2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)知識(shí)梳理測(cè)試（一）一、函數(shù)的概念與性質(zhì)（一）核心知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中x叫自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I。如果對(duì)于任意x?，x?∈D，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。奇偶性：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù)；如果都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù)。周期性：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個(gè)函數(shù)的周期。復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)，u=g(x)，當(dāng)x在u=g(x)的定義域Dg中變化時(shí)，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域Df內(nèi)變化，因此變量x與y之間通過變量u形成一種函數(shù)關(guān)系，記為y=f(g(x))，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，其中u叫中間變量，y=f(u)叫外層函數(shù)，u=g(x)叫內(nèi)層函數(shù)。（二）典型例題例1：判斷函數(shù)f(x)=x3-3x的奇偶性和單調(diào)性。解析：奇偶性：函數(shù)定義域?yàn)镽，f(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-(x3-3x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)。單調(diào)性：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減。例2：已知函數(shù)f(x)=2x2-ax+3在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=a/4，因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，且在[1,2]上單調(diào)遞增，所以對(duì)稱軸應(yīng)在區(qū)間左側(cè)，即a/4≤1，解得a≤4。因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,4]。二、導(dǎo)數(shù)與極限（一）核心知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x?處取得增量Δx（點(diǎn)x?+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)，記為f'(x?)，即f'(x?)=lim┬(Δx→0)?(Δy/Δx)=lim┬(Δx→0)?[f(x?+Δx)-f(x?)]/Δx?；厩髮?dǎo)公式(C)'=0（C為常數(shù)）(x?)'=nx??1（n∈Q）(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(e?)'=e?(lnx)'=1/x導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)f'(x?)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x?,f(x?))處的切線的斜率。相應(yīng)地，切線方程為y-f(x?)=f'(x?)(x-x?)。極限的運(yùn)算法則設(shè)limf(x)=A，limg(x)=B，則：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Blim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·Blim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B（B≠0）（二）典型例題例3：求函數(shù)f(x)=x2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程。解析：首先求導(dǎo)，f'(x)=(x2)'lnx+x2(lnx)'=2xlnx+x2·(1/x)=2xlnx+x。將x=1代入f'(x)，得f'(1)=2×1×ln1+1=1。所以切線斜率為1，切線方程為y-0=1×(x-1)，即y=x-1。例4：求極限lim┬(x→2)?(x2-4)/(x-2)。解析：當(dāng)x→2時(shí)，分子分母都趨近于0，屬于0/0型極限，可對(duì)分子因式分解，得(x2-4)/(x-2)=(x-2)(x+2)/(x-2)=x+2（x≠2）。所以lim┬(x→2)?(x2-4)/(x-2)=lim┬(x→2)?(x+2)=4。三、數(shù)列（一）核心知識(shí)點(diǎn)數(shù)列的概念按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集{1,2,...,n}）的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。等差數(shù)列與等比數(shù)列|項(xiàng)目|等差數(shù)列|等比數(shù)列||----------------|---------------------------------------|---------------------------------------||定義|從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列|從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列||通項(xiàng)公式|an=a?+(n-1)d（d為公差）|an=a?q??1（q為公比，q≠0）||前n項(xiàng)和公式|Sn=n(a?+an)/2=na?+n(n-1)d/2|Sn=a?(1-q?)/(1-q)（q≠1），Sn=na?