專題23二次函數(shù)中的交點問題

?知識對接

考點一、直線與拋物線的交點

（I）y軸與拋物線y+c得交點為（0,c）.

（2）與y軸平行的直線x=〃與拋物線），=0￥?+bx+c有且只有一個交點（力,?！?+bh+c）.

（3）拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)），naY+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)修、打，是對應(yīng)一元二次方程

分2+尿+。=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式

判定：

①有兩個交點o△〉0<=>拋物線與X軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）=拋物線與/軸相切：

③沒有交點?！?lt;0O拋物線與工軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐

標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax2-￥bx+c=k的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)y=kx+n（k/0）的圖像/與二次函數(shù)），=ax1+/zr+*0）的圖像G的交點，由方程

y=kx+n”

組,]的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時。/與G有兩個交點;②方程

y=ax~+〃士+c

組只有一組解時。/與G只有一個交點；③方程組無解時o/與G沒有交點.

（6）拋物線與九軸兩交點之間的距離：若拋物線），=〃/+以+6,與x軸兩交點為A（x，018卜，0），

由于用、￡是方程口爐+縱一。=0的兩個根，故

bc

X]+占=——，X].X,=—

a~a

AB=|xI-x|=I2=J（陽一%）2_4g==TV

27U-^2）"J："。

VICi）a\a\\a\

______專項訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，已知拋物線尸/+辰+M-0）的對稱軸為直線x=l,與X軸的一個交點坐標(biāo)為其部分圖

象如圖所示.下列結(jié)論：①方程?+次:+c=0的兩個根是再=T，勺=3；②a-b+c=（）；③8a+c<0；

④當(dāng)），:>0時，x的取值范圍是?l<x<3.其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

2.將拋物線），=9+2加計〃產(chǎn)-1向左平移8個單位，平移后的拋物線對稱軸為直線x=l,則平移后的拋物線

與y軸的交點坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（0,4）C.（0,15）D.（0,16）

3.二次函數(shù)），=a^+〃x+c（存0）的圖象與x軸的兩個交點橫坐標(biāo)為-2,xo,且滿足（a+b+c）（4a+2b+c）

V0,與y軸的負(fù)半軸相交，拋物線經(jīng)過點A（-1,yi）,4（-專，”），C（1,戶），正確結(jié)論是（）

A.y^>y2>y\B.>'3>yi>.V2C.y\>y2>y^D.y\>y3>yi

4.直線），=x+。不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的函數(shù)｝，=#+2什1與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.2個或3個

5.如圖，已知二次函數(shù)y=or2+阮+c（g0）的圖象與“軸交于點4（-1,0）,與），軸的交點8在（0,-2）

和（0,-1）之間（不包含這兩點），對稱軸為直線x=l.在下列結(jié)論中：

12

①油c>0：②16a+4/7+cV0：③4ac-Z?2V8。：<a<y：⑤力Vc.正結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖是拋物線y=ad+4+。（8o）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)4（1,3）,與x軸的一個交點8（4,

0），有卜列結(jié)論：①2a十。=0；②欣>0；③方程M十隊+c=2有兩個不相等的實數(shù)根；④當(dāng),〈OR寸，-2

<A<4,⑤62+12a=4ac.其中正確的個是（）

A.2B.3C.4D.5

7.如圖為某二次函數(shù)的部分圖像，有如下四個結(jié)論：①此二次函數(shù)表達(dá)式為丁=。爐?工+9：②若點8（-

1,〃）在這個二次函數(shù)圖像上，則〃,加；③該二次函數(shù)圖像與x軸的另一個交點為（-4,0）；④當(dāng)OVx

V5.5時，,?<>-<8.所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.??C.②③D.②④

8.已知拋物線y=a（x—獷+攵與x軸有兩個交點A（TO）,8（3,0）,拋物線），=°（x—/?—〃"+&與x軸的

一個交點是（4,0）,則〃?的值是（）

A.5B.-1C.5或1D.-5或一1

9.若拋物線y=Y+云+。與x軸兩個交點間的距離為爾對稱軸為工=2,尸為這條拋物線的頂點，則點P

關(guān)于X軸的對稱點的坐標(biāo)是()

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,T)D.(2,Y)

10.如圖，拋物線產(chǎn);(x-6尸-2與x軸交于點A、B,把拋物線在x軸及其下方的部分記作G，將C1向左

平移得到G，G與X軸交于點&0,若直線y=與G、G共有3個不同的交點，則機(jī)的取值范圍是

()

A.-3<rn<-2B.----<m<—2C.-5<tn<-2D.-----<fJi<-2

88

二、填空題

11.定義：若拋物線與x軸有兩個交點，且這兩個交點與它的頂點所構(gòu)成的三角形是直角三角形，則把這種

拋物線稱作“和美拋物線”.如圖,一組拋物線的頂點3(1,剃),&(2,”),明(3,g)，...&(〃,%)S為正

整數(shù))依次是直線上的點，這組拋物線與X軸正半軸的交點依次是4(0,0),小(。2,0),AMS,

0),…4”+1(%向，0)〃為正整數(shù)).若這組拋物線中存在和美拋物線，則s=—.

