初一數學基礎學問講義

第一講和肯定值有關的問題

一、學問結構框圖：

二、肯定值的意義：

(1)幾何意義：一般地，數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的肯定值，記作

(2)代數意義：①正數的肯定值是它的本身；②負數的肯定值是它的相反數；

③零的肯定值是零。

也可以寫成：

說明：(I)|a|20即|a|是一個非負數；

(IDa|概念中蘊含分類探討思想。

三、典型例題

例1.(數形結合思想)已知a、b、c在數軸上位置如圖：,，，^h

ba0c

則代數式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于(A)

A.-3aB.2c—aC.2a_2bD.b

解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析：解肯定值的問題時，往往須要脫去肯定值符號，化成一般的有理數計算。脫去肯定值的符號

時，必需先確定肯定值符號內各個數的正負性，再依據肯定值的代數意義脫去肯定值符號。這道例

題運用了數形結合的數學思想，由a、b、c在數軸上的對應位置推斷肯定值符號內數的符號，從而

去掉肯定值符號，完成化簡。

例2.已知：x<O<z,xy>0,K|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|_|x_y|

的值（C）

A.是正數B.是負數C.是零D.不能確定符號

解：由題意，x、y、z在數軸上的位置如圖所示：

所以\x+z\+\y^z\-\x-y\

=x+z-（y+z）-（x-y）—~QZ~

=0

分析：數及代數這一領域中數形結合的重要載體是數軸。這道例題中三個看似困難的不等關系借助

數軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數的大小關系，為我們順當化簡鋪平了道路。雖然例題中沒

有給出數軸，但我們應當有數形結合解決問題的意識。

例3.（分類探討的思想）已知甲數的肯定值是乙數肯定值的3倍，且在數軸上表示這兩數的點位于

原點的兩側，兩點之間的距離為8,求這兩個數；若數軸上表示這兩數的點位于原點同側呢？

分析：從題FI中找尋關鍵的解題信息，“數軸上表示這兩數的點位于原點的兩側”意味著甲乙兩數符

號相反，即一正一負。那么原委誰是正數誰是負數，我們應當用分類探討的數學思想解決這一問題。

解：設甲數為x,乙數為y

由題意得：|X|=3|H，

（1）數軸上表示這兩數的點位于原點兩側：

若x在原點左側，y在原點右側，即x<0,y>0,則4y=8,所以y=2,x=-6

若x在原點右側，y在原點左側，即x>0,y<0,則-4y=8,所以y=-2,x=6

（2）數軸上表示這兩數的點位于原點同側：

若x、y在原點左側，即xvO,y<0,則-2y=8?所以y=-4,x=-12

若x、y在原點右側,即x>0,y>0,則2y=8,所以y=4,x=12

例4.（整體的思想）方程,-2008|=2008—x的解的個數是（D）

A.1個B.2個C.3個D.無窮多個

分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉化為求方程|的

解，利用肯定值的代數意義我們不難得到，負數和零的肯定值等于它的相反數，所以零和隨意負數

都是方程的解，即本題的答案為D。

例5.（非負性）已知|ab—2|及|〃一1|互為相互數，試求下式的值.

1111

1+''+''+,?+''

ab（Q+1）他+1）（〃+2）僅+2）（4+2007）（2+2007）

分析：利用肯定值的非負性，我們可以得到:|ab-2|=|a-l|=0,解得：a=l,b=2

于是1?1?1?+_________1_________

^~cib（4十1）（.十1）（a十2）（〃十2）（a十2007）（〉十2007）

=—+----+-----+…+------------

22x33x42008x2009

1111111

=----1-------------1-------------1-H-------------------------

2233420082009

=1———

2009

2008

~2009

在上述分數連加求和的過程中，我們采納了裂項的方法，奇妙得出了最終的結果.同學們可以再深

2x44x66x82008x2010

假如題目變成求值，你有方法求解嗎？有愛好的同學可以

在課下接著探究。

例6.(距離問題)視察下列每對數在數軸上的對應點間的距離4及一2,3及5,-2及-6,-4

及3.

