2025年下學期高二數(shù)學小組合作探究試題（二）一、選擇題（共6題，每題5分，共30分）已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖像如圖所示，則$\omega$和$\varphi$的值分別為（）A.$\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{3}$B.$\omega=2,\varphi=-\frac{\pi}{3}$C.$\omega=4,\varphi=\frac{\pi}{6}$D.$\omega=4,\varphi=-\frac{\pi}{6}$在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$為棱$CC_1$的中點，則三棱錐$P-ABD$的體積為（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.$2$D.$\frac{16}{3}$已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，且過點$(2,\sqrt{6})$，則雙曲線$C$的標準方程為（）A.$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$C.$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$D.$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$某小組進行數(shù)學建?；顒?，收集到某城市2019-2024年的居民人均可支配收入數(shù)據(jù)（單位：萬元）：$3.2,3.5,3.8,4.2,4.6,5.0$，若用線性回歸模型擬合$y$與年份$x$（2019年記為$x=1$）的關(guān)系，且回歸方程為$\hat{y}=0.36x+\hat{a}$，則$\hat{a}$的值為（）A.$2.84$B.$2.92$C.$3.01$D.$3.13$已知向量$\vec{a}=(1,2),\vec=(m,1)$，且$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec)$，則$|\vec{a}+\vec|=$（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{14}$C.$\sqrt{17}$D.$\sqrt{20}$若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+ax+1$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞減，則實數(shù)$a$的取值范圍為（）A.$(-\infty,-3]$B.$(-\infty,0]$C.$[0,+\infty)$D.$[3,+\infty)$二、填空題（共4題，每題5分，共20分）若$(x+\frac{1}{x})^n$的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中$x^2$的系數(shù)為_________。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1(n\in\mathbb{N}^*)$，則數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=$_________。在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，若$a=2,b=3,C=60^\circ$，則$\sinA=$_________。某小組4名成員隨機分配到數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、算法設(shè)計3個項目組，每個項目組至少分配1人，則不同的分配方案共有_________種。三、解答題（共5題，共100分）11.（18分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)\geq0$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$a$的值；（3）小組合作探究：結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，嘗試證明不等式$e^x\geqx+1+\frac{x^2}{2}(x\geq0)$。合作要求：第（3）問需小組分工完成：1人負責構(gòu)造輔助函數(shù)，2人分別計算函數(shù)的導數(shù)及單調(diào)性，1人整理證明過程。12.（20分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，點$D,E$分別為棱$A_1B_1,BB_1$的中點。（1）求證：$DE\parallel$平面$A_1ACC_1$；（2）求二面角$A-DE-C$的余弦值；（3）小組合作探究：在棱$A_1C_1$上是否存在點$F$，使得$EF\perp$平面$CDE$？若存在，求出$A_1F$的長；若不存在，說明理由。合作要求：第（3）問需小組用兩種方法求解（幾何法與空間向量法），并對比兩種方法的優(yōu)劣。13.（20分）已知橢圓$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦點為$F(-1,0)$，離心率為$\frac{1}{2}$。（1）求橢圓$E$的標準方程；（2）過點$F$的直線$l$與橢圓$E$交于$A,B$兩點，$O$為坐標原點，求$\triangleAOB$面積的最大值；（3）小組合作探究：若直線$l$的斜率為$k(k\neq0)$，線段$AB$的垂直平分線與$x$軸交于點$M$，試探究$\frac{|MF|}{|AB|}$是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由。合作要求：第（3）問需小組設(shè)計表格記錄不同斜率$k$對應的$|MF|$與$|AB|$值，通過數(shù)據(jù)分析歸納結(jié)論。14.（20分）為響應“雙減”政策，某校高二數(shù)學組開展“數(shù)學實踐周”活動，其中一項任務(wù)為測量校園內(nèi)一棵古樹$GH$的高度（如圖）。小組在地面上選取$A,B$兩點，分別測得樹頂$G$的仰角為$30^\circ$和$45^\circ$，且$A,B$兩點間的距離為$20$米，$\angleAHB=60^\circ$（$H$為樹的底部）。（1）求古樹$GH$的高度；（2）小組合作探究：若受地形限制，無法直接測量$A,B$兩點間的距離，現(xiàn)提供測角儀（可測仰角、水平角）和皮尺（可測直線距離），請設(shè)計至少兩種新的測量方案，并寫出具體操作步驟及計算公式（無需計算數(shù)值）。合作要求：方案設(shè)計需包含測量工具、測量數(shù)據(jù)、計算過程，并評估方案的誤差來源。15.（22分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且滿足$a_1=1,S_{n+1}=4a_n+2(n\in\mathbb{N}^*)$。（1）證明：數(shù)列${a_{n+1}-2a_n}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（3）小組合作探究：①求數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n$；②若數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=\frac{a_n}{3n-1}$，證明：$\sum_{k=1}^nb_k<2$。合作要求：第（3）問①②需小組分工完成，①用錯位相減法，②用放縮法，并討論放縮的合理性。四、開放探究題（共30分）16.數(shù)學建模綜合題某工廠計劃生產(chǎn)一種新型節(jié)能設(shè)備，需投入固定成本50萬元，每生產(chǎn)$x$百臺設(shè)備，需另投入可變成本$C(x)$萬元，且$C(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2+2x,&0<x<10,\26x+\frac{400}{x}-200,&x\geq10.\end{cases}$（1）求總成本$G(x)$（萬元）關(guān)于產(chǎn)量$x$（百臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每百臺設(shè)備售價為40萬元，求該工廠所獲利潤$L(x)$（萬元）關(guān)于產(chǎn)量$x$（百臺）的函數(shù)關(guān)系式，并求當產(chǎn)量為多少時，利潤最大？（3）小組合作探究：收集近5年同類設(shè)備的市場數(shù)據(jù)（如需求量、價格波動等），結(jié)合（2）的結(jié)論，為工廠制定一份產(chǎn)量規(guī)劃報告（需包含數(shù)據(jù)圖表、風險分析及建議產(chǎn)量范圍）。合作要求：需利用Excel或Python繪制成本-利潤曲線圖，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最優(yōu)產(chǎn)量區(qū)間；報告需包含“數(shù)據(jù)來源”“模型假設(shè)”“誤差分析”三個板塊，字數(shù)不少于800字。試題設(shè)計說明：題型覆蓋選擇、填空、解答、開放探究四大類，注重基礎(chǔ)與能力結(jié)合；合作探究題占比40%，需小組分工完成建模、證明、方案設(shè)計等任務(wù)，培養(yǎng)團隊協(xié)作能