2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)強(qiáng)化之“等比數(shù)列與數(shù)列求和”一、等比數(shù)列的核心概念與公式體系（一）定義與基本量等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為公比，記作(q(q\neq0))。其定義式可表示為：(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q)（(n\in\mathbb{N}^*)）。等比數(shù)列的基本量包括首項(xiàng)(a_1)、公比(q)和項(xiàng)數(shù)(n)，三者構(gòu)成“知二求三”的運(yùn)算基礎(chǔ)。（二）通項(xiàng)公式與推廣形式通項(xiàng)公式：(a_n=a_1q^{n-1})（推導(dǎo)過(guò)程：由定義式累乘可得(a_n=a_1\cdotq\cdotq\cdotsq)（共(n-1)個(gè)(q)）。推廣公式：(a_n=a_mq^{n-m})（(m,n\in\mathbb{N}^*)），此公式在已知某中間項(xiàng)求其他項(xiàng)時(shí)尤為便捷。（三）前(n)項(xiàng)和公式等比數(shù)列前(n)項(xiàng)和(S_n)需分兩種情況討論：當(dāng)(q=1)時(shí)，(S_n=na_1)（此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列）；當(dāng)(q\neq1)時(shí)，(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1})（推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法，即(S_n-qS_n=a_1-a_nq)）。二、等比數(shù)列的重要性質(zhì)及應(yīng)用（一）中項(xiàng)性質(zhì)若(a,A,b)成等比數(shù)列，則(A^2=ab)（(A)稱(chēng)為等比中項(xiàng)）。在等比數(shù)列中，序號(hào)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍成等比數(shù)列，例如：(a_k,a_{k+m},a_{k+2m},\cdots)構(gòu)成公比為(q^m)的等比數(shù)列。（二）片段和性質(zhì)若等比數(shù)列前(n)項(xiàng)和為(S_n)，則(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\cdots)仍成等比數(shù)列（公比為(q^n)），但需注意當(dāng)(q=-1)且(n)為偶數(shù)時(shí)該性質(zhì)不成立。（三）單調(diào)性與最值等比數(shù)列的單調(diào)性由(a_1)和(q)共同決定：當(dāng)(a_1>0,q>1)或(a_1<0,0<q<1)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)(a_1>0,0<q<1)或(a_1<0,q>1)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)(q=1)時(shí)為常數(shù)列，(q=-1)時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列。三、等比數(shù)列的典型題型解析（一）基本量運(yùn)算類(lèi)例題1：已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_3=4)，(a_7=64)，求(a_5)及前5項(xiàng)和(S_5)。解析：方法一（基本量法）：設(shè)公比為(q)，則(a_7=a_3q^4\Rightarrow64=4q^4\Rightarrowq^4=16\Rightarrowq^2=4)，故(a_5=a_3q^2=4\times4=16)；由(a_3=a_1q^2=4\Rightarrowa_1=1)，則(S_5=\frac{1(1-2^5)}{1-2}=31)（注：(q=\pm2)，但(a_5=a_1q^4=1\times16=16)與(q)符號(hào)無(wú)關(guān)）。（二）性質(zhì)應(yīng)用類(lèi)例題2：等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7,S_6=63)，求(S_9)。解析：由片段和性質(zhì)知(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6)成等比數(shù)列，即(7,56,S_9-63)成等比數(shù)列。則(56^2=7(S_9-63)\RightarrowS_9-63=448\RightarrowS_9=511)。（三）遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化類(lèi)例題3：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_{n+1}=2a_n+3)，且(a_1=1)，判斷數(shù)列({a_n+3})是否為等比數(shù)列，并求(a_n)。解析：對(duì)遞推式變形得(a_{n+1}+3=2(a_n+3))，則(\frac{a_{n+1}+3}{a_n+3}=2)，故({a_n+3})是以(a_1+3=4)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。因此(a_n+3=4\times2^{n-1}=2^{n+1}\Rightarrowa_n=2^{n+1}-3)。四、數(shù)列求和的常用方法與技巧（一）公式法直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前(n)項(xiàng)和公式，需注意等比數(shù)列公比(q=1)的特殊情況。