（q=1）||中項(xiàng)公式|若a,A,b成等差數(shù)列，則A=(a+b)/2|若a,G,b成等比數(shù)列，則G2=ab（ab>0）|數(shù)列求和方法公式法：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和。錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列求和，即形如{anbn}的數(shù)列，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列。裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。常見的裂項(xiàng)公式有：1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，1/(√n+√(n+1))=√(n+1)-√n等。（二）典型例題例5：已知等差數(shù)列{an}中，a?=7，a?+a?=26，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn。解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a?。由已知得：a?=a?+2d=7①a?+a?=(a?+4d)+(a?+6d)=2a?+10d=26②由①得a?=7-2d，代入②得2(7-2d)+10d=26，解得d=2，所以a?=7-2×2=3。通項(xiàng)公式an=a?+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。前n項(xiàng)和Sn=n(a?+an)/2=n(3+2n+1)/2=n(n+2)=n2+2n。例6：求數(shù)列{an}=n·2?的前n項(xiàng)和Sn。解析：使用錯(cuò)位相減法，Sn=1×21+2×22+3×23+...+n×2?①兩邊同時(shí)乘以2，得2Sn=1×22+2×23+...+(n-1)×2?+n×2??1②①-②得：-Sn=21+22+23+...+2?-n×2??1=2(2?-1)/(2-1)-n×2??1=2??1-2-n×2??1=(1-n)2??1-2，所以Sn=(n-1)2??1+2。四、三角函數(shù)（一）核心知識(shí)點(diǎn)三角函數(shù)的定義在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么：正弦函數(shù)sinα=y余弦函數(shù)cosα=x正切函數(shù)tanα=y/x（x≠0）同角三角函數(shù)基本關(guān)系sin2α+cos2α=1tanα=sinα/cosα誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。即對(duì)于k·π/2±α(k∈Z)的三角函數(shù)值：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切。符號(hào)看象限是指把α看作銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)|函數(shù)|定義域|值域|周期|奇偶性|單調(diào)性||----------|------------|----------|----------|------------|------------||sinx|R|[-1,1]|2π|奇函數(shù)|在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上遞增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上遞減（k∈Z）||cosx|R|[-1,1]|2π|偶函數(shù)|在[-π+2kπ,2kπ]上遞增，在[2kπ,π+2kπ]上遞減（k∈Z）||tanx|{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}|R|π|奇函數(shù)|在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上遞增（k∈Z）|（二）典型例題例7：化簡(jiǎn)sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π)/cos(-π-α)sin(-π-α)。解析：根據(jù)誘導(dǎo)公式：sin(π-α)=sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(-α+π)=tan(π-α)=-tanα，cos(-π-α)=cos(π+α)=-cosα，sin(-π-α)=-sin(π+α)=sinα。所以原式=sinα·cosα·(-tanα)/(-cosα·sinα)=tanα。例8：已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，求函數(shù)f(x)的最小正周期、對(duì)稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間。解析：最小正周期：T=2π/|ω|=2π/2=π。對(duì)稱軸方程：令2x+π/3=π/2+kπ（k∈Z），解得x=π/12+kπ/2（k∈Z）。單調(diào)遞增區(qū)間：令-π/2+2kπ≤2x+π/3≤π/2+2kπ（k∈Z），解得-5π/12+kπ≤x≤π/12+kπ（k∈Z）。所以單調(diào)遞增區(qū)間為[-5π/12+kπ,π/12+kπ]（k∈Z）。五、立體幾何（一）核心知識(shí)點(diǎn)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱柱的兩個(gè)互相平行的面叫棱柱的底面，其余各面叫棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫棱柱的頂點(diǎn)。棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個(gè)多邊形面叫棱錐的底面，其余各面叫棱錐的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫棱錐的頂點(diǎn)。球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球。半圓的圓心叫球心，半圓的半徑叫球的半徑，半圓的直徑叫球的直徑?？臻g點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線?？