12.已知二次函數(shù))，=-/+4工+5,它的圖象與X軸的交點坐標(biāo)為.

13.已知拋物線y=飯+C(，H。)與X軸的一個交點坐標(biāo)為(3,0),對稱軸為直線x=l,則關(guān)于工的一元

二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的根是.

14.我們把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”.如圖，A、B、C、。分別是某蛋圓和坐

標(biāo)軸的交點其中拋物線的解析式為尸9-2x-3,則“蛋圓”的弦CD的長為—.

15.關(guān)于拋物線y=ad-2x+l（"0）,給出下列結(jié)論：①當(dāng)公。時，拋物線與直線y=2x+2沒有交點；②

若拋物線與x軸有兩個交點，則其中一定有一個交點在點（0,0）與（I,0）之間；③若拋物線的頂點在

點（0,0）,（2,0）,（0,2）所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則a.l.其中正確結(jié)論的序號是.

三、解答題

16.已知關(guān)于X的二次函數(shù)丁=2&_4"+4+1（攵>0）,

（1）若二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，求氏的取值范圍；

（2）若P（〃?,〃）和“（-30）是拋物線上兩點，且〃求實數(shù)，〃的取值范圍；

（3）若8（c+l,〃）和C（G5）是拋物線上兩點，試比較力和s的大小.

17.定義：若一次函數(shù)y=奴+〃（"0）與反比例函數(shù)），=￡（。/0）滿足a+c=&,則我們把函數(shù)

x

），=然2+加+。稱為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“附中函數(shù)”.

9

（1）一次函數(shù)N=3X+6與反比例函數(shù)），=2是否存在“附中函數(shù)”？如果存在，寫出其“附中函數(shù)”，如果不

x

存在，請說明理由.

（2）若一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=￡（CHO）存在“附中函數(shù)”，且該“附中函數(shù)”的圖象與直線

X

y=2x+7有唯一交點，求方，c的值.

（3）若一次函數(shù)），=火+。（?>0）與反比例函數(shù)），=-反（CHO）的“附中函數(shù)”的圖象與x軸有兩個交點

X

分別是A（3，0）,B（h,0）,其中點C（3,4）,求△A8C的面積SAA”的變化范圍.

18.已知拋物線）=g/-2x.

（1）求這個函數(shù)的最大值或最小值，并寫出函數(shù)）'取得最大值或最小值時相應(yīng)的自變量工的值.

（2）求該拋物線與工軸的交點坐標(biāo)，并直接寫出當(dāng)時相應(yīng)的x的取值范圍.

19.已知拋物線y=f-(2〃?-l)x+4m-6.

（1）試說明：不論加取任何實數(shù)，該拋物線都經(jīng)過x軸上的定點4

（2）設(shè)該拋物線與x軸的另一個交點為B（A與8不重合），頂點為C,當(dāng)..AAC為直角三角形時，求加的

值；

（3）在（2）的條件下，若點8在A的右側(cè)，點。（0,3）,點￡是拋物線上的一點.問：在x軸上是否存在

一點「，使得以。，E,尸為頂點的三角形是等腰直角三角形，旦/母）b=90。，若存在，求少點的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

20.已知二次函數(shù)y=辦2+4公+。與x軸交于A,8兩點（其中A在8的左側(cè)），且八8=2.

5-

4_

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1。12345

-1

-2

-3

-4

-5

（1）拋物線的對稱軸是_____.

（2）求點A和點3坐標(biāo).

（3）點C坐標(biāo)為（-2.5,-4）,0（0,7）.若拋物線），=依2+4辦”與線段CD恰有一個交點，求〃的取值

21.已知拋物線y=aF+bx+c（〃、b、c為常數(shù),且.#0）

（1）若拋物線的對稱軸為x=3,若拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)比為I：2,求這兩個交點的坐標(biāo)；

（2）拋物線的頂點為點C,拋物線與x軸交點分別為4、B,若△ABC為等邊三角形，求證：^-4ac=12；

（3）若當(dāng)x>—1時，丁隨工的增大而增大，且拋物線與直線）：+c相切于點。，若收恒成

立，求。的取值范圍.