并回答下列各題：

(1)你能發(fā)覺所得距離及這兩個數的差的肯定值有什么關系嗎？答：相等.

(2)若數軸上的點A表示的數為x,點B表示的數為一1,則A及B兩點間的距離

可以表示為.|x-(-l)|=|x+l|

分析?：點B表示的數為-1,所以我們可以在數軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可

以表示隨意有理數，所以點A可以位于數軸上的隨意位置。那么，如何求出A及B兩點間的

距離呢？

結合數軸，我們發(fā)覺應分以下三種狀況進行探討。

X70-IX0-I0X

當x<T時，距離為-xT,當-l<x<()時，距離為x+1,當x>0,距離為x+1

綜上，我們得到A及B兩點間的距離可以表示為|x+\|

(3)結合數軸求得4―2|+卜+3]的最小俏為5,取得最小俏忖工的取值范圍為-3WxW2.

分析：|工一2|即x及2的差的肯定值，它可以表示數軸上x及2之間的距離。

\x+3|=|x-(-3)|即x及-3的差的肯定值，它也可以表示數軸上x及-3之間的距離。

如圖，x在數軸上的位置有三種可能：

11

--------------->------------------------------------群----1_?-----<-------------------------+

-32-3x2-32x

圖1圖2圖3

圖2符合題意

(4)滿意,+1|+,+4]>3的x的取值范圍為x<-4或x>.l

分析：因為ar，+人工3+cx-6=8

當x=-2時，-25。一230一2。-6二8得到2'。+238+2。+6=—8,

所以25Q+26+2c=-8-6=-14

當x=2時，ar'+bx3+cx-6=2V/+23/?+2c-6=（-14）-6=-20

例3.當代數式/+3x+5的值為7時，求代數式3/+9x—2的值.

分析：視察兩個代數式的系數

由％2+3工+5=7得工2+3工=2,利用方程同解原理，得3JJ+9X=6

整體代人，3X2+9X-2=4

代數式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法須要我們敏捷逑馭，整體

代人的方法就是其中之一。

例4.已知a21a1=0,求4312a2?2007的值.

分析：解法一（整體代人）：i^a2+a-]=0得/+/一。=0

所以：

解法二（降次）：方程作為刻畫現實世界相等關系的數學模型，還具有降次的功能。

由a?+a—1=0,得Q?=1—。，

所以：c『+2c/+2007

=a2a+2a2+2007

=（l-a）a+2/+2007

=a-a2+2a2-v2007

=a-\-a2+2007

=1+2007

=2008

解法三（降次、消元）：a2+a=\（消元、、減項）

/+2/+2()()7

M+Y+Y+2007

=a(a2+a)+/+2007

=a+a2+2007

=I+2007

=2008

例5.(實際應用)A和B兩家公司都打算向社會聘請人才，兩家公司聘請條件基本相同，只有工資

待遇有如卜差異：A公司，年薪一力元，每年加，齡，資200元；B公司，半年薪五千兀，每半年

加工齡工資50元。從收入的.侑度考慮，選擇哪家公司有利？

分析：分別列出第一年、其次年、第n年的實際收入(元)

第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050

其次年：A公司10200；B公司5100+5150=10250

第n年:A公司10000+200(n-l)；

B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]

=10050+200(n-l)