示例：求和(1+3+9+\cdots+3^{n-1})，此為等比數(shù)列求和，(a_1=1,q=3)，則(S_n=\frac{3^n-1}{2})。（二）錯(cuò)位相減法適用于“等差數(shù)列×等比數(shù)列”型數(shù)列求和，即數(shù)列通項(xiàng)形如(c_n=a_nb_n)，其中({a_n})為等差數(shù)列，({b_n})為等比數(shù)列。例題4：求數(shù)列({n\cdot2^n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：(T_n=1\times2+2\times4+3\times8+\cdots+n\times2^n)(2T_n=1\times4+2\times8+\cdots+(n-1)\times2^n+n\times2^{n+1})兩式相減得：(-T_n=2+4+8+\cdots+2^n-n\times2^{n+1}=\frac{2(2^n-1)}{2-1}-n\times2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2)故(T_n=(n-1)2^{n+1}+2)。（三）裂項(xiàng)相消法將數(shù)列通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差，通過(guò)正負(fù)抵消簡(jiǎn)化求和。常見(jiàn)裂項(xiàng)類(lèi)型：(\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}))（如(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})）；(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n})（分母有理化）。例題5：求和(S=\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)})解析：通項(xiàng)(a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}))則(S=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1})。（四）分組求和法當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)可分解為幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和差形式時(shí)，可分別求和再合并。例題6：求數(shù)列({2^n+n})的前(n)項(xiàng)和。解析：(S_n=(2^1+1)+(2^2+2)+\cdots+(2^n+n)=(2^1+2^2+\cdots+2^n)+(1+2+\cdots+n))其中等比數(shù)列部分和為(2^{n+1}-2)，等差數(shù)列部分和為(\frac{n(n+1)}{2})，故(S_n=2^{n+1}-2+\frac{n(n+1)}{2})。五、易錯(cuò)點(diǎn)與解題策略（一）忽視公比的特殊值公比(q=1)時(shí)等比數(shù)列前(n)項(xiàng)和公式需單獨(dú)討論，若直接套用(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q})會(huì)導(dǎo)致分母為零的錯(cuò)誤。示例：若等比數(shù)列({a_n})滿足(S_2=3,S_4=15)，求(q)。正解：若(q=1)，則(S_2=2a_1=3\Rightarrowa_1=1.5)，(S_4=4a_1=6\neq15)，故(q\neq1)，聯(lián)立方程解得(q^2=4\Rightarrowq=\pm2)。（二）項(xiàng)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤在涉及“前(n)項(xiàng)和”“第(k)項(xiàng)到第(m)項(xiàng)和”時(shí)，需準(zhǔn)確確定項(xiàng)數(shù)。例如：數(shù)列(a_2,a_4,a_6,\cdots,a_{2n})共有(n)項(xiàng)，公比為(q^2)。（三）錯(cuò)位相減法運(yùn)算失誤錯(cuò)位相減后需注意中間項(xiàng)的符號(hào)及剩余項(xiàng)數(shù)，建議在草稿紙上保留運(yùn)算過(guò)程，避免因步驟跳躍導(dǎo)致錯(cuò)誤。六、高考真題鏈接與強(qiáng)化訓(xùn)練（一）高考真題示例2024年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)17題：已知等比數(shù)列({a_n})的公比(q>0)，且(a_2=1)，(a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n)，求({a_n})的通項(xiàng)公式及前(n)項(xiàng)和(S_n)。參考答案：由(a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n\Rightarrowq^2+q-6=0\Rightarrowq=2)（(q=-3)舍），則(a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{1}{2})，故(a_n=\frac{1}{2}\times2^{n-1}=2^{n-2})，(S_n=2^{n-1}-\frac{1}{2})。（二）強(qiáng)化訓(xùn)練題已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1+a_3=10)，(a_4+a_6=\frac{5}{4})，求公比(q)及(S_5)。求和：(S=1+3x+5x