第4章相似三角形

1.比與比例線段（1）比可以寫(xiě)成a：b=m：n，或?qū)懗蒩b（2）在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).（3）如果比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或ab=b2.比例的基本性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：ab=cd?(bd≠（2）推論：a（3）合比性質(zhì)：ab=cd合分比性質(zhì)：a（4）等比性質(zhì)：如果ab=c（5）如圖，點(diǎn)B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足BCAB=ABAC（此時(shí)線段AB是線段AC,BC的比例中項(xiàng)），那么稱點(diǎn)B為線段AC的3.平行線分線段成比例（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段.（2）示例：如圖，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例的有ABBC=或ABAC=或BCAB=或（3）平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，若DE∥BC，則有ADAB=,ADBD=4.相似三角形的定義（1）定義：三個(gè)角對(duì)應(yīng)，三條邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為.特別的：三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于.（2）符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大宇母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，如△ABC∽△DEF，表示頂點(diǎn)A與D，B與E，C與F分別對(duì)應(yīng)；（3）相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.5.相似常見(jiàn)的基本圖形：圖①和圖②分別為“A”字型圖和“8”字型圖，條件是，基本結(jié)論是；圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結(jié)論是△ABC∽△BDC∽△ADB.同時(shí)也是“母子型”圖的變形圖。圖⑦圖⑧圖⑦是“旋轉(zhuǎn)型”圖，衍生結(jié)論是連結(jié)BD與CE后，∽；圖⑧是“一線三等角”圖，條件是∠A==，這里比較特殊，他們都是直角。6.相似三角形的判定①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．②分別相等的兩個(gè)三角形相似．③兩邊成比例且的兩個(gè)三角形相似；④三邊的兩個(gè)三角形相似；7.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊的比.（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于.（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于.（4）相似三角形面積比等于.（5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則.8.位似圖形的性質(zhì)1)位似圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交與一點(diǎn).2）位似圖形的對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等.3)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質(zhì).5）一對(duì)對(duì)應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個(gè)三角形相似9.位似變換的坐標(biāo)特征：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫(huà)出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為.一、比與比例線段1.比例與比例線段的性質(zhì)錯(cuò)誤：在根據(jù)比例的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)不能用合適的推論進(jìn)行推導(dǎo)。注意：一般的，計(jì)算時(shí)常用ab例1已知3x=2y，則x2.分割點(diǎn)的分類討論錯(cuò)誤：已知線段長(zhǎng)，求分割點(diǎn)時(shí)不注意條件，也沒(méi)有進(jìn)行分類的討論。注意：一條線段的分割點(diǎn)有兩個(gè)，必要時(shí)需要進(jìn)行分類討論。例2定義：頂角為36°的等腰三角形叫做“三角形”，它的一個(gè)底角的平分線與腰的交點(diǎn)即為這條腰的分割點(diǎn)．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=18°，AC=2，點(diǎn)M是邊AC上一點(diǎn)，若△二、相似三角形3.相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例錯(cuò)誤：在列對(duì)應(yīng)邊成比例的等量關(guān)系時(shí)，沒(méi)有將對(duì)應(yīng)邊列在一起，或在列比例的時(shí)候順序調(diào)換。注意：在列比例時(shí)，要明確哪個(gè)三角形的邊在前，哪個(gè)三角形的邊在后。尤其當(dāng)涉及相似比時(shí)，注意是哪個(gè)三角形的邊比上哪個(gè)三角形的邊，不能隨意調(diào)換順序。例3如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，D是AB邊上的一點(diǎn)，若△4.兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似錯(cuò)誤：在進(jìn)行三角形相似的判定采用兩邊一夾角時(shí)，用隨意的角作為判定依據(jù)。注意：用兩邊一夾角作為三角形相似的判定依據(jù)時(shí)，必須兩邊所夾的角相等，而不是旁角。例4如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，且A(1)求證：△ABC(2)若∠BCD=150°，求5.三角形中的多對(duì)相似三角形錯(cuò)誤：在三角形中，只關(guān)注比較明顯的一對(duì)相似三角形。注意：相似三角形比全等三角形容易構(gòu)成，只要滿足兩個(gè)三角形中兩組對(duì)應(yīng)角相等即可。尤其在特殊三角形中，簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)就能構(gòu)成多對(duì)相似三角形，比如以下：①①CBAD②ABCDEP③ABCDE（1）如圖①△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此有△ABC∽△CBD∽△ACD;（2）如圖②△ABC中，BD和CE分別是邊AC與AB上的高（也可不是高線，只要滿足∠ABD=∠ACE，或滿足AE:AC=AD:AB即可），相交于點(diǎn)P，因此：△ABD∽△ACE；△EPB∽△DPC；△ADE∽△ABC，△PDE∽△PCB。（3）如圖③△ABC中△ADE∽△ABC,連結(jié)BD和CE，可得到△ABD∽△ACE.例5【問(wèn)題背景】（1）已知D、E分別是△ABC的AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，則△ABC∽△ADE，把△ADE繞著A【遷移應(yīng)用】（2）如圖3，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=15,AC=5,D、①如圖4，把Rt△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，直接旋轉(zhuǎn)過(guò)程中寫(xiě)出線段CE和BD的始終存在的位置和數(shù)量關(guān)系：②把Rt△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖5，連接CD和CE，取CD中點(diǎn)N，連接MN，若CE=3【創(chuàng)新應(yīng)用】（3）如圖6，AB=AC=AE=25,BC=4,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，將△ADE繞著點(diǎn)A6.平行線題境下的相似三角形錯(cuò)誤：不熟悉常見(jiàn)的相似三角形的結(jié)構(gòu)，在平行線題境下不能找到相似三角形解決問(wèn)題。注意：“A”字型和“8”字型模型的基礎(chǔ)模型都是建立在平行線上的，因此在三角形中，關(guān)于其中一邊作平行線，一定會(huì)有相似三角形構(gòu)成。而在平行四邊形中，由于對(duì)邊平行，因此只要在對(duì)邊內(nèi)外作兩條相交的線段，就能構(gòu)成相似三角形。①①ABCDE②ABCDE③ABCDEF④ABCFED（1）圖①為△ABC中平行線構(gòu)成的“A”字型相似（DE∥BC），即：△ADE∽△ABC；（2）圖②為△ABC中平行線構(gòu)成的“8”字型相似（CD∥AB），即：△ABE∽△CDE；（3）圖③為□ABCD中相交線構(gòu)成的“8”字型相似（AC與BE相交于點(diǎn)F），即：△ABF∽△CEF；（4）圖④為□ABCD中相交線構(gòu)成的“A”字型相似（AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F），即：△FCE∽△FBA；例6?ABCD中，AE:EB=2:3，DE交(1)求證：△AEF(2)AF=6，求AC例7?ABCD中，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠(1)求證：△BDF(2)若AD=9，BD=357.常見(jiàn)的相似三角形的模型錯(cuò)誤：不同的題境下有不同的相似三角形結(jié)構(gòu)。不熟悉常見(jiàn)的相似三角形的模型，對(duì)于解決問(wèn)題，甚至找到解題目標(biāo)都有困難。注意：熟悉常見(jiàn)的相似三角形模型，尤其是旋轉(zhuǎn)型多對(duì)相似三角形、母子型相似三角形和一線三等角模型。（其特點(diǎn)見(jiàn)知識(shí)清單第5條）例8如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，BC=4，若將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在BD上，連接DD′例9已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，交(1)求證：△ACH(2)求證：AE?例10（1）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，連接①求證：△ABE②求證：AF=（2）如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AB=2，①判斷AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求DF的長(zhǎng)．8.通過(guò)對(duì)應(yīng)邊關(guān)系進(jìn)行相似三角形存在性問(wèn)題的分類討論錯(cuò)誤：在不確定對(duì)應(yīng)關(guān)系的情況下，兩個(gè)三角形相似時(shí)，確定相似三角形種數(shù)和求滿足相似的線段長(zhǎng)時(shí)，沒(méi)有進(jìn)行探究討論。