由上可以看出B公司的年收入恒久比A公司多50元，如不細心考察很可能選錯。

例6.三個數a、b、c的積為負數，和為正數，且工=：+3+2+回+園+㈣，

\a\\b\|c|abacbe

則axy+bx2+ex+1的值是

解：因為abc<0,所以a、b、c中只有一個是負數，或三個都是負數

又因為a+b+c>0,所以a、b、c中只有一個是負數。

不妨設a<0,b>0,c>0

則ab<0,ac<0,bc>0

所以x=l+l+l-l-l+l=0將x=0代入要求的代數式,得到結果為!<,

同理，當b<0,c<0時,x=0o

另：視察代數式A+A+A+—+—+—*交換a、b、c的位置，我們發(fā)覺代數式不變

|<?|abacbe

更，這樣的代數式成為輪換式，我們不用對a、b、c再探討。有愛好的同學可以在課下查閱資料，

看看輪換式有哪些重要的性質。

規(guī)律探究問題：

例7.如圖，平面內有公共端點的六條射線04OB,OC.OD,

OE,OF,從射線OA起先按逆時針方向依次在射線上寫出數字

1,2?3,4,5,6,7,

(1)“17”在射線上，

“2008”在射線___________上.

(2)若n為正整數，則射線OA上數字的排列規(guī)律可以用含n

的代數式表示為.

分析：OA上排列的數為：1,7,13,19,…

視察得出，這列數的后一項總比前一項多6,

歸納得到，這列數可以表示為6n-5

因為17=3X67,所以17在射線0E上。

因為2008=334X6+4=335X6-2,所以2008在射線0D上

例8.將正奇數按下表排成5歹U：

第一列其次列第三列第四列第五列

第一仃1357

其次行1513119

第三行17192123

第四行31292725

依據上面規(guī)律，2007應在

A.125行,3列B.125行，2列C.251行,2列D.251行,5列

分析：視察其次、三、四列的數的排列規(guī)律，發(fā)覺第三列數規(guī)律簡潔找尋

第三列數：3,11,19,27,規(guī)律為8n-5

因為2007=250X8+7=251X8-1

所以，2007應當出現在第一列或第五列

又因為第251行的排列規(guī)律是奇數行，數是從其次列起先從小到大排列,

所以2007應當在第251行第5列

例9.（2006年嘉興市）定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n

為偶數時，結果為F（其中k是使F為奇數的正整數），并且運算重復進行.例如，取n=26,

則：

...

1—1第一次1—1其次次1—1第三次1——1

若n=449,則第449次“F運算”的結果是__________.

n

分析：問題的難點和解題關鍵是真正理解“F”的其次種運算，即當n為偶數時，結果為彳（其中k

n

是使F為奇數的正整數），要使所得的商為奇數，這個運算才能結束。

449奇數，經過“F①”變?yōu)?352；1352是偶數，經過“F②”變?yōu)?69,

169是奇數，經過“F①”變?yōu)?12,512是偶數，經過“F②”變?yōu)?,

1是奇數，經過“F①”變?yōu)?,8是偶數，經過“F②”變?yōu)?,

我們發(fā)覺之后的規(guī)律了，經過多次運算，它的結果將出現1、8的交替循環(huán)。

再看運算的次數是449,奇數次。因為第四次運算后都是奇數次運算得到8,偶數次運算得到1,

所以，結果是8。

三、小結

用字母代數實現了我們對數相識的乂一次飛躍。希望同學們能體會用字母代替數后思維的擴展,

體會一些簡潔的數學模型。體會由特殊到i般，再由一般到特殊的重要方法。

第三講：及一元一次方程有關的問題

一、學問回顧

一元一次方程是我們相識的第一種方程，使我們學會川代數解法解決一弊用算術解法不簡潔解

決的問題。一元一次方程是初中代數的重要內容，它既是應前面所學學問一一有理數部分的鞏固和

深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數等內容打下堅實的基礎。

典型例題：

二、典型例題

例1.若關于X的一元一次方程=1的解是x=-l,則k的值是（）

2,13

A.—B.1C.——D.0

711

分析：本題考查基本概念“方程的解”

因為X=-l是關于X的一元一次方程=1的解，

2x（—1）—k—\—3k13

所以-----------+--------=1,解得k=—-

3211

例2.若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？

分析：題中出現了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數x,所以可以解這個方程求得x的值；

其次個方程中有a及x兩個未知數，所以在沒有其他條件的狀況下，根本沒有方法求得a及x的值,

因此必需分析清晰題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得x代入其次

個方程，其次個方程也就轉化為一元一次方程了。

解：3x-5=4,3x=9,x=3

因為3x-5=4及方程的解相同

所以把x=3代人中

即得3-3a+3=0,-3a=-6,a=2

例3.（方程及代數式聯系）

a、b、c、d為實數，現規(guī)定一種新的運算.