22.如圖，拋物線），=〃（x-2）2+3（〃為常數(shù)且存0）與y軸交于點A（0,g）.

J

（1）求該拋物線的解析式；

2

（2）若直線），=丘+：（以0）與拋物線有兩個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為X2,當(dāng)短+放2=10時.求力

的值；

（3）當(dāng)-4〈爛m時，y有最大值亍，求〃?的值.

23.現(xiàn)有牌面編碼為-1,1,2的三張卡片，背面向上，從中隨機(jī)抽取一張卡片，記其數(shù)字為2,將抽到的

f2。+。=&+1

卡片背面朝上，放回打亂后，再抽一張記其數(shù)字為〃2,則事件“關(guān)于。、b的方程組“'的解滿足0&

a+2b=2

-b<\,且二次函數(shù)y=f-2x+〃?的圖象與％軸恰有2個交點”成立的概率為一.

專題23二次函數(shù)中的交點問題

?知識對接

考點一、直線與拋物線的交點

（I）y軸與拋物線y+c得交點為（0,c）.

（2）與y軸平行的直線x=〃與拋物線），=0￥?+bx+c有且只有一個交點（力,?！?+bh+c）.

（3）拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)），naY+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)修、打，是對應(yīng)一元二次方程

分2+尿+。=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式

判定：

①有兩個交點o△〉0<=>拋物線與X軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）=拋物線與/軸相切：

③沒有交點?！?lt;0O拋物線與工軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐

標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax2-￥bx+c=k的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)y=kx+n（k/0）的圖像/與二次函數(shù)），=ax1+/zr+*0）的圖像G的交點，由方程

y=kx+n”

組,]的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時。/與G有兩個交點;②方程

y=ax~+〃士+c

組只有一組解時。/與G只有一個交點；③方程組無解時o/與G沒有交點.

（6）拋物線與九軸兩交點之間的距離：若拋物線），=〃/+以+6,與x軸兩交點為A（x，018卜，0），

由于用、￡是方程口爐+縱一。=0的兩個根，故

bc

X]+占=——，X].X,=—

a~a

AB=|xI-x|=I2=J（陽一%）2_4g==TV

27U-^2）"J："。

VICi）a\a\\a\

_____專項訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，已知拋物線尸“+辰+M"。)的對稱軸為直?線x=i,與x軸的一個交點坐標(biāo)為(TO),其部分圖

象如圖所示.下列結(jié)論：①方程?+次:+c=O的兩個根是再=T，勺=3；②a-b+c=()；③8a+c<0；

④當(dāng))，:>0時，x的取值范圍是?l<x<3.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()

【答案】D

【分析】

利用拋物線的對稱性得到拋物線與大軸的一個交點坐標(biāo)為(3,()),則可對①進(jìn)行判斷；由對稱釉方程得到

b=-2a,然后根據(jù)L1時函數(shù)值為0可得到3a+c=0,則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對④進(jìn)行判

斷.

【詳解】

解：???拋物線的對稱軸為直線x=l,

而點(-1,0)關(guān)于直線x=l的對稱點的坐標(biāo)為(3,0),

方程ax2+hx+c=O的兩個根是“產(chǎn)-1,X2=3,所以①正確；

當(dāng)戶-1時，)=0,HRa-b+c=O；故②正確，

-=1,即h=-2a,

2a

而k-1時，)=0,BPa-b+c=O,

.\a+2a+c=0,

:.3a+c=0,

???拋物線的開口向下，

.\6<0,

?FaVO,

A8?+c＜0；故③正確；

當(dāng)），＞0時，函數(shù)圖象在x軸的上面，

?"x的取值范圍是」＜xV3；故④正確；

故選D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握對于二次函數(shù)尸aF+bx+c（〃#））,二次項系數(shù)〃決定

拋物線的開口方向和大小：當(dāng)。＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)〃和

二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)4與〃同號時（即必＞0）,對稱軸在），軸左；當(dāng)。與b異號時（即

ab〈O）,X寸稱軸在），軸右；常數(shù)項c決定拋物線與軸交點位置：拋物線與），軸交于（0,c）;拋物線與x

軸交點個數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個

交點；△*MacVO時,拋物線與工軸沒有交點.

