體系搭建體系搭建平面向量的概念：1、平面向量：在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量．只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上帶有指向的線段（有向線段）叫做平面向量，線段的指向就是向量的方向，線段的長度表示向量的大?。鐖D7-2所示，有向線段的起點叫做平面向量的起點，有向線段的終點叫做平面向量的終點．以A為起點，B為終點的向量記作．也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時應(yīng)在字母上面加箭頭，記作．a(chǎn)aAB圖7－22、向量的模長：向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次記作，．3、零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量平行．6、相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：與向量a長度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量．平面向量的基本運(yùn)算：一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（其中,均為系數(shù)）．如果l＝a＋b，則稱l可以用a，b線性表示．向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算都叫做向量的線性運(yùn)算．三角形法則：位移叫做位移與位移的和，記作=+．圖圖7－3ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A(如圖7－3)，依次作=a,=b，則向量叫做向量a與向量b的和，記作a＋b，即a＋b=＋=（7．1）求向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．2、平行四邊形法則：如圖7－4所示，ABCD為平行四邊形，由于=，根據(jù)三角形法則得＋=＋=圖7－4圖7－4ADCB這說明，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．3、平面向量減法法則：與數(shù)的運(yùn)算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．設(shè)a，b，則．即=（7．2）觀察圖7－5可以得到：起點相同的兩個向量a、b，其差a－b仍然是一個向量，叫做a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點．a(chǎn)aAa-bBbO圖7－5一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為（7．3）若0，則當(dāng)＞0時，a的方向與a的方向相同，當(dāng)＜0時，a的方向與a的方向相反．由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時，有（7．4）一般地，有0a=0,0=0．?dāng)?shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，容易驗證，對于任意向量a,b及任意實數(shù)，向量數(shù)乘運(yùn)算滿足如下的法則：例題分析例題分析考點1平面向量的概念【例1】．下列說法正確的是（）A．若||＝||，則、的長度相等且方向相同或相反 B．若向量、滿足||＞||，且與同向，則＞ C．若≠，則與可能是共線向量 D．若非零向量與平行，則A、B、C、D四點共線變式訓(xùn)練【變1-1】．已知為非零向量，集合A＝{與共線的向量}，B＝{與長度相等的向量}，C＝{與長度相等，方向相反的向量}，則下列命題為假命題的是（）A．C?A B．C?B C．A?B＝{} D．A?B?{}【變1-2】．如圖是3×4的格點圖（每個小方格都是單位正方形）．若所有向量的起點和終點都在4方格的頂點處，則與平行且模為的向量共有個．【變1-3】．如圖的方格紙由若干個邊長為1的小方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點A、B．點C為小正方形的頂點，且||＝．（1）畫出所有的向量；（2）求||的最大值與最小值．考點2向量的加法運(yùn)算【例2】．如圖所示，已知矩形ABCD中，||＝4，設(shè)＝，＝，＝，那么|++|的大小為．變式訓(xùn)練【變2-1】（多選）．設(shè)向量＝，是任一非零向量，下列結(jié)論中正確的有（）A．∥ B．+＝ C．|+|＝||+|| D．＝0【變2-2】．已知D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中不正確的是（）A． B． C． D．【變2-3】．已知A、B、C是不共線的三點，G是△ABC內(nèi)的一點，若++＝0，求證：G是△ABC的重心．考點3向量的減法運(yùn)算【例3】．已知||＝6，||＝9，求||的取值范圍．變式訓(xùn)練【變3-1】（多選）．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內(nèi)一點P滿足，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．P在△ABC的內(nèi)部 B．P在△ABC的邊AB上 C．P在AB邊所在的直線上 D．P在△ABC的外部【變3-2】．已知點P是邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，若，則的最大值是（）A． B． C． D．【變3-3】．已知菱形ABCD的邊長為1，則|﹣+|的值為．考點4向量的數(shù)乘運(yùn)算【例4】．如圖，以向量為鄰邊作平行四邊形OADB，，用表示．變式訓(xùn)練【變4-1】．在△ABC中，，且，則λ＝（）A．2 B． C． D．【變4-2】（多選）．如圖，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD與BC相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．+++＝ C． D．【變4-3】．（1）化簡：；（2）設(shè)兩個非等向量與不共線．如果，，，求證：A、B、D三點共線．考點5向量共線定理的應(yīng)用【例5】．如圖所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若，則實數(shù)m＝．變式訓(xùn)練【變5-1】．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足，，則λ+μ＝．【變5-2】．點C在線段AB上，且，若，則λ＝（）A． B． C． D．【變5-3】．設(shè)1，2是平面上兩個不共線向量，已知＝21+k2，＝1+32，＝21﹣2，若A，B，D三點共線，則k＝．考點6用已知向量表示其他向量【例6】．如圖所示，□ABCD中，＝，＝，BM＝BC，AN＝AB，（1）試用向量，來表示，．（2）AM交DN于O點，求AO：OM的值．變式訓(xùn)練【變6-1】．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，，則＝（）A． B． C． D．【變6-2】．如圖，已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若＝，＝，用，表示＝．【變6-3】．衡量鉆石價值的4C標(biāo)準(zhǔn)之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進(jìn)入鉆石的光線．現(xiàn)有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中△ABC為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且BC＝2DE，AB＝AC，∠CDE＝，則＝（）A． B． C． D．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．O為△ABC內(nèi)一點，且2++＝，＝t，若B，O，D三點共線，則t的值為（）A． B． C． D．2．已知||＝||＝2，?＝0，＝（+），|﹣|＝，則||的取值范圍是（）A． B．[0，2] C． D．[0，1]3．已知，為單位向量，且，向量滿足|﹣﹣|＝2，則||的范圍為（）A．[1，1+] B．[2﹣，2+] C．[] D．[3﹣2，3+2]4．向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），則＝（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．25．已知平面向量、、滿足，且對任意實數(shù)λ恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．6．在△ABC?中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°．P?為△ABC?內(nèi)（包括邊界）的動點，且PC＝1?，則?的取值范圍是（）A．[8，12]? B．[﹣9，11]? C．[4，6]? D．?7．已知點O是△ABC內(nèi)部一點，并且滿足，△BOC的面積為S1，△ABC的面積為S2，則＝（）A． B． C． D．二．多選題（多選）8．有下列說法，其中正確的說法為（）A．λ，μ為實數(shù)，若，則與共線 B．若，則在上的投影向量為 C．兩個非零向量，，若，則與垂直 D．若分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC：S△ABC＝3：5（多選）9．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB＝4，AC＝2，則下列各式正確的有（）A．＝4 B．＝﹣6 C．＝ D．＝4（多選）10．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則（）A．與能構(gòu)成一組基底 B． C．在向量上的投影向量的模為 D．的最大值為三．填空題（共6小題）11．已知為單位向量，且，若．且2λ+μ＝2，則的最小值為．12．若向量，滿足||＝2，||＝2|﹣|，則||的取值范圍是．13．已知向量＝（1，1），||＝1，|2+|＝3，則|﹣|＝．14．已知點O是△ABC所在平面內(nèi)一點，，，則向量4與所成夾角的最大值為．15．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，M為DC的中點，若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則?的最大值為．16．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP＝9．若＝m+（﹣m）（m為常數(shù)），則CD的長度是．四．解答題（共4小題）17．設(shè)、是不共線的兩個非零向量．（1）若＝2﹣，＝3+，＝﹣3，求證：A、B、C三點共線；（2）若8+k與k+2共線，求實數(shù)k的值．18．如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，