（1）則的值為；（2）當時，x=.

分析：（1）即a=l,b=2,c=-l,d=2,

因為，所以=2-（-2）=4

（2）由得：10-4（1-x）=18

所以10-4+4x=18,解得x=3

例4.（方程的思想）如圖，?個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內裝有高4厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置,

墨水水面高為h厘米，則瓶內的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（）

不考慮瓶子的厚度.

h

A.B.C.-------D.

a+b

分析?：左右兩個圖中墨水的體積應當相等，所以這是個等積變換問題，我們可以用方程的思想解決

問題

解：設墨水瓶的底面積為S,則左圖中墨水的體積可以表示為Sa

設墨水瓶的容積為V,則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb

于是，Sa=V-Sb,V=S（a+b）

由題意，瓶內的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為

例5.小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在A窗口隊伍的里面，過

了2分鐘，他發(fā)覺A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且

B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。此時，若小李快速從A窗口隊伍轉移到B窗口后面重新排隊，

將比接著在A窗口排隊提前30秒買到飯，求起先時，有多少人排隊。

分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當于B窗口

前的隊伍每分鐘削減I人，

題中的等量關系為：小李在A窗口排隊所需時間二轉移到B窗口排隊所需時間+-

2

解：設起先時，每隊有x人在排隊，

2分鐘后，B窗口排隊的人數為：x-6X2+5X2=x-2

依據題意，可列方程：

去分母得3x=24+2（x-2）+6

去括號得3x=24+2x-4+6

移項得3x-2x=26

解得x=26

所以，起先時，有26人排隊。

課外學問拓展:

一、含字母系數方程的解法：

思索：=〃是什么方程？

在一元一次方程的標準形式、最簡形式中都要求aXO,所以公=/?不是一元一次方程

我們把它稱為含字母系數的方程-

例6.解方程

解：（分類探討）當aNO時，

當a=0,b=0時，即0x=0,方程有隨意解

當a=0,bWO時，即Ox=b,方程無解

即方程改=〃的解有三種狀況。

例7.問當a、b滿意什么條件時，方程2x+5-a=l-bx：（1）有唯一解；（2）有多數解；（3）無解。

分析：先解關于x的方程，把x用a、b表示，最終再依據系數狀況進行探討。

解：將原方程移項得2x+bx=l+a-5,合并同類項得：（2+b）x=a-4

當2+bO,即b-2時,方程有唯一解,

當2+b=0Ra-4=0時，即b=-2旦a=4時，方程有多數個解，

當2+b=0且a-4^0時,即b=-2且a關4時,方程無解，

例8.解方程

分析?：依據題意，abWO,所以方程兩邊可以同乘ab

去分母，得b(x-1)-a(I-x)=a+b

去括號，得bx-b-a+ax=a+b

移項，并項得(a+b)x=2a+2b

當a+bWO時，=2

當a+b=O時，方程有隨意解

說明：本題中沒有出現方程中的系數a=0,bWO的狀況，所以解的狀況只有兩種。

二、含肯定值的方程解法

例9.解卜列方程|51一2|=3

解法1：(分類探討)

2

當5x-2>0時，即x>—,5x-2=3?5x=5>x=l

5

2

因為x=i符合大前提。一，所以此時方程的解是X=1

9

當5x-2=0時，即x:一，得到沖突等式0=3,所以此時方程無解

5

?I

當5x?2<0時，即x<—,5x-2=-3,x=-----

55

12I

因為X=--符合天前提XV—,所以此時方程的解是x=—-

555

綜上，方程的解為X=1或X=-1

5

注：求出x的值后應留意檢驗x是否符合條件

解法2：(整體思想)