2.將拋物線）=N+2/枇+加-|向左平移8個單位，平移后的拋物線對稱軸為直線x=1,則平移后的拋物線

與F軸的交點坐標(biāo)為（）

A.（0,0）B.（0,4）C.（0,15）D.（0,16）

【答案】A

【分析】

直接利用配方法將原式變形進(jìn)而得出平移后對稱釉，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：），=r+2〃a+"於-1

=（x+M2-1,

???將拋物線產(chǎn)爐+2心+加-1向左平移8個單位，平移后的拋物線對稱軸為直線x=l,

???）：=（x+〃?+8）2-1,

貝ljx=-m-8=1,

故y=（jr-1）2-I=x2-2x,

當(dāng)產(chǎn)0時，y=0

則平移后的拋物線與），軸的交點坐標(biāo)為（0,0）.

故選：A.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的平移以及二次函數(shù)與y軸的交點，解題關(guān)鍵是熟練掌握平移的步驟以及求與），軸交點

的方法.

3.二次函數(shù)），=紗2+力x+c（存0）的圖象與x軸的兩個交點橫坐標(biāo)為-2,X0,且滿足（a+〃+c）（4a+2Hc）

VO,與），軸的負(fù)半軸相交，拋物線經(jīng)過點人（-I,yi）,R（一旦,戶），C（I,”），正確結(jié)論是（）

2

A.B.>'3>yi>>,2C.y\>y2>y3D.y\>y3>yi

【答案】B

【分析】

由二次函數(shù)產(chǎn)a出也t+c（存0）的圖象與x軸的兩個交點橫坐標(biāo)為-2,助，且滿足（〃+/7+c）（4a+2〃+c）<0,

得出1VXOV2,對稱軸在-;和0之間，畫圖，根據(jù)拋物線的對稱性判斷"，”，”的大小.

【詳解】

解：???二次函數(shù)）=，/+法+。（火0）的圖象與工軸的兩個交點橫坐標(biāo)為-2,xo,且滿足（a+）+c）（4a+2b+c）

<0,

???戶1對應(yīng)的函數(shù)值與尸2對應(yīng)的函數(shù)值互為異號，

/.l<xo<2,

???對稱軸在和o之間，

???拋物線與y軸的負(fù)半軸相交，

：,a>0,

如圖所示，

?.?—立距離對稱軸最近，其次是一|,最后是1,

2

.\y2<y\<yi,

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，從開口方向、對稱軸、與X軸（），軸）的交點

進(jìn)行判斷.

4.直線不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的函數(shù)y="2+2_r+l與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.2個或3個

【答案】D

【分析】

根據(jù)直線產(chǎn)X+]不經(jīng)過第二象限，得到把0,再分兩種情況判斷函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點情況.

【詳解】

解：???直線）f+a不經(jīng)過第二象限，

*.*函數(shù)y=ax2+2x+1,

當(dāng)〃=0時，一次函數(shù)y=2x+l與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為2,,

當(dāng)go時二次函數(shù)丁=加+2%+1與），軸交點為（0,1）,

???丫=力2-4。。=4-4。>0,

，二次函數(shù)丁=0^+2]+1與工軸有兩個交點，

???當(dāng)?<0時二次函數(shù)），=&「+2工+1與坐標(biāo)軸有3個交點，

綜上，函數(shù)y=ax2+2x+1與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是2個或3個，

故選:D.

【點睛】

此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點個數(shù)，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與

坐標(biāo)軸交點個數(shù)的判斷方法，注意易錯點是。的取值范圍分類訶論.

5.如圖，已知二次函數(shù)尸ad+bx+c（g0）的圖象與x軸交于點A（-1,0）,與），軸的交點8在（0,-2）

和。，-1）之間（不包含這兩點），對稱軸為直線x=l.在下列結(jié)論中：

12

①a"c>0；@\6a+4b+c<0；③4ac-b2V8a；<a<—；⑤力Vc.正結(jié)論的個數(shù)為（）

J1

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置.、與工軸的交點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)等知識，逐個判斷即可.

