浙江省金磚聯(lián)盟2025學(xué)年第一學(xué)期期中

高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.(1+3i)i的虛部為()

A.-1B.-iC.1D.i

2.直線x=√3的傾斜角是()

不存在

A.BD.

3.設(shè)1,m,n均為直線，其中m,n在平面α內(nèi)，則“11α”是“11m且11n”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.在三棱柱ABC=A?B?C?中，設(shè)AA?=a,AB=6,AC=c,M,N分別為AB,CC?的中點，則MN=()

A.B.D.

5.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinB=√3bcosA,c-b=2,a=√7.

則c=()

A.4B.3C.2D.1

6.正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為()

A.6√3B.14√2

7.已知直線1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0與圓C:(x-1)2+(y-2)2=25交于A,B兩點，則AB·AC的

最小值為()

A.20B.25C.40D.80

8.已知球O的表面積為12π,球面上有A,B,C,D四點，DA,DB,DC與平面ABC所成的角均為

,若∠AOB的余弦值為,則三棱錐D-ABC的體積的最大值為()

A.B.C.D.

1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解學(xué)生周末的日均健身時長(單位分鐘),隨機抽取10位同學(xué)進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：20,50,

35,50,65,80,65,80,65,110,下列說法正確的是()

A.眾數(shù)是65B.平均數(shù)是62C.上四分位數(shù)是80D.方差是342.5

10.在正四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?=2AB=2,E是CC?的中點，則()

A.BD?與DE所成角的余弦值為B.BE與平面BDD?B?所成的角為30°

C.對角線BD?與平面BDE所成的角為45°D.四面體ABED?的體積是

11.已知橢圓(的上頂點為A,左、右焦點分別為F?,F?,過F?的直線l與C交于M,N

兩點，則()

A.存在點M使得MF?⊥MF?B.|MF||MF?|的最大值為4

C.當(dāng)直線l垂直于AF?時，三角形AMN的周長為8D.MF·MF?的取值范圍是[2,3]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.甲、乙兩名同學(xué)獨立破譯同一組密碼，甲能破譯的概率為,乙能破譯的概率為,則這組密碼被破

譯的概率為

13.圓心在y=-5x上，經(jīng)過點(3,-1),與直線x+2y-1=0相切的圓方程為_·

14.已知Fi,F?分別是雙曲線(a,b>0)的左、右焦點，I?,I?為雙曲線的兩條漸近線，設(shè)過

點M(b,0)且平行于l的直線交l?于點P,若PF?⊥PF?,則該雙曲線的離心率為_

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱.

(1)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；浙考神墻750

(2)從(1)中抽取的8箱水果中再隨機挑選兩箱，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為300克，方差為600;二級果40個，單

果質(zhì)量平均數(shù)為240克，方差為640;求160個水果的平均數(shù)和方差.

2

16.(本題滿分15分)

已知圓C:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y-4=0.

(1)求過直線1上點P(3,-2)且與圓C相切的直線方程；

(2)若直線m與直線1平行，與y軸交于(0,b)點，且圓C上有且僅有兩個點到直線m的距離為1,

求b的取值范圍；

17.(本題滿分15分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積，角A的

平分線AD交BC邊于點D.

(1)求角A;(2)若BD=3DC,且△ABC的周長為8+2√7,求AD長.

3

18.(本題滿分17分)

在平行四邊形ABCD中(圖1),AB=2AD=4,∠BAD=60°,M是AB的中點，將△ADM沿DM折起，使

得AD⊥BC,連接AB,AC.(圖2)

(1)求證：平面ABD⊥平面ABC;

(2)求四棱錐A-BCDM的體積；浙考神墻750

(3)求平面ACD與平面ABM的夾角的余弦值.

Cc

圖1圖2

19.(本題滿分17分)

已知橢圓T:,M(0,m)(m>0),A是T的右頂點，橢圓的左、右焦點分別為F,F?.

(1)若橢圓T的離心率為,且橢圓上存在兩點P,Q滿足F?P和F?Q同向且共線，求四邊形F?PQF?面積

的最大值.