聯想：|=3時，a=±3

類比：|5x—2|=3,則5x-2=3或5x-2=-3

解兩個一元一次方程，方程的解為x=lB￡X=-1

例10.解方程

解：去分母2|x-11-5=3

移項2|x-l|=8

|x-l|=4

所以x-1=4或x-l=-4

解得x=5或x=-3

例H.解方程|x-l|=-2x+l

分析：此題適合用解法2

2

當x?l>0時,EPx>l,x-l=-2x+l,3x=2,x=—

3

2

因為x二一不符合大前遑x>l,所以此時方程無解

3

當x-l=O時，即x=l,0=-2+1,0=-1,此時方程無解

當x-lvO時，即xvl,l-x=-2x+l,x=0

因為x=0符合大前提x<l,所以此時方程的解為x=0

綜上，方程的解為x=。

三、小結

1、體會方程思想在實際中的應用

2、體會轉化的方法，提升數學實力

第!1!講：圖形的初步相識

一、相關學問鏈接：

1.相識立體圖形和平面圖形

我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、?員錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何

體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓

2.立體圖形和平面圖形關系

立體圖形問題經常轉化為平面圖形來探討，經常會采納卜.面的作法

（1）畫出立體圖形的三視圖

立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的

三個平面圖形。

（2）立體圖形的平面綻開圖

常見立體圖形的平面綻開圖

圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）

二、典型問題：

（一）正方體的側面綻開圖（共十一種）

分類記憶：

第一類，中間四連方，兩側各一個，共六種。

其次類，中間三連方，兩側各有一、二個，共三種。

第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有一種。

第四類，兩排各三個，只有一種。

基本要求：

1.在右面的圖形中是正方體的綻開圖的有（C）

（A）3種（B）4種（C）5種（D）6種

2.下圖中，是正方體的綻開圖是（B）

ABCD

3.如圖四個圖形都是由6個大小相同的正方形組成，其中是正方體綻開圖的是（D）

A.①②③B.②③④C.@@@D.①②④

較高要求：

4.下圖可以沿線折疊成一個帶數字的正方體，每三個帶數字的面交于正

方體的

一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數字之和最小是（A）

A.7B.8C.9D.10

5.一個正方體的綻開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數并且相對

兩個面所寫的兩個數之和相筆，那么a+b-2c=（B）

A.40B.38C.36D.34

分析：由題意8+a=b+4=c+25

所以b=4+ac=a-l7

所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38

6.將如圖所示的正方體沿某些棱綻開后，能得到的圖形是（C）

A.B.C.D.

7.下圖是某一立方體的側面綻開圖，則該立方體是D)

CD

還原正方體，正確識別正方體的相對面。

（二）常見立體圖形的平面綻開圖

9.下面是四個立體圖形的綻開圖，則相應的立體圖形依次是（A）

A.正方體、圓桂7三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱

C.正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐

10.下列幾何體中是棱錐的是（B)

11.如圖是一個長方體的表面綻開圖，每個面上都標注了字母，請依據要求回答問題:

（1）假如A而在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？

（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若C面

在右面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）

答案：（1）F；（2）C,A

（三）立體圖形的三視圖

12.如圖，從正面看可看到△的是（C)

13.對右面物體的視圖描繪錯誤的是（

(A)（D）

15.如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個

幾何體的小正方體的個數是（

A.3B.4

C.5D.6

左視圖俯視圖

（四）新奇題型

16.正方體每一面不同的顏色對應著不同的數字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方

體，那么長方體的下底面數字和為.

分析：正面一黃，右面一紅，上面一藍，后面一紫，下面一白，左面一綠

所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫

數字和為：4+6+2+5=17

17.視察下列由棱長為1的小正方體擺成的圖形，找尋規(guī)律，如圖⑴

所示共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖⑵所示：

共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見：如圖⑶所示：共有27個小立方體，其中19個

看得見，8個看不見……（1）寫出第⑹個圖中看不見的小立方體有125個:（2）猜想并寫出第（刑

個圖形中看不見的小立方體的個數為（nJ"個.