【詳解】

拋物線開口向上，因此。>0,對稱軸為.1=1>0,4、b異號,故/Y0,與)，軸的交點B在(0,-2)和(0,

?1)之間，即-2VcV-l,所以a/?c>0,故①正確；

拋物線x軸交于點A(-1,0),對稱軸為x=l,因此與x軸的另一個交點為(3,0),當(dāng)44時，尸16a+4/2+c

>0,所以②不正確；

由對稱軸為尸1，與)，軸交點在(0，-2)和(0,-1)之間，因此頂點的縱坐標(biāo)小于-1,即。Qv-

4a

1,也就是4“c--4a,又a>0,所以4ac-b2V8a是正確的，故③是正確的；

由題意可得，方程a^+^r+c-O的兩個根為x\=-I,X2=3,又,即c=-3a,而-2VcV-1,也就是

a

i2

-2<-3a<.-1?因此，〈〃〈工，故④正確；

拋物線過(-1,0)點，所以4-。+。=0,即a=A-c,又。>0,即〃-c>0,得。,c,所以⑤不正確，

綜上所述，正確的結(jié)論有三個：①③④，

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握。、反。的值決定拋物線的位置以及二次函數(shù)與一元二次方程的

關(guān)系，是正確判斷的前提，本題綜合性較強(qiáng)，考查了學(xué)生對概念的理解以及知識應(yīng)用的能力.

6.如圖是拋物線+灰+c(辦0)圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)4(1,3),與x軸的一個交點8(4,

0),有下列結(jié)論：?2a+b=0；②欣>0；③方程加+隊+c=2有兩個不相等的實數(shù)根；④當(dāng),Y0時，-2

<A<4,⑤〃+i2a=4ac.其中正確的個是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

利用圖象確定出a,b,。的符號，利用頂點坐標(biāo)可得-3=1,包。"=3；利用點3的坐標(biāo)和拋物線的對

2a4a

稱軸可得拋物線與x軸的另一個交點為（-2,0）；利用上述結(jié)論結(jié)合拋物線的圖象，對每一個結(jié)論進(jìn)行逐

一判斷，得出正確選項.

【詳解】

解：；拋物線的開口向下,

?.?拋物線與y軸的正半軸相交，

???拋物線的頂點坐標(biāo)A（1,3）,

.b4ac-b2

??--=1,-----=3；

2a4a

'.b=-2a,b>0,4ac-b2=\2a.

①]?=-2a,

:.2a+b=0.

故①正確；

②YaVO,/?>0,c>0,

abc<0.

故②錯誤；

③1?拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3）.aV0,

/.>=ar+Z?x+c有最大值為3,

2

???拋物線6+c與直線y=2有兩個交點，即方程ax^c=2有兩個不相等的實數(shù)根.

故③正確；

④：拋物線的對稱軸為直線X=l,拋物線與X軸的一個交點B（4,0）,

工拋物線與4軸的另一個交點B（-2,0）.

??ZV0,

???拋物線在工軸的下方有兩部分，它們對應(yīng)的x的取值范圍是：x<-2或x>4.

:.當(dāng)｝,<0時，即ax2+bx+c<（）,對應(yīng)的x的取值范圍是；工<-2或x>4.

故④錯誤；

/.Aac=t>1+\2a.

故⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論有：①③⑤.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，根

的判別式.利用已知條件結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方法解答是解題的關(guān)鍵.

7.如圖為某二次函數(shù)的部分圖像’有如下四個結(jié)論：①此二次函數(shù)表達(dá)式為y=②若點8（-

1,〃）在這個二次函數(shù)圖像上，則〃>加；③該二次函數(shù)圖像與x軸的另一個交點為（?4,0）；④當(dāng)OVx

V5.5時，〃?VyV8.所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.@?

【答案】C

【分析】

①由頂點坐標(biāo)設(shè)出拋物線解析式，將點（8,0）代入解析式求解.②由圖象開口向下，對稱軸為直線42,

求出點48距離對稱軸的距離求解.③由圖象的對稱性可得，拋物線與x軸兩交點關(guān)于宜線卜2對稱，由

中點坐標(biāo)公式求解.④由圖象中（0,8）,（2,9）,（5.5,〃?）可得），的取值范圍.

【詳解】

解：①由圖象頂點(2,9)可得尸a(x-2)2+9,

將(8,0)代入產(chǎn)a(x-2)2+9得0=36a+9,

解得“:，

4

\=—(x-2)2+9=y=--x2+x+8,

44

故①錯誤.

@V5.5-2>2-(-1),

點A距離對稱軸距離大于點B距離對稱釉距離，

/.m<rh

故②正確.

③1?圖象對稱軸為直線m2,且拋物線與x軸一個交點為(8,0),

，圖象與x軸的另一交點橫坐標(biāo)為2X2-8=-4,

故③正確.

④由圖象可得當(dāng)戶0時,y=8,x=5.5時，y=m,x=2時，y=9,

，0VxV5.5時，

故④錯誤.