注意：在對(duì)應(yīng)邊關(guān)系不確定的時(shí)候（尤其是關(guān)于不確定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)時(shí)），如果兩個(gè)三角形相似，不同的邊對(duì)邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系要進(jìn)行分類的討論，一般最多討論3種情況，至少2種情況。例11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A(1)求過(guò)點(diǎn)A,(2)過(guò)點(diǎn)B作直線BD，使BD⊥AB，與x軸相交于點(diǎn)D，求點(diǎn)(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)P、Q分別是線段AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問(wèn)是否存在這樣的m使得△APQ例12如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+mx+1的頂點(diǎn)為D，與y軸相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線交x(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)分別求點(diǎn)B，E的坐標(biāo)；(3)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得以P，B，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，直接寫(xiě)出點(diǎn)P9.結(jié)合圓的性質(zhì)判定圓內(nèi)的相似三角形錯(cuò)誤：在圓中無(wú)法根據(jù)其性質(zhì)推斷對(duì)應(yīng)角相等，從而無(wú)法證明相似三角形。注意：圓的等弧的概念，垂徑定理，圓心角的性質(zhì)和圓周角的性質(zhì)都能證明圓內(nèi)角相等，再結(jié)合其他已知條件，就能證明兩個(gè)三角形相似，為求圓內(nèi)線段長(zhǎng)提供列式的依據(jù)。例13如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D為AB下方圓上一點(diǎn)，點(diǎn)C為ACD的中點(diǎn)，連接CA(1)求證：∠BDC(2)連接AD，并且過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)E．若OH=5，AD三、相似三角形的性質(zhì)1.充分利用相似三角形對(duì)應(yīng)高線之比等于相似比錯(cuò)誤：不能只記得邊之比等于相似比。注意：相似三角形對(duì)應(yīng)高線之比也等于相似比，常用于當(dāng)三角形內(nèi)接矩形時(shí)。例14如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊BC=4米，高AD=2米，現(xiàn)要用它裁出一個(gè)矩形工件PQMN，使矩形的一邊在BC上，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．設(shè)PN=(1)用含x的代數(shù)式表示AE=米，PQ=米，S=平方米，其中x(2)作出該函數(shù)的圖象．①列表xS②描點(diǎn)，連線(3)觀察圖象可知，當(dāng)x=米時(shí)，S的最大值為2.相似三角形實(shí)際應(yīng)用中的反射問(wèn)題錯(cuò)誤：不知道利用反射問(wèn)題中的入射角=反射角注意：在反射問(wèn)題中，視線也好，光線也好，物體反彈也好，入射角=反射角，這是構(gòu)建相似三角形的重要條件。①②①②ABPCD（1）如圖①中，射線（光線）EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)F反射后為FD，因此有∠EFB=∠CFD，所以△EFB∽DFC；（2）如圖②中，人觀察到地面上鏡子P中經(jīng)反射后的旗幟，視線構(gòu)成∠1=∠2，所以△ABP∽DCP.例158月20日，《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛(ài)好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫(huà)等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來(lái)新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)，某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，測(cè)量過(guò)程見(jiàn)下表．主題跟著悟空游山西，測(cè)量“飛虹塔”的大致高度測(cè)量方案及示意圖測(cè)量步驟步驟1：把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)D處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端C確定的直線交水平BD于點(diǎn)Q，測(cè)得QD=3步驟2：將標(biāo)桿沿著B(niǎo)D的方向平移到點(diǎn)F處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端E確定的直線交直線BD于點(diǎn)P，測(cè)得PF=4米，PD(1)嘉嘉發(fā)現(xiàn)當(dāng)BD=60米時(shí)，輕松的就算出飛虹塔的高度，請(qǐng)你按嘉嘉的發(fā)現(xiàn)條件，計(jì)算飛虹塔AB(2)依據(jù)嘉嘉方法的啟發(fā)，請(qǐng)你根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度AB．3.作圖構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題錯(cuò)誤：實(shí)際問(wèn)題需要進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題。