；（2）小明先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字；接著再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，再次記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字，求這兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法求解）．【解析】解：（1）∵在標(biāo)有數(shù)字1、2、3的3個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中，奇數(shù)的有1、3這2個(gè)，∴指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字是奇數(shù)的概率為，故答案為：；（2）列表如下：由表可知，所有等可能的情況數(shù)為9種，其中這兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)的有3種，所以這兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為=．3.三個(gè)小球上分別標(biāo)有2，0，1三個(gè)數(shù)，這三個(gè)球除了標(biāo)的數(shù)不同外，其余均相同、將小球放入一個(gè)不透明的布袋中攪勻.（1）從布袋中任意摸出一個(gè)小球，將小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)記下，然后將小球放回袋中，攪勻后再任意摸出一個(gè)小球，再記下小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)，求兩次記下之?dāng)?shù)的和大于0的概率.(請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”的方法給出分析過(guò)程，并求出結(jié)果)（2）從布袋中任意摸出一個(gè)小球，將小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)記下，然后將小球放回袋中，攪勻后再任意摸出一個(gè)小球，將小球上所標(biāo)之?dāng)?shù)再記下，…，這樣一共摸了13次，若記下的13個(gè)數(shù)之和等于4，平方和等于14，求：這13次摸球中，摸到球上所標(biāo)之?dāng)?shù)是0的次數(shù).【解析】（1）解：根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖如解圖：所有等可能的情況數(shù)有9種，其中兩次記下之?dāng)?shù)的和大于0的情況有3種，（2）解：設(shè)摸出2、0、1的次數(shù)分別為x、y、z，③②得，6x=18，解得x=3把x=3代入②得，2×3+z=4，解得z=2，把x=3，z=2代入①得，y=8，故摸到球上所標(biāo)之?dāng)?shù)是0的次數(shù)為8.【方法總結(jié)】求概率應(yīng)掌握以下方法：3.判斷游戲的公平性：判斷游戲的公平性是通過(guò)概率來(lái)判斷的，在條件相等的前提下，如果對(duì)于參加游戲的每一個(gè)人獲勝的概率相等，則游戲公平，否則不公平.4.在重復(fù)實(shí)驗(yàn)計(jì)算概率的題中，第一次取出后放回，然后第二次再取出計(jì)算概率，做這類(lèi)考題時(shí)要注意兩次取得的結(jié)果總數(shù)是一致的，如果不放回，那么第二次取出的結(jié)果的總數(shù)比第一次少一種情況【隨堂練習(xí)】1．為了提高學(xué)生書(shū)水平．我市舉辦了首屆“漢字聽(tīng)寫(xiě)大賽”，經(jīng)選拔后有50名學(xué)生參加決賽，這50名學(xué)生同時(shí)聽(tīng)寫(xiě)50個(gè)漢字，若每正確聽(tīng)寫(xiě)出一個(gè)漢字得1分．根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖：組別成績(jī)x分頻數(shù)（人數(shù)）第1組25≤x＜304第2組30≤x＜358第3組35≤x＜4016第4組40≤x＜45a第5組45≤x＜5010請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題：（1）求表中a的值，并把頻數(shù)分布方圖補(bǔ)充完整；（2）第5組10名同學(xué)中，有4名男同學(xué)，現(xiàn)將這10名同學(xué)平均分成兩組進(jìn)行對(duì)抗練習(xí)，且4名男同學(xué)每組分兩人，求小宇與小強(qiáng)兩名男同學(xué)能分在同一組的概率．【解答】解：（1）表中a的值是：a=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12；根據(jù)題意畫(huà)圖如下：（2）用A表示小宇、B表示小強(qiáng)，C、D表示其他兩名同學(xué)，根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：從上圖可知共有12種等可能情況，小宇與小強(qiáng)兩名男同學(xué)分在同一組的情況有4種，則小宇與小強(qiáng)兩名男同學(xué)分在同一組的概率是P==．2．將正面分別寫(xiě)著數(shù)字1，2，3的三張卡片（注：這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地、顏色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，這三張卡片看上去無(wú)任何差別）洗勻后，背面向上放在桌面上，從中先隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為x，再把剩下的兩張卡片洗勻后，背面向上放在桌面上，再?gòu)倪@兩張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為y．（1）用列表法或樹(shù)狀圖法（樹(shù)狀圖也稱(chēng)樹(shù)形圖）中的一種方法，寫(xiě)出（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．（2）求取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：由樹(shù)狀圖知共有6種等可能的結(jié)果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）∵共有6種等可能結(jié)果，其中數(shù)字之和為偶數(shù)的有2種結(jié)果，∴取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P==．3．合肥合家福超市為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一種促銷(xiāo)活動(dòng)：在三等分的轉(zhuǎn)盤(pán)上依次標(biāo)有“合”，“家”，“?！弊謽?