臻g中直線與直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面?？臻g中直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交?？臻g中平面與平面的位置關(guān)系：平行、相交?？臻g幾何體的表面積與體積棱柱的體積：V=Sh（S為底面積，h為高）。棱錐的體積：V=1/3Sh（S為底面積，h為高）。球的表面積與體積：S=4πR2，V=4/3πR3（R為球的半徑）。（二）典型例題例9：已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為a，求異面直線A?B與AC所成的角。解析：連接A?C?，BC?。因?yàn)锳?C?∥AC，所以∠BA?C?就是異面直線A?B與AC所成的角（或其補(bǔ)角）。在正方體中，A?B=BC?=A?C?=√2a，所以△A?BC?是等邊三角形，∠BA?C?=60°。因此，異面直線A?B與AC所成的角為60°。例10：一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為5，求該三棱錐的體積。解析：正三棱錐的底面是正三角形，底面積S=√3/4×62=9√3。設(shè)底面中心為O，連接SO，則SO為三棱錐的高h(yuǎn)。底面正三角形的中心O到底面頂點(diǎn)的距離AO=2/3×（√3/2×6）=2√3。在Rt△SAO中，SA=5，AO=2√3，所以h=√(SA2-AO2)=√(25-12)=√13。因此，體積V=1/3Sh=1/3×9√3×√13=3√39。六、解析幾何（一）核心知識(shí)點(diǎn)直線的方程點(diǎn)斜式：y-y?=k(x-x?)（直線過點(diǎn)(x?,y?)，斜率為k）。斜截式：y=kx+b（k為斜率，b為直線在y軸上的截距）。兩點(diǎn)式：(y-y?)/(y?-y?)=(x-x?)/(x?-x?)（直線過兩點(diǎn)(x?,y?)，(x?,y?)，且x?≠x?，y?≠y?）。截距式：x/a+y/b=1（a，b分別為直線在x軸，y軸上的截距，且a≠0，b≠0）。一般式：Ax+By+C=0（A，B不同時(shí)為0）。兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線的方程分別為l?：A?x+B?y+C?=0，l?：A?x+B?y+C?=0。平行：A?B?-A?B?=0且A?C?-A?C?≠0（或B?C?-B?C?≠0）。垂直：A?A?+B?B?=0。相交：A?B?-A?B?≠0。圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（圓心為(a,b)，半徑為r）。一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0，圓心為(-D/2,-E/2)，半徑為r=1/2√(D2+E2-4F)）。圓錐曲線橢圓：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F?，F(xiàn)?的距離的和等于常數(shù)（大于|F?F?|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2+y2/b2=1（a>b>0，焦點(diǎn)在x軸上）或y2/a2+x2/b2=1（a>b>0，焦點(diǎn)在y軸上），其中c2=a2-b2，c為半焦距。雙曲線：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F?，F(xiàn)?的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F?F?|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1（焦點(diǎn)在x軸上）或y2/a2-x2/b2=1（焦點(diǎn)在y軸上），其中c2=a2+b2。拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式：y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py（p>0，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p）。（二）典型例題例11：求過點(diǎn)(2,-1)且與直線2x+y-5=0垂直的直線方程。解析：已知直線2x+y-5=0的斜率為-2，與其垂直的直線斜率k滿足k×(-2)=-1，解得k=1/2。由點(diǎn)斜式可得直線方程為y-(-1)=1/2(x-2)，即y+1=1/2x-1，化簡(jiǎn)得x-2y-4=0。例12：已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標(biāo)、半徑及過點(diǎn)(1,-1)的切線方程。解析：圓心與半徑：將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，x2-4x+y2+6y=3，配方得(x-2)2-4+(y+3)2-9=3，即(x-2)2+(y+3)2=16。所以圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑r=4。切線方程：點(diǎn)(1,-1)在圓外，設(shè)切線方程為y+1=k(x-1)，即kx-y-k-1=0。圓心到切線的距離等于半徑，即|2k-(-3)-k-1|/√(k2+1)=|k+2|/√(k2+1)=4，解得k=±4√15/15。所以切線方程為y+1=4√15/15(x-1)和y+1=-4√15/15(x-1)。當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線x=1，圓心到直線距離為1≠4，不是切線。因此，切線方程為4√15x-15y-4√15-15=0和4√15x+15y+4√15-15=0。例13：已知橢圓x2/25+y2/9=1，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及準(zhǔn)線方程。解析：橢圓方程為x2/25+y2/9=1，所以a2=25，b2=9，c2=a2-b2=16，c=4。焦點(diǎn)坐標(biāo)：焦點(diǎn)在x軸上，坐標(biāo)為(±4,0)。離心率：e=c/a=4/5。準(zhǔn)線方程：x=±a2/c=±25/4。七、綜合應(yīng)用例14：已知函數(shù)f(x)=x3-3x2