不能構(gòu)造相似三角形，就不能解決求線段長(zhǎng)的問(wèn)題，就不能解決實(shí)際問(wèn)題中的長(zhǎng)度問(wèn)題。注意：在實(shí)際問(wèn)題中，作圖構(gòu)造常見(jiàn)的幾何圖形，尤其是通過(guò)連結(jié)、做垂直的方式構(gòu)造直角三角形，能更好的形成相似的直角三角形。例16在學(xué)完相似的知識(shí)后，數(shù)學(xué)老師將同學(xué)們分成兩組，利用相似的知識(shí)測(cè)量校園內(nèi)物體的高度．(1)第一小組的同學(xué)測(cè)得身高1.68米的小明影子長(zhǎng)為2.52米，同一時(shí)刻，同一水平面上，測(cè)得校園內(nèi)旗桿的影子長(zhǎng)為18米，求旗桿的高度；(2)如圖，第二小組的同學(xué)利用標(biāo)桿測(cè)量操場(chǎng)邊一棵樹(shù)AB的高度，小麗在F處豎立了一根標(biāo)桿EF，小華從F處走到C處時(shí)，站立在C處恰好看到標(biāo)桿頂端E和樹(shù)的頂端B在一條直線上，此時(shí)測(cè)得小華的眼睛到地面的距離DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，F(xiàn)A=16米，點(diǎn)C、四、相似多邊形與位似1.多邊形相似的判定。錯(cuò)誤：混淆判定三角形相似“兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似”的依據(jù)，認(rèn)為多邊形只要全部角對(duì)應(yīng)相等即可。注意：相似多邊形不同于相似三角形，相似多邊形不但需要每個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，還需要每條對(duì)應(yīng)邊成比例。例17如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)=22 B．x=2 C．∠2.位似注意分類討論錯(cuò)誤：作已知圖形的位似圖形，尤其在平面直角坐標(biāo)系中，只考慮做一種形式的位似。注意：在題目沒(méi)有明確限制的情況下，作已知圖形的位似圖形時(shí)，在位似中心與各點(diǎn)連結(jié)線上或延長(zhǎng)線上有位似圖形，在其反向延長(zhǎng)線上也有位似圖形，需兩個(gè)都考慮到。例18如圖，直線y=12x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，△BOC與△B'O'C1．已知a，b是不等于0的實(shí)數(shù)，2a=3bA．a(chǎn)b=23 B．a(chǎn)?bA．∠B=∠EC．ABAC=AD3．下列兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)菱形C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)等腰直角三角形4．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，ED=3BEA．25 B．23 C．4 5．我國(guó)學(xué)者墨子在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實(shí)驗(yàn)的做法與成因．圖1是小孔成像實(shí)驗(yàn)圖，抽象為數(shù)學(xué)模型如圖2所示．已知AC與BD交于點(diǎn)O，AB∥CD．若點(diǎn)O到AB的距離為10cm，點(diǎn)O到CD的距離為15cm，蠟燭火焰AB的高度是2cm，則蠟燭火焰倒立的像A．3cm B．52cm C．436．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，△ADE的頂點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)，且∠DAE=90°，∠ADE=∠B，F(xiàn)A．1 B．2 C．652 D．7．如圖AD∥BE∥CF，若AB=4，BC=6，8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，某圖象上的點(diǎn)A、B為整數(shù)點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心將該圖象擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為9．如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B′處，CB′⊥AD，垂足為F

若CF10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為12,8，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PC，PQ，CQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t>0．若A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OCP相似時(shí)，則t11．為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（1）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了下面兩種測(cè)量方法．(1)如圖1，小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)EF恰好等于自己的身高DE．此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗桿AB的影長(zhǎng)BC為11.3m，據(jù)此可得旗桿高度為_(kāi)_________m；(2)如圖2，小李站在操場(chǎng)上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C，并通過(guò)鏡面觀測(cè)到旗桿頂部A．小組同學(xué)測(cè)得小李的眼睛距地面高