分析：

11=10=01234

28=23l=p

327=338=23

464=4327=33

n3(n-1)3

第五講：線段和角

一、學問結構圖

二、典型問題:

(-)數線段一一數角一一數三角形

問題1、直線上有n個點，可以得到多少條線段？

分析：點線段

21

33=1+2

46=1+2+3

510=1+2+3+4

615=1+2+3+4+5

n1+2+3+…+(n-l)=

問題2.如圖，在內部從。點引出兩條射線OC、0D,則圖中小于平角的角共有(D)個

(A)3(B)4(C)5(D)6

拓展：1、在NA08內部從。點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？

射線角

13=1+2

26-1+2+3

310=1+2+3+4

n1+2+3+…+(n+1)=

類比：從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個?

射線角

21

33=1+2

46=1+2+3

510=1+2+3+4

n1+2+3+,,,+(n-l)=

類比聯想：如圖，可以得到多少三角形？

(-)及線段中點有關的問題

線段的中點定義：

文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點

圖形語言：

幾何語言：???M是線段AB的中點

，，2AM=2BM=AB

典型例題：

1.由下列條件肯定能得到“P是線段AB的中點”的是(D)

(A)AP=-AB(B)AB=2PB(C)AP=PB(D)AP=PB=-AB

22

2.若點B在直線AC上，下列表達式：①；②AB=BC；③AC=2AB；@AB+BC=AC.

其中能表示B是線段AC的中點的有(A)

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.假如點C在線段AB上，下歹J表達式①AC二,AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中，能表示C是AB

2

中點的有(C)

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.己知線段尸是MV的中點，。是PN的中點，R是的中點，那么仁MN.

分析：據題意畫出圖形------y~-——?

MRPQN

設QN=x,貝iJPQ=x,MP=2x,MQ=3x,

3

所以，MR--x,則

2

5.如圖所示，B、C是線段AD上隨意兩點，M是AB的中點，N是CD中點，若MN=a,BC=b,

則線段AD的長是()

CUCC。<7>

AMBCND

A2(a-b)B2a-bCa+bDa-b

分析：不妨設CN=ND=x,AM=MB=y

因為MN=MB+BC+CN

所以a=x+y+b

因為AD=AM+MN+ND

所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b

（三）及角有關的問題

1.已知：一條射線。4,若從點。再引兩條射線05、OC,使NAO3=60。，N9c=20。,

則N/1OC=80°或40°________度（分類探討）

2.A、0、8共線，OM、ON分別為NAOC、的平分線，猜想NMON的度數，試證明你的

結論.M

猜想：90°

證明：因為OM、ON分別為/AOC、N30C的平分線Ao-B

所以NMOC二L/AOC,ZCON=-ZCOB

22

因為/MON=ZMOC+ZCON

所以NMON=，ZAOC+-ZCOB=-!-NAOB=90°

222

3.如圖，已知直線AB和CD相交于。點，NCOE是直角，O/平分N4OE,ZCOF=34,

求N3O3的度數.

分析：因為NCOE是直角，ZCOF=34,

所以NEOF=56°

因為。/平分/AOE

所以NAOF=56°

因為ZAOF=ZAOC+ZCOF

所以NAOC=22°

因為直線AB和CD相交于。點

所以N8OQ=/AOC=22°

4.如圖，BO、C。分別平分乙4BC和N4CB,

（1）若乙4二60。，求NO：

（2）若NA=100°,N。是多少？若NA=120°,NO又是多少？

（3）由（1）、（2）你又發(fā)覺了什么規(guī)律？當NA的度數發(fā)生變更后，你的結論仍成立嗎？

（提示：三角形的內角和等于180°）

答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）ZO=90°+-ZA

2

5.如圖，O是直線A3上一點,OC、OD、OE是三條射線,則圖中互補的角共有（B）對

（A）2（B）3（C）4（D）5

6.互為余角的兩個角（B）

（A）只和位置有關（B）只和數量有關

（C）和位置.、數品都有關（D）和位置.、數量都無關

7.已知Nl、N2互為補角，且則N2的余角是(C)

