2025大連理工大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)考試真題及答案解析詳考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2a≤x≤a2+1},若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)(-∞,2]∪[3,+∞)(B)(-∞,2)(C)[3,+∞)(D)(-∞,2]∪{3}2.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最小正周期是(A)π(B)2π(C)4π(D)8π3.等差數(shù)列{a?}中，a?=1，公差d≠0，且a?,a?是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?等于(A)n2(B)n2-n(C)n2+n(D)n34.已知向量u=(1,k),v=(3,-2)，若u⊥v，則實(shí)數(shù)k的值等于(A)-6/2(B)3/2(C)6/2(D)-3/25.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)=√x，則f(π)的值等于(A)-√π/2(B)√π/2(C)-√2/π(D)√2/π6.“x>1”是“x2>1”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件7.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則cos(A+B)的值等于(A)-1/5(B)1/5(C)-4/5(D)4/58.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-2x+4y=0，則x+2y的最大值等于(A)2√5(B)-2√5(C)2√10(D)-2√10二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分。）9.已知lim(x→2)(x2-ax+2)/(x-2)=1，則實(shí)數(shù)a的值為________。10.已知x=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位)，則x?+1/x?的實(shí)部等于________。11.在等比數(shù)列{b?}中，b?=1，b?=8，則該數(shù)列的第三項(xiàng)b?與第六項(xiàng)b?的比值b?/b?等于________。12.過點(diǎn)P(1,2)作直線l，使得l與圓C:x2+y2-4x+2y-4=0相切，則直線l的斜率k等于________。13.若函數(shù)f(x)=x3-px+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)p的值為________。14.某班級(jí)有30名男生和20名女生，現(xiàn)要隨機(jī)選出3名代表，其中至少包含1名女生的選法共有________種。三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。16.(本小題滿分12分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且a2=b2+c2-bc。(1)求角B的大??；(2)若b=√3，且△ABC的面積S=√3/2，求邊長(zhǎng)a的值。17.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，數(shù)列{b?}是等比數(shù)列，且a?=b?=1，a?+b?=8，a?+b?=32。(1)求數(shù)列{a?}和{b?}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)c?=a?+b?，求數(shù)列{c?}的前n項(xiàng)和S?。18.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=e?-ax+1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為實(shí)數(shù))。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。19.(本小題滿分13分)已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在直線l:x-y+1=0上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)M的軌跡與圓C:x2+y2=5交于P,Q兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)。20.(本小題滿分14分)已知數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=(n+1)(a?+1/n)，n∈N*。(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)S?=1/a?+1/a?+...+1/a?，T?=(a?+1)S?-a?，求證：T?<n2+n+1對(duì)所有n∈N*恒成立。試卷答案一、選擇題1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.B8.C二、填空題9.310.011.1/212.-3/4或4/313.-614.260三、解答題15.(1)解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x<0或x>2；令f'(x)<0，得0<x<2。故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增。(2)解析：f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2=-10；f(0)=03-3(0)2+2=2；f(2)=23-3(2)2+2=-2；f(3)=33-3(3)2+2=2。比較得f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值為2，最小值為-10。16.(1)解析：由a2=b2+c2-bc，得cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(bc-a2)/(2bc)=1/2。因?yàn)?<A<π，所以A=π/3。又由a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào))，得b=c。因?yàn)閎=√3，所以a2=2b2=6，故a=√6。(2)解析：由(1)知A=π/3,b=√3。S=(1/2)bcsinA=(√3/2)bc=(√3/2)*√3*√3=(3√3)/2。又S=(√3/2)*(√6)2=3√2。由S=(3√3)/2，得bc=3。又a2=b2+c2-bc=6，即(b+c)2-3bc=6，代入bc=3，得(b+c)2-9=6，即(b+c)2=15。故b+c=√15。由b=c=√3，得a2=b2+c2-bc=6，a=√6。17.(1)解析：設(shè){a?}的公差為d，{b?}的公比為q。由a?=1,b?=1,a?+b?=8,a?+b?=32，得1+2d+q2=8,1+4d+q?=32。由1+2d+q2=8，得2d=7-q2。代入第二個(gè)等式得1+4(7-q2)+q?=32，即q?-4q2-27=0，即(q2-9)(q2+3)=0。因q為實(shí)數(shù)，得q2=9，即q=3(q=-3不合題意)。代入2d=7-q2得2d=-2，即d=-1。故a?=1+(n-1)(-1)=n；b?=1*3^(n-1)=3^(n-1)。所以a?=n,b?=3^(n-1)。(2)解析：c?=a?+b?=n+3^(n-1)。S?=1+2+...