1/22026年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷02·參考答案一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.【答案】；2.【答案】3.【答案】4.【答案】或5.【答案】6.【答案】7.【答案】58.【答案】9.【答案】；10.【答案】11.【答案】12.【答案】二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．14．15．16．DBBC三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.（第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）【提示】（1）由平面平面，證得平面，進(jìn)而證得；取的中點，過作與交于點，可得，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求出，可得，點到直線的距離為，計算即可；（2）設(shè)，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小為求出的值，進(jìn)而可求出三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；；（2）【解析】（1）因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；取的中點，因為為正三角形，所以，過作與交于點，則，所以，，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，又，所以，則，所以點到直線的距離為；（2）設(shè)，則，因為平面，故平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，又所以由，得，令，則，，故，因為二面角的大小為，所以，解得，所以，

又，所以，故三棱錐的體積．【說明】線面垂直證明線線垂直、點到直線距離的向量求法、已知面面角求其他量、錐體體積的有關(guān)計算18.（第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）【提示】（1）根據(jù)余弦的二倍角公式可化簡，即可利用整體法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面積公式求解即可；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）當(dāng)時,,當(dāng)時,,則,故,因此（2）當(dāng)時,,故,即,由于,故,所以,即,由余弦定理可得,解得(負(fù)值舍去),故【說明】本題考查了二倍角的余弦公式、求cosx(型)函數(shù)的值域、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形；19.（第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）【提示】（1）根據(jù)頻率之和為1可求的值，再根據(jù)百分位數(shù)的概念求第60百分位數(shù).（2）根據(jù)條件概率計算，求的分布列和期望.（3）根據(jù)二面角大于，求出可對應(yīng)的情況，再求中獎的概率.【答案】（1），175；（2）分布列見解析，；（3）；【解析】（1）由.因為：，，所以每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在，且為.（2）因為抽取的1天汽車銷售量不超過150輛的概率為，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.所以：在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.由題意，的值可以為：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列為：0123所以.（3）如圖：取中點，鏈接，，，，.因為，都是邊長為2的等邊三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以為二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此時：，.所以，要想中獎，須有.由是從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機(jī)選擇的兩個，所以基本事件有個，滿足的基本事件有：，，，，，，，，共9個，所以中獎的概率為：.【說明】本題考查了計算條件概率、由二面角大小求線段長度或距離、補(bǔ)全頻率分布直方圖；關(guān)鍵：在第（2）問中，首先要根據(jù)條件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率”.20.（第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）【提示】（1）求得點坐標(biāo)和直線的方程，由此求得到直線的距離.（2）對的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由此證得結(jié)論成立.（3）設(shè)出直線的方程并代入雙曲線方程，求得的坐標(biāo)，由此計算是定值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是定值.【詳解】（1），所以，則，直線的方程為，即，所以到直線的距離為.（2）直線的斜率不存在時，，直線的斜率存在時，，，整理得.綜上所述，成立.（3）依題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線并化簡得：①，由于，則代入①并化簡得：，設(shè)，則，代入，得，即，所以，所以是定值.【說明】本題考查了雙曲線中的定值問題、斜率公式的應(yīng)用、求點到直線的距離、根據(jù)雙曲線方程求a、b、c21.（第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）【提示】（1）結(jié)合定義判斷即可；（2）先證明充分性，再證明必要性即可；（3）結(jié)合P級半周期函數(shù)對，可分析出定義域關(guān)于原點對稱，進(jìn)而解出，結(jié)合驗證及求通項即可得解；【答案】（1）①②都不是；（2）證明見解析；（3）數(shù)列所有項的和不存在；【解析】（1）（1）①②都不是①無最小正周期②值不相等（2）（2）由周期性，若有滿足和是“P級半周期函數(shù)對”，則可證明對任意x恒成立，即對任意P，和都是“P級半周期函數(shù)對”，充分性得證；反之若對任意P，和都是“P級半周期函數(shù)對”，自然時滿足和是“P級半周期函數(shù)對”，必要性得證；（3）因為和是“P級半周期函數(shù)對”，由（2）知此時對任意的恒成立，又為奇函數(shù)，所以也為奇函數(shù)，故函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，所以，所以，所以或或，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，由已知，，所以，所以，矛盾，故，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，由已知，，所以，所以，所以，故，即，又，故，故，所以，所以當(dāng)為正偶數(shù)時，，當(dāng)為正奇數(shù)時，所以數(shù)列