A.1(Z1+Z2)B.IziC.1(Z1-Z2)D.1Z2

2222

分析：因為Nl+N2=180°,所以(Z14-Z2)=90°

2

90°-Z2=l(Z1+Z2)-Z2=l(Z1-Z2)

22

第六講：相交線及平行線

一、學問框架

條

交兩

線

線直

第

被

條

三同位角、內錯角、同旁內角

線

直

也

所

rhl

判定

平行公理

平

行性質

線

平移

二、典型例題

1.下列說法正確的有（B）

①對頂角相等;②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等,則這兩個角肯定不是對頂角；

④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖所示，下列說法不正確的是（D）

A.點B到AC的垂線段是線段AB;B.點C到AB的垂線段是線段AC

C,線段AD是點D到BC的垂線段；D.線段BD是點B到AD的垂線段

3.下列說法正確的有（C）

①在平面內，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；

②在平面內，過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線；

③在平面內，過一點可以隨意畫一條直線垂直于已知直線；

④在平面內，有且只有一條直線垂直于已知直線.

A.1個B.2個C.3個D.4個F

CD

4.一學員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向及原來的方向相同，/---------

這兩次拐彎的角度可能是（A）入--------------/E

A.第一次向左拐30°其次次向右拐30°B.第一次向右拐50°其次次向左拐130。

C.第一次向右拐50°其次次向右拐130°I）.第一次向左拐50°其次次向左拐130°

5.如圖，若AC_LBC于C,CD_LAB于D,則下列結論皆定哆》的是（C）

A.CD>ADB.AC<BCC.BOBDD.CD<BD/I

3-------Q-----------------------

分析：考察垂線段的性質、基本圖形一一“雙垂直”圖形D

6.如圖，已知AB〃CD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG?平分NBEF,若Nl=72°,卜力口

則N2=54。./\

7.如圖,AB〃EF〃CD,EG〃BD,則圖中及N1相等的角（N1除外）共有（C）C--A―4一D

A.6個B.5個C.4個I）.3個/

8.如圖，直線L、L、L交于。點,圖中出現了幾對對頂角，若n條直線相交呢？

答案：3對，n（n+l）

9.如圖，在4x4的正方形網格中，ZLZ2,N3的大小關系是

答案：Z1=Z2>Z3

10.如圖所示,L,Lz,L3交于點0,N1=N2,N3:/l=8:l,求N4的度數.（方程思想）

答案：36°

11.如圖所示，已知AB〃卬，分別探究下列四個圖形中NP及NA,NC的關系，請你從所得的四個

關系中任選一個加以說明.

(3)(4)

(1)分析：過點P作PE//AB

NAPE+/A+NC=360°

(2)ZP=ZA+ZC

(3)ZP=ZC-ZA,

(4)ZP=ZA-ZC

12.如圖.若AR〃EF,ZC=90°,求x+y-7度數八

分析：如圖，添加協助線

證出：x+y-z=90°

13.己知：如圖，尸—180°,Zl=Z2

求證：ZE=ZF

分析：法一

法二：由AB//CD證明NPAB=/APC,

所以NEAP=/APF

所以AE//FP

所以NE=NF

第七講：平面直角坐標系

一、學問要點：

1、特殊位置的點的特征

（1）各個象限的點的橫、縱坐標符號

（2）坐標軸上的點的坐標：x軸上的點的坐標為（其0）,即縱坐標為0;

y軸上的點的坐標為（0,y）,即橫坐標為0;