(2)已知AM的中垂線1的斜率為2,且1與橢圓T交于C、D兩點，若點M在以CD為直徑的圓內(nèi)，

求a的取值范圍；

4

浙江省金磚聯(lián)盟2025學(xué)年第一學(xué)期期中

高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

選擇題部分

題號1234567891011

答案CDABBDCAABCABDBCD

非選擇題部分

填空題

12.13.(x-12+(V+5)=20;14.√5

解答題

15.(1)由題設(shè)——————————————1分

由分層抽樣可知，一級果抽取箱，———————-——-——2分

二級果抽取箱；——————-—--———————————3分

(2)設(shè)A=“8箱水果中抽取2箱，一級果和二級果各1箱”

n(Ω)=28,n(A)=12,一————————————6分(對1個給2分)

所以————————8分

(3)由分層平均數(shù)—————————————9分

分層方差，—————11分

可知160各水果的單果質(zhì)量平均數(shù)

:12分

說明：第2問，第3問，如果沒有公式，有相應(yīng)的運算步驟答案正確給全分.

16.由題設(shè)圓C:(x-1)2+(y-1)2=4,圓心C(1,1),半徑r=2——------——1分

(1)當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=3,d=3-1=2=r,所以直線x=3是圓C的切線；—3分

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為y+2=k(x-3),即kx-y-3k-2=0——分

所以,解得————————————6分

直線方程為-----——7分

綜上可知，過點(3,-2)的圓C的切線方程為x=3或

(2)設(shè)直線m的方程為：2x+y-b=0,———————8分

圓心C(1,1)到直線m的距離為d,由題設(shè)圓C上僅有兩個點到直線m的距離為1,

即1<d<3,——————————————————————————————11分

所以———————————————————————————13分

解得3+√5<b<3+3√5或3-3√5<b<3-√5.———————————————15分

17.(1)由題設(shè)可知，,b2+c2-a2=2bccosA,————————2分

----一——----————————3分

即tanA=√3,————--——-———--—————————————5分

所以7分

(2)由角平分線定理可知即c=3b————————————8分

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA即a2=7b2,所以a=√7b,——--———10分

周長，a+b+c=(4+√7)b=8+2√7,解得b=2,即c=6————-—--——12分

由等面積

可得——15分

18.(1)由題設(shè)，AB=2AD=4,∠BAD=60°,M是AB的中點，所以四邊形BCDM中，

∠MDC=∠BCD=60°,所以BD⊥BC,——————2分

又AD⊥BC,AD∩BD=A,AD,BDc面ABD,所以BC⊥面ABD,——————4分

BCc面ABC,所以面ABC⊥面ABD.————————————————————5分

(2)取CD中點E,DM中點F,連接AF,EF交BD于點H,

連接AH.

由(1)可知BC⊥面ABD可得面BCDM⊥面ABD,又AF⊥DM,

EF⊥DM,AF∩EF=F,AF,EFc面AEF,可得

DM⊥面AEF,DMc面BCDM,所以面BCDM⊥面AEF,D

面ABD∩面AEF=AH,所以AH⊥面BCDM.———————--———8分

又AD=2,,所以———9分

SBCDM=3√3,所—-————10分

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),C(0,2,0),D(2√3,0,0),

M(3,-1,0),,————11分

所以D=(2√5-2.0),

設(shè)平面ACD的法向量為m=(x?,y?,z),

則所以m=(√2,√6,1),————13分

,BM=(J3,1,0),設(shè)平面ABM的法向量為n=(x?,y?,z?),

則所以n=(1,-√3,-√2),—--———15分

設(shè)平面ACD與平面ABM的夾角為θ,

說明：如果學(xué)生直接建系，并設(shè)A點坐標(biāo)，通過解方程的形式求出點A坐標(biāo)，這個過程就是相當(dāng)

于證明垂直的3分，以及求出AH的1分，建系1分給在前面，其余6分仍按標(biāo)準(zhǔn).

19.(1)廠的離心率為,所以方程為1分

婁，由題設(shè)PF1/QF?,延長QF?交橢圓于另一點R,由對稱性

可知，F(xiàn)?R=PF?,所以—2分

SBPQR?=SPgR'

設(shè)直線QR:x=ty+1,聯(lián)立可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以，