，購(gòu)物每滿200元可以轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1次，轉(zhuǎn)盤(pán)停下后，指針?biāo)竻^(qū)域是“?！睍r(shí)，便可得到30元購(gòu)物券（指針落在分界線上不計(jì)次數(shù)，可重新轉(zhuǎn)動(dòng)一次），一個(gè)顧客剛好消費(fèi)400元，并參加促銷(xiāo)活動(dòng)，轉(zhuǎn)了2次轉(zhuǎn)盤(pán)．（1）求出該顧客可能獲得購(gòu)物券的最高金額和最低金額；（2）請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出該顧客獲購(gòu)物券金額不低于30元的概率．【解答】解：（1）根據(jù)題意，該顧客可能獲得購(gòu)物券的最高金額為60元、最低金額為0元；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖知，共有9種等可能結(jié)果，其中該顧客獲購(gòu)物券金額不低于30元的有5種結(jié)果，所以該顧客獲購(gòu)物券金額不低于30元的概率為．知識(shí)點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率用頻率估計(jì)概率實(shí)際上，從長(zhǎng)期實(shí)踐中，人們觀察到，對(duì)一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)時(shí)間出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定的數(shù)附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性．因此，我們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率【典例】1.在一個(gè)不透明的口袋里裝有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近；（精確到0.1）（2）試估算口袋中白球有多少個(gè)？（3）若從中先摸出一球，放回后再摸出一球，請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法（只選其中一種），求兩次摸到的球顏色相同的概率．.【解析】解：（1）由題可得，當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率接近0.5；故答案為：0.5；（2）由（1）摸到白球的概率為0.5，所以可估計(jì)口袋中白種顏色的球的個(gè)數(shù)=4×0.5=2（個(gè)）；（3）列表得：由列表可得，共有16種等可能結(jié)果，其中兩個(gè)球顏色相同的有4種可能．∴P（顏色相同）==．2.某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，并規(guī)定：顧客購(gòu)物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（1）計(jì)算并完成表格：（2）請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近（精確到0.1）（3）假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，你獲得鉛筆的概率約是，理由是：.【解析】解：（1）填表如下：（2）當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近（67+145+357+552+704+1396）÷（100+200+500+800+1000+2000）≈0.7，故答案為：0.7；（3）獲得鉛筆的概率約是0.7，理由是：用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．3.在一個(gè)不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個(gè)，小穎做摸球?qū)嶒?yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近；（精確到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=；（3）試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少只？【解析】解：（1）∵摸到白球的頻率為0.6，∴當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.6．（2）∵摸到白球的頻率為0.6，∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．（3）盒子里黑、白兩種顏色的球各有40﹣24=16，40×0.6=24．【方法總結(jié)】1．當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率．2．利用頻率估計(jì)概率的數(shù)學(xué)依據(jù)是大數(shù)定律：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個(gè)數(shù)值P附近擺動(dòng)．這個(gè)穩(wěn)定值P，叫做隨機(jī)事件A的概率，并記為P(A)=P．3．利用頻率估計(jì)出的概率是近似值.【隨堂練習(xí)】1．盒中有若干枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無(wú)其他差別，現(xiàn)讓學(xué)生進(jìn)行摸棋試驗(yàn)：每次摸出一枚棋，記錄顏色后放回?fù)u勻．重復(fù)進(jìn)行這樣的試驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù)：摸棋的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑棋的次數(shù)m245176124201250摸到黑棋的頻率（精確到0.001）0.2400.2550.2530.2480.2510.250（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____；（精確到0.01）（2）若盒中黑棋與白棋共有4枚，某同學(xué)一次摸出兩枚棋，請(qǐng)計(jì)算這兩枚棋顏色不同的概率，并說(shuō)明理由【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，故答案為：0.25；（2）由（1）可知，黑棋的個(gè)數(shù)為4×0.25=1，則白棋子的個(gè)數(shù)為3，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由表可知，所有等可能結(jié)果共有12種情況，其中這兩枚棋顏色不同的有6種結(jié)果，所以這兩枚棋顏色不同的概率為．2．“東臺(tái)西溪半程馬拉松”的賽事共有兩項(xiàng)：A、“半程馬拉松”、B、“歡樂(lè)跑”．小明參加了該項(xiàng)賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會(huì)隨機(jī)將志愿者分配到兩個(gè)項(xiàng)目組．