故選:C.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系.

8.已知拋物線y=a(x-獷+攵與工軸有兩個交點4(-1,0),5(3,0),拋物線y=a(x-加7+A與x軸的

一個交點是(4,0),則〃?的值是()

A.5B.-1C.5或1D.-5或一1

【答案】C

【分析】

將y二〃(工一〃J+Z往右平移m個單位后得至IJy=a(.r—〃一〃?『+A,由此即nJ求解.

【詳解】

解：比較拋物線y=a(x-h)2+k與拋物線y=a(x-h-m)2+k,

發(fā)現(xiàn)：將前一個拋物線往右平移〃?個單位后可以得到后一個拋物線的解析式,

■:y=a(x-〃-m)2+h與4軸的一個交點是(4,0),y=a(x-〃)2+&與X軸有兩個交點4(-1,0),8(3,0),

???當(dāng)前一個拋物線往右平移I個單位時，后一個拋物線與x軸的一個交點是(4,0),故〃?=1,

當(dāng)前一個拋物線往右平移5個單位時，后一個拋物線與x軸的一個交點是(4,0),故〃?二5,

故選：C.

【點^青】

本題考查二次函數(shù)的平移規(guī)律，左右平移時y值不變，x增大或減小，由此即可求解.

9.若拋物線y-d+bx+c與x軸兩個交點間的距離為4.對稱軸為x=2,0為這條拋物線的頂點，則點。

關(guān)于大軸的對稱點的坐標(biāo)是()

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,fD.(2,T)

【答案】A

【分析】

設(shè)拋物線與1軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(百,0)，(々，。)，”公＞玉，根據(jù)“兩個交點間的距離為人對稱軸為x=2”

建立方程可求小心的值，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得頂點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)

于、軸的對稱點的坐標(biāo)變換規(guī)律即可得.

【詳解】

解：設(shè)拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(內(nèi).0),(程。)，且電＞%，

屈一％=4c_0

由題意得："1+x?＞解得｛1'

-!—=2X,=4

2-

則拋物線與“軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(0,0),(4,0),

c=0b=4

將點L心A,解得《八，

16+4/?+c=0(c=0

則拋物線的解析式為y=x2-4x=(x-2)2-4,

頂點尸的坐標(biāo)為(2,-4),

則點P關(guān)于X軸的對稱點的坐標(biāo)是(2,4),

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)變換規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.如圖，拋物線)，=5(x-6)2-2與X軸交于點48,把拋物線在X軸及其下方的部分記作G，將C1向左

平移得到G，G與X軸交于點&0,若直線y=gx+〃?與G、G共有3個不同的交點，則〃?的取值范圍是

()

A.-34tn<-2B.<tn<_2C.-54tn<-2D.----<fJi<-2

88

【答案】D

【分析】

首先求出點A和點8的坐標(biāo)，然后求出C2解析式，分別求出直線y=gx+帆與拋物線C2相切時m的值以

及直線y=加過點8時，〃的值，結(jié)合圖形即可得到答案.

【詳解】

解：???拋物線)，=3*-6)2-2=；*-4)。-8)與工軸交于點4、B,

：?B(4,0),A(8,0).

???拋物線向左平移4個單位長度.

，平移后解析式y(tǒng)=g(x—2)2—2.

當(dāng)直線y=gx+〃?過8點，有2個交點，

—x4+m=0.

2

解得m=~2.

當(dāng)直線y=gx+〃?與拋物線C2相切時，有2個交點，

整理，得爐一5X一2〃?=0.

/.A=25+8//?=0.

.25

??ni=---.

8

如圖,

???若直線機(jī)與a、

故選：D.

【點睛】

本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形,

利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度.

二、填空題

11.定義：若拋物線與工軸有兩個交點，且這兩個交點與它的頂點所構(gòu)成的三角形是直角三角形，則把這種

拋物線稱作“和美拋物線如圖,一組拋物線的頂點81（1,yi）f&（2,”）,以（3,券），…對（〃為正

整數(shù)）依次是直線尸夫+；上的點，這組拋物線與、軸正半軸的交點依次是43,0）,41。），43,

0）,…4+］（即|,0）（OVmVl,〃為正整數(shù)）.若這組拋物線中存在和美拋物線,則川=

【答案】《或技

【分析】

由拋物線的對稱性可知：拋物線的頂點與拋物線與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形必為等腰直角三角形，該

等腰直角三角形的高等手斜邊的一半，。<4<1,該等腰直角三角形的斜邊長小于2,斜邊上的高小于1（即

拋物線頂點縱坐標(biāo)小于I）,由此求解即可.