+n+(3?+31+...+3^(n-1))=(n(n+1))/2+(1-3^n)/(1-3)=(n(n+1))/2-(3^n-1)/2=(n2+n-3^n+1)/2。18.(1)解析：f'(x)=e?-a。令f'(x)>0，得e?-a>0，即e?>a。當(dāng)a≤0時(shí)，e?>0>a恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增。當(dāng)a>0時(shí)，e?>a等價(jià)于x>ln(a)。故當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(a),+∞)。(2)解析：令g(x)=f(x)-1=e?-ax。求g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立的條件。g'(x)=e?-a。①當(dāng)a≤0時(shí)，g'(x)=e?-a>0恒成立，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=1-0=1≥0恒成立，符合題意。②當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)=0得x=ln(a)。當(dāng)x∈(0,ln(a))時(shí)，g'(x)<0，g(x)在(0,ln(a))上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln(a),+∞)時(shí)，g'(x)>0，g(x)在(ln(a),+∞)上單調(diào)遞增。故g(x)在x=ln(a)處取得最小值g(ln(a))=e^(ln(a))-a*ln(a)=a-a*ln(a)=a(1-ln(a))。要使g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，需g(ln(a))=a(1-ln(a))≥0。因?yàn)閍>0，所以需1-ln(a)≥0，即ln(a)≤1，得a≤e。綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,e]。19.(1)解析：設(shè)M(x,y)，B(m,m+1)。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=(1+m)/2,y=(0+m+1)/2=(m+1)/2。消去m得m=2x,m+1=2y。代入得2y-2x=1，即2x-2y+1=0。故線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為2x-2y+1=0。(2)解析：聯(lián)立方程組{x2+y2=5{2x-2y+1=0，消去y得x2+[(2x+1)/2]2=5，即5x2+2x+1-20=0，即5x2+2x-19=0。設(shè)P(x?,y?),Q(x?,y?)，則x?+x?=-2/5,x?x?=-19/5。由弦長(zhǎng)公式|PQ|=√(1+k2)*|x?-x?|=√[1+(1/(-1))2]*√[(x?+x?)2-4x?x?]=√2*√[(-2/5)2-4*(-19/5)]=√2*√[4/25+76/5]=√2*√[(4+380)/25]=√2*√[384/25]=√2*(8√6)/5=16√3/5。20.(1)解析：由a???=(n+1)(a?+1/n)，得a???/n=(n+1)(a?/n+1/n2)。令b?=a?/n，則b???=(n+1)(b?+1/n2)。b???-b?=(n+1)b?+(n+1)/n2-b?=nb?+b?+1/n2-b?=nb?+1/n2。b???-b?=1/n2+nb?。將n換為n-1得b?-b???=1/(n-1)2+(n-1)b???。兩式相加得b???-b???=1/n2+1/(n-1)2+nb?+(n-1)b???。變形得b???+(n-1)b???=1/n2+1/(n-1)2+nb?。觀察可知，b?+1*b?=1/4+1+1*1=5/4。猜測(cè)b???+(n-1)b???=(n+1)/n2。用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，b?+0*b?=(1+1)/12=2，成立。②n=2時(shí)，b?+1*b?=5/4+1=9/4=(2+1)/22，成立。③假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)成立，即b???+(k-1)b???=(k+1)/k2。則n=k+1時(shí)，b???+k*b?=1/(k+1)2+(k+1)b?+1/(k+1)2-b???=1/(k+1)2+(k+1)(b?+1/(k+1)2-b???/k)=1/(k+1)2+(k+1)(b???/k+1/(k+1)2-b???/k)=1/(k+1)2+(k+1)/k*(b???+(k-1)b???)/k=1/(k+1)2+(k+1)/k2*[(k+1)/k2]=(k+2)/(k+1)2。即n=k+1時(shí)也成立。由①②③知，對(duì)任意n≥1，b???+(n-1)b???=(n+1)/n2恒成立。令n=1，得b?+0*b?=2/12=2，即b?=2。令n=2，得b?+1*b?=3/22=3/4，即5/4+1=3/4，即b?=-3/4。令n=3，得b?+2*b?=4/32=4/9，即b?+2*2=4/9，即b?=4/9-4=-20/9。猜測(cè)b?=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)。用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，b?=1=(-1)^(1+1)*(1+1)/2*(1/2)^(1-1)=1，成立。②n=2時(shí)，b?=2=(-1)^(2+1)*(2+1)/2*(1/2)^(2-1)=-3/2，不成立，猜測(cè)錯(cuò)誤。重新猜測(cè)b?=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)。修正為b?=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)。③假設(shè)n=k時(shí)成立，即b?=(-1)^(k+1)*(k+1)/2*(1/2)^(k-1)。則n=k+1時(shí)，b???=(k+1)(b?+1/k)=(k+1)[(-1)^(k+1)*(k+1)/2*(1/2)^(k-1)+1/k]=(-1)^(k+1)*(k+1)2/2*(1/2)^(k-1)+(k+1)/k=(-1)^(k+1)*(k+1)2/2*(1/2)^(k-1)+(-1)^(k+1)*(k+1)/2*(1/2)^(k-1)=(-1)^(k+1)*(k+2)/(2^(k-1))。即n=k+1時(shí)也成立。由①③知，對(duì)任意n≥1，b?=(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)恒成立。因?yàn)閍?=n*b?，所以a?=n*(-1)^(n+1)*(n+1)/2*(1/2)^(n-1)=(-1)^(n+1)*n(n+1)/2^(n-1)。(2)證明：由(1)知a?=(-1)^(n+1)*n(n+1)/2^(n-1)。當(dāng)n=1時(shí)，1/a?=1/1=1，T?=(a?+1)*1/a?-a?=(1+1)*1-1=1<12+1+1=3。當(dāng)n=2時(shí)，1/a?+1/a?=1+4=5，T?=(a?+1)*5-a?=(4+1)*5-4=25-4=21<22+2+1=7。假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立，即T?=(a?+1)S?-a?<k2+k+1。則當(dāng)n=k+1時(shí)，S???=S?+1/a???，T???=(a???+1)S???-a???=(a???+1)(S?+1/a???)-a???=(a???+1)S?+1-a???=(a???+1)S?-