（1）小明被分配到“半程馬拉松”項(xiàng)目組的概率為_(kāi)___．（2）為估算本次賽事參加“半程馬拉松”的人數(shù)，小明對(duì)部分參賽選手作如下調(diào)查：調(diào)查總?cè)藬?shù)2050100200500參加“半程馬拉松”人數(shù)153372139356參加“半程馬拉松”頻率0.7500.6600.7200.6950.712請(qǐng)估算本次賽事參加“半程馬拉松”人數(shù)的概率為_(kāi)___．（精確到0.1）②若本次參賽選手大約有3000人，請(qǐng)你估計(jì)參加“半程馬拉松”的人數(shù)是多少？【解答】解：（1）∵小明參加了該項(xiàng)賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會(huì)隨機(jī)將志愿者分配到兩個(gè)項(xiàng)目組，∴小明被分配到“半程馬拉松”項(xiàng)目組的概率為：，故答案為：；（2）①由表格中數(shù)據(jù)可得：本次賽事參加“半程馬拉松”人數(shù)的概率為：0.7；故答案為：0.7；參加“迷你馬拉松”的人數(shù)是：30000×0.7=2100（人）．3．4件同型號(hào)的產(chǎn)品中，有l(wèi)件不合格品和3件合格品．（1）從這4件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè)，不放回，再隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè)．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求兩次抽到的都是合格品的概率；（解答時(shí)可用A表示l件不合格品，用B、C、D分別表示3件合格品）（2）在這4件產(chǎn)品中加入x件合格品后，進(jìn)行如下試驗(yàn)：隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢側(cè)，然后放回，多次重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，則可以推算出x的值大約是多少？【解答】解：（1）共有12種情況，抽到的都是合格品的情況有6種，P（抽到的都是合格品）==；（2）∵大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．綜合運(yùn)用：概率初步1.有100張卡片（從1號(hào)到100號(hào)），從中任取1張，計(jì)算：（1）取到卡片號(hào)是7的倍數(shù)的情況有多少種？（2）取到卡片號(hào)是7的倍數(shù)的概率是多少？【解析】解：從1到100的數(shù)字中，能被7整除的數(shù)為{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}共有14個(gè)數(shù)，（1）取到卡片號(hào)是7的倍數(shù)的情況有14種；2.在不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個(gè)，黃球有1個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是白球的概率為．（1）試求袋中籃球的個(gè)數(shù)；（2）第一次任意摸出一個(gè)球（不放回），請(qǐng)畫(huà)出樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩次摸到都是白球的概率．【解析】解：（1）設(shè)籃球個(gè)數(shù)為x個(gè)，則由題意得：=，解得x=1，即籃球有1個(gè)．（2）樹(shù)狀圖如下：所有可能結(jié)果共有12種，它們發(fā)生的可能性相等，其中兩次摸到都是白球的有2種，3.甲、乙兩個(gè)不透明的口袋，甲口袋中裝有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球，乙口袋中裝有2個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字4，5的小球，它們的形狀、大小完全相同，現(xiàn)隨機(jī)從甲口袋中摸出一個(gè)小球記下數(shù)字，再?gòu)囊铱诖忻鲆粋€(gè)小球記下數(shù)字．（1）請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法（只選其中一種），表示出兩次所得數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；（2）求出兩個(gè)數(shù)字之積能被2整除的概率．【解析】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖為：（2）由樹(shù)狀圖可知，共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)數(shù)字之積能被2整除的結(jié)果數(shù)為4，所以?xún)蓚€(gè)數(shù)字之積能被2整除的概率為=．4.有4個(gè)完全一樣的小球，上面分別標(biāo)著數(shù)字，2，1，﹣3，﹣4．現(xiàn)隨機(jī)摸出一個(gè)小球后不放回，將該小球上的數(shù)字記為m，再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，將小球上的數(shù)字記為n．（1）請(qǐng)列表或畫(huà)出樹(shù)狀圖并寫(xiě)出（m，n）所有可能的結(jié)果；（2）求所選出的m，n能使一次函數(shù)y=mx+n的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限的概率．【解析】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：則（m，n）共有12種等可能的結(jié)果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；（2）∵所選出的m，n能使一次函數(shù)y=mx+n的圖像經(jīng)過(guò)第第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），∴所選出的m，n能使一次函數(shù)y=mx+n的圖像經(jīng)過(guò)第第二、三、四象限的概率==．5.小明和小剛用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各轉(zhuǎn)一次做“配紫色”游戲，配成紫色（一紅一藍(lán)），小明得1分，否則小剛得1分．（1）這個(gè)游戲公平嗎？為什么？（2）如果不公平，如何修改規(guī)則才能使該游戲?qū)﹄p方公平？【解析】解：（1）列表如下：共有40種等可能的結(jié)果數(shù)，其中配成紫色的占16種，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各轉(zhuǎn)一次小明得分=×1=，小剛得分==×1=，所以這個(gè)游戲不公平．（2）游戲規(guī)則為：兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各轉(zhuǎn)一次做“配紫色”