【詳解】

解：由拋物線的對稱性可知：拋物線的頂點與拋物線與X軸的兩個交點構(gòu)成的三角形必為等腰直角三角形,

，該等腰直角三角形的高等于斜邊的一半，

???0<q<1,

???該等腰直角三角形的斜邊長小于2,斜邊上的高小于1（即拋物線頂點縱坐標(biāo)小于1）,

117

???當(dāng)x=i時，y=-+-=—<h

2111

當(dāng)x=2時，y=-+-=—<1>

，I14

當(dāng)x=3時，y=I+—=—>I,

44

???美麗拋物線的頂點只有用和B2,

7

若方為頂點,則用（1,—）,

.,75

..a.=1-----=一,

'1212

同理當(dāng)用為頂點，求得1-4，

故答案為：有或丑.

【點睛】

本題主要考查了拋物線與X軸交點，拋物線的對稱性，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

12.已知二次函數(shù)），=-M+4X+5,它的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為.

【答案】（5,0）,（-1,0）.

【分析】

令尸0,可得一Y+4X+5=0,解一元二次方程即可求解.

【詳解】

解：令y=0,可得一d+4x+5=0，

x2-4x-5=0,

（X-5）（J:+I）=0,

X!=5,X2=-1?

所以二次函數(shù)y=-f+4x+5圖象與大軸的交點坐標(biāo)為（5,0）和（_|,o）

故答案為：（5,0）和（-1,0）.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)與X軸交點，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)與X軸交點的計算方法.

13.已知拋物線），=仆2+加+與X軸的一個交點坐標(biāo)為（3,0）,對稱軸為直線x=l,則關(guān)于X的一元

二次方程cvc+bx+c=0（a工0）的根是_______.

【答案】3或-1

【分析】

根據(jù)拋物線與X軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，設(shè)另一個交點為（K,0）,可得x寸+3=1,解得X的值即

可.

【詳解】

解：設(shè)拋物線與X軸的另一個交點坐標(biāo)為：（X,0）,

???拋物線與x軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，

.??色=1,

2

解得：x=-\,

二拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為：（-1，0）.

所以關(guān)于x的一元二次方程av2+Z?x+（-0的根是xi=-1,X2=3.

故答案是3或-1.

【點睛】

本題考查了求拋物線與x軸的交點問題，關(guān)鍵是掌握拋物線與x軸的兩交點關(guān)于對稱軸對稱.

14.我們把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”.如圖，A、B、C、。分別是某蛋圓和坐

標(biāo)軸的交點其中拋物線的解析式為廣x2-Zv-3,則“蛋圓”的弦CD的長為一.

【答案】3+75

【分析】

連接CW,由拋物線的解析式可求出A,B,。的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AO,BO,DO的長，在直角三角形COM

中,利用勾股定理可求出CO的長,進(jìn)而可求出CD的長.

【詳解】

解：連接CM,

???拋物線的解析式為)=小-2.V-3,

???點。的坐標(biāo)為(0,-3),

???0。的長為3,

令\'=0,則0=x2-2r-3,

解得：x=-1或3,

/.X(-1,0),B(3,0),

???M為的中點，，

Af(LO),

：,AO=\,BO=3,MO=1,

VZB為半圓的直徑，

，M8=MC=2,

VCOLABt

?*-OC=>1CM2-OM2=\l22-12=y/3>

：.CD=CO+OD=3+y/3,

故答案為：3+G.

【點睛】

本題主:要考查了勾股定理以及二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點問題，能夠根據(jù)二次函數(shù)圖像求出各點的坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.

15.關(guān)于拋物線），=加-2》+1（"0）,給出下列結(jié)論：①當(dāng)公。時，拋物線與直線y=2x+2沒有交點；②

若拋物線與x軸有兩個交點，則其中一定有一個交點在點（0,0〉與（1,0）之間；③若拋物線的頂點在

點：0,0）,（2,0）,（0,2）所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則&.1.其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③

【分析】

先聯(lián)立方程組，得到公2_4..1=（）,根據(jù)判別式即可得到結(jié)論；②先求出“VI,分兩種情況：當(dāng)OV〃V1

時.當(dāng)時,進(jìn)行討論即可：③求出拋物線），=52一2工+1（。。0）的頂點坐標(biāo)為：（：，一■（進(jìn)而即可

求解.