2、具有特殊位置的點的坐標特征

設耳（和必）、8（工2,為）

4、2兩點關于x軸對稱=項=%，且y=一力；

4、8兩點關于）'軸對稱=用=一%2，且弘=>2；

4、尸2兩點關于原點軸對稱。芭二一X2，且凹=一乂。

3、距離

（1）點A（x,y）到軸的距離：點A到x軸的距離為lyl；點A到y軸的距離為|工|；

（2）同一坐標軸上兩點之間的距離：

A（40）、B%,0），則43=|工八一.%|；A。）。）、B（0,%），則48=|以一打1；

二、典型例題

1、已知點M的坐標為（x,y）,假如xy<0,則點M的位置（）

（A）其次、第三象限（B）第三、第四象限

(C)其次、第四象限(D)第一、笫四象限

2.點P(m,1)在其次象限內，則點Q(-m,0)在()

A.x軸正半軸上B.x軸負半軸上C.y軸正半軸上I),y釉負半軸上

3.已知點A(a,b)在第四象限，那么點B(b,a)在()

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

4.點P(1,-2)關于y軸的對稱點的坐標是()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-2,1)

5.假如點M(1-x,1-y)在其次象限，那么點N(1-x,y-l)在第象限，

點Q(x-1,1-y)在第象限。

6.如圖是中國象棋的一盤殘局，假如用(4,o)表示帥的位置,

用(3,9)表示將的位置，那么炮的位置應表示為

A.(8,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(8,8)

7.在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、

(5,0),(2,3)則頂點C的坐標為()

A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2)

8.已知點P(x,國)，則點P肯定()

A.在第一象限B.在第一或第四象限C.在x軸上方D.不在x軸下方

9.已知長方形ABCD中，AB=5,BC=8,并且AB〃x軸，若點A的坐標為(-2,4),則點C的坐

標為(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)°

10.三角形ABC三個頂點的坐標分別是A(-4,-1),B(1,1),C(-1,4),將三角形ABC向右平

移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標是(C)

A.(2,2),(3,4),(1,7)B.(-2,2),(4,3),(1,7)

C.(-2,2),(3,4),(I,7)I).(2,-2),(3,3),(1,7)

11.“若點P、Q的坐標是(xi,y。、(x2,y2),則線段PQ中點的坐標為(，).”

己知點A、B、C的坐標分別為(-5,())、(3,0)、(1,4),利用上述結論求線段AC、BC的中點

D、E的坐標，并推斷DE及AB的位置關系.

解：由“中點公式”得D(-2,2),E(2,2),DE〃AB.

12.如圖，在平面直角坐標系中，A點坐標為(工4),將04繞原

點O逆時針旋轉90得到OA,則點A的坐標是()

A.(-4,3)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(4,-3)

分析：

13.如圖，三角形AOB中，A、B兩點的坐標分別為(-4,

(-6,-3),求三角形A0B的面積

解：做協助線如圖.

A

SAAOB=S臨形BCDO-(S△ABC+SAOAD)

=1X(3+6)X6-(-X2X3+-X4X6)=27-(3+12)=12.!'

222

14.如圖，四邊形ABCD各個頂點的坐標分別為

(-2,8),(-11,6),(-14,0),(0,0)?

(1)確定這個四邊形的面積,你是怎么做的？

(2)假如把原來ABCD各個頂點縱坐標保持不變,''：'M2.B>

橫坐標增加2,所得的四邊形面積又是多少？

分析:

田C%E.F

????

(1)80(2)面積不變

15.如圖，已知由(1,0)、限(1,1)、A3(-1,1)、A.(-1,-1)、

As(2,T),…，則點A即的坐標為______________________.

答案：(-502,502)

第八講：及三角形有關的線段

一、相關學問點

1.三角形的邊

三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊

即：z^ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（兩點之間線段最短）

由上式可變形得到：a>c—b.b>a—c,c>b—a

即有：三角形的兩邊之差小于第三邊

2.高

由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。

3.中線：

連接三角