一輪復習講練測2025年高考數學第05講空間向量及其應用目錄CONTENTS考情透視·目標導航01知識導圖·思維引航02考點突破·題型探究03真題練習·命題洞見040506課本典例·高考素材易錯分析·答題模板01考情透視·目標導航考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）空間向量的線性運算（2）空間向量基本定理及其應用（3）向量法證明平行、垂直（4）向量法求空間角（5）空間距離2024年I卷第17題，15分2024年II卷第17題，15分2023年I卷第18題，12分2023年II卷第20題，12分2022年I卷第19題，12分2022年II卷第20題，12分空間向量解立體幾何一般以解答題形式為主,每年必考,一般12分.以解答題為主,難度中等,可靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法,從不同角度解決立體幾何問題,通過對比體會向量方法的優(yōu)越性.選擇題和填空題一般不用空間向量法.但要理解向量基本定理的本質,感悟“基底”的思想,并運用它解決立體幾何中的問題.復習目標：（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.（3）理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．（4）能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用．02知識導圖·思維引航稿定PPT稿定PPT，海量素材持續(xù)更新，上千款模板選擇總有一款適合你0203考點突破·題型探究知識梳理·基礎回歸知識點1：空間向量的有關概念名稱定義空間向量在空間中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量方向

且模

的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相

或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一個平面知識梳理·基礎回歸知識點2：空間向量的有關定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使

.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在

的有序實數對(x，y)，使p＝

.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝

，{a，b，c}叫做空間的一個基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc知識梳理·基礎回歸知識點3：空間向量的數量積及運算律(1)數量積非零向量a，b的數量積a·b＝

.(2)空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).|a||b|cos〈a，b〉

向量表示坐標表示數量積a·b_________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3知識梳理·基礎回歸垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a|______________夾角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_______________________a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知識梳理·基礎回歸知識點4：空間位置關系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0知識梳理·基礎回歸直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0知識梳理·基礎回歸知識點5：異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____.知識梳理·基礎回歸知識點6：直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝_____.知識梳理·基礎回歸知識點7：平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______.知識梳理·基礎回歸知識點8：點到直線的距離知識梳理·基礎回歸知識點9：點到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就

題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算

題型一：空間向量的加法、減法、數乘運算

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題型二：空間共線向量定理的應用

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題型三：空間向量的數量積運算

題型三：空間向量的數量積運算

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題型四：三點共線問題

題型四：三點共線問題

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題型五：多點共面問題

題型五：多點共面問題

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題型六：證明直線和直線平行

題型六：證明直線和直線平行

題型六：證明直線和直線平行

題型七：證明直線和平面平行

題型七：證明直線和平面平行

題型七：證明直線和平面平行【典例8-1】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG//平面PBC．

題型八：證明平面與平面平行【典例8-1】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG//平面PBC．

題型八：證明平面與平面平行

題型八：證明平面與平面平行【方法技巧】

（1）證明兩平面內有兩條相交直線分別平行．（2）轉化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．

題型八：證明平面與平面平行

題型九：證明直線與直線垂直

題型九：證明直線與直線垂直

題型九：證明直線與直線垂直

題型十：證明直線與平面垂直

題型十：證明直線與平面垂直

題型十：證明直線與平面垂直

題型十一：證明平面和平面垂直

題型十一：證明平面和平面垂直

題型十一：證明平面和平面垂直

題型十二：求兩異面直線所成角

題型十二：求兩異面直線所成角

題型十二：求兩異面直線所成角

題型十三：求直線與平面所成角

題型十三：求直線與平面所成角

題型十三：求直線與平面所成角

題型十三：求直線與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十四：求平面與平面所成角

題型十五：求點面距、線面距、面面距

題型十五：求點面距、線面距、面面距

題型十五：求點面距、線面距、面面距

題型十五：求點面距、線面距、面面距

題型十六：點到直線距離、異面直線的距離

題型十六：點到直線距離、異面直線的距離

題型十六：點到直線距離、異面直線的距離04真題練習·命題洞見稿定PPT稿定PPT，海量素材持續(xù)更新，上千款模板選擇總有一款適合你02

CABD

05課本典例·高考素材

06易錯分析·答題模板02易錯點：計算線面角出錯易錯分析：計算線面角時出錯，常見原因包括：1．對線面角概念理解不清，錯誤地將直線與平面上任意直線的夾角視為線面角；2．在利用向量法計算時，未正確設置平面的法向量和直線的方向向量，導致計算結果偏離實際；3．忽視線面角的取值范圍，錯誤地計算了鈍角或超出規(guī)定范圍的角；4．計算過程中存在符號錯誤或計算失誤，影響最終結果的準確性．因此，在計算線面角時需仔細理解概念，正確設置向量，并仔細檢查計算