【詳解】

解：聯(lián)立〔尸加口+L得/-41二。，

/.A=（M）2-4x（-l）xfl=16+4?,當(dāng)a<0時，A有可能20,

，拋物線與直線y=2x+2有可能有交點，故①錯誤：

拋物線y=av2-2x+\（a豐0）的對稱軸為：直線x=L

a

若拋物線與X軸有兩個交點，則△=（—2）2-4。>0,解得:a<\,

???當(dāng)0V4Vl時，則■!?>],此時，<-,y隨x的增大而減小:

axa

又，r=0時，>'=!>（）,x=lW，y=a-\<（）,

???拋物線有一個交點在點（0,0）與（1,0）之間，

???當(dāng)aVO時，則工<（）,此時，y隨x的增大而減小,

aa

又*'LO時，y=\>0,x=l時，y=ez-l<0,

???拋物線有一個交點在點（0,0）與（I,0）之間，

綜上所述：若拋物線與x軸有兩個交點，則其中一定有一個交點在點（0,0）與（1,0）之間，故②正確;

拋物線y=ax--2x+1（0）的頂點坐標(biāo)為：

???9”

aa

???拋物線的頂點所在直線解析式為：武尸1,即：尸x+1,

???拋物線的頂點在點（0,0）,（2,0）,（0,2）所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）,

???，，解得：Cl.A,故③正確.

巴&。

a

故答案是：②③.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與二次方程的聯(lián)系，熟練應(yīng)用判別式判斷一元二次方

程根的情況，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.已知關(guān)于x的二次函數(shù))，=2依―4丘+八1億>0),

(1)若二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，求2的取值范圍；

(2)若四〃7,〃)和，/(-3應(yīng))是拋物線上兩點，且求實數(shù)加的取值范圍；

(3)若B(c+1⑼和C(c,s)是拋物線上兩點,試比較〃和s的大小.

【答案】(1)&的取值范圍為。<4<1;(2)實數(shù)/〃的取值范圍為一3<〃?<5；(3)當(dāng)c>g時，b>s；當(dāng)片

；時，b=s；當(dāng)時，h<s.

【分析】

(1)△>0,且左>0,即可求解：

-AL

(2)拋物線的對稱軸為直線匯二-三與印，當(dāng)〃=q時，根據(jù)函數(shù)的對稱性，則"『5,即可求解；

2x2k

(3)把B(c+1,勿和C(c,s)代入解析式，由b-s=2M2c?l),然后討論即可.

【詳解】

解：(1)a=2kyb=Yk，c=k+1,

/.▲=〃-4〃c=(-4k)2-4x2kx(k+1)<0,

即16公一8女2一版<0,

解得：()<Z<I,

???A>0,

.X的取值范圍為

(2)???拋物線的對稱軸為X=-￡冬=1,

2x2k

當(dāng)〃=9時，根據(jù)函數(shù)的對稱性，則/片1+口一(-3)]=5,

又n<q,

，實數(shù)，〃的取值范圍為-3<相<5：

(3)VB(c+l,協(xié)和C(c,s)是拋物線上兩點，

：.b=2k(c+\)2-4k(c+\)+k+\

=2心+4履+2七4h-必+"1

=2AAHi,

s=2kc2-4kc+k+1,

：,b-s=4kc-2k=2k(2c-\),

當(dāng)2c-l>()即時，歷>￡;

當(dāng)2c-1=0即c=g時，b=s\

當(dāng)2。1<0即c<g時，b<s.

【點睛】

本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線與一元二次方程的關(guān)系及拋物線與不等式的關(guān)系等知識點，熟練

學(xué)握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.定義：若一次函數(shù))，=以+)(arO)與反比例函數(shù))，=￡(。=0)滿足。+。=沙，則我們把函數(shù)

x

)，=爾2+法+。稱為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的“附中函數(shù)”.

9

(1)一次函數(shù)y=3x+6與反比例函數(shù))，=己是否存在“附中函數(shù)”？如果存在，寫出其“附中函數(shù)”，如果不

x

存在，請說明理由.

(2)若一次函數(shù)y=x+〃與反比例函數(shù))，=￡(C/0)存在“附中函數(shù)”，且該“附中函數(shù)”的圖象與直線

x

產(chǎn)2x+7有唯一交點，求從。的值.

(3)若一次函數(shù))，=心+〃(。>0)與反比例函數(shù))，=-￡(CHO)的“附中函數(shù)”的圖象與x軸有兩個交點

X

分別是A(內(nèi)，0),B(看，0),其中aWc