14.2三角形全等的判定（添加輔助線構造全等）題型一連接兩點構造全等1．（20-21八年級上·安徽安慶·階段練習）如圖，已知：，，，，則（

）A． B． C．或 D．2．（24-25八年級上·河南漯河·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，點分別在軸和軸上，點為第二象限內(nèi)一點，且，，滿足．(1)求點的坐標；(2)如圖2，若點在軸的正半軸上，且滿足，軸于點，交的延長線于點，①求的度數(shù)；②求證：．3．（24-25八年級下·河南洛陽·期末）如圖，與都是等邊三角形，，求證：四邊形的對角線互相平分．4．（24-25八年級下·河南省直轄縣級單位·期末）（1）如圖1，正方形的對角線相交于點O，點O又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等．無論正方形繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．試說明理由；（2）如圖2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的頂點A在的斜邊上．求證：．（3）如圖3，等腰三角形中，，D是斜邊的中點，點D又是的直角頂點，，繞點D轉(zhuǎn)動，、分別與、交于M、N，若，請直接寫出兩個三角形重疊部分的面積．題型二作平行線構造全等5．（23-24八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，過邊長為3的等邊的邊上一點，作于，為延長線上一點，當時，連交邊于，則的長為（

）A．1 B． C． D．無法確定6．（2020七年級下·全國·專題練習）如圖，過等邊的邊上一點P，作于E，Q為延長線上一點，且，連交邊于D．(1)求證：；(2)若的邊長為1，求的長．7．（14-15八年級上·福建龍巖·階段練習）如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：8．（14-15八年級上·江蘇鹽城·階段練習）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點M．請?zhí)骄浚?1)如圖（1），當點E在線段AC上，點D在AB延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE＝2BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關系．題型三作垂線構造全等9．（24-25八年級下·江西吉安·期末）在中，，點是的中點，過點作，且與延長線相交于點．(1)如圖，連接，求證：是等腰三角形；(2)如圖，當時，求證：；(3)如圖，當時，線段，，之間又存在怎樣的數(shù)量關系？請給出證明．10．（24-25七年級下·河南周口·期末）（1）如圖1，平分，．當時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，我們可知與之間的數(shù)量關系為______；（2）如圖2，平分，．當時，試說明與之間的數(shù)量關系；（3）如圖3，平分，若，，求的度數(shù)．11．（24-25七年級下·河南駐馬店·期末）（1）觀察理解：如圖①，中，，，直線l過點C，點A，B在直線l同側(cè)，，，垂足分別為D，E，試說明：．（2）理解應用：如圖②，，且，，且，利用（1）中的結(jié)論，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)計算圖中實線所圍成的圖形的面積______；（3）類比探究：如圖③，中，，，過點A作于點A，，連接，求的面積．12．（24-25八年級下·遼寧遼陽·期末）已知：如圖，在中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長交于點．求證：為的中點．題型一倍長中線構造全等1．（24-25七年級下·四川成都·期中）課外興趣小組活動時，老師提出了下面問題：如圖，是的中線，若，，求的取值范圍．善思小組通過探究發(fā)現(xiàn)，延長至點，使，連接，可以證出，利用全等三角形的性質(zhì)，可將已知的邊長與轉(zhuǎn)化到中，進而求出的取值范圍．從上面的思路可以看出，解決問題的關鍵是將中線延長一倍，構造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長中線法”．請你利用“善思小組”的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是；．．C．D．（2）求得的取值范圍是；．

B．

C．

D．2．（24-25八年級上·黑龍江大慶·期中）如圖，在中，D是邊的中點，，則的取值范圍是3．（23-24七年級下·山東濟南·期中）閱讀下列材料，完成相應任務．數(shù)學活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至E，使，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴（依據(jù)1），∴，在中，（依據(jù)2），∴．（1）任務一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．【歸納總結(jié)】上述方法是通過延長中線，使，構造了一對全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）任務二：如圖3，，，則的取值范圍是；A．；

B．；

C．（3）任務三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．如圖4，中，，D為中點，求證：．4．（24-25八年級上·江西贛州·期中）八年級數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【初步探索】（1）如圖1，在中，若．求邊上的中線的取值范圍．以下兩位同學是這樣思考的：小聰：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍．小明：過點作，交的延長線于點．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是_____；中線的取值范圍是_____．【靈活運用】（2）如圖2，在中，點是的中點，，其中，連接，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在五邊形中，，，，為邊上的中線．①求證：；②若，，則五邊形的面積為_____．題型二截長補短構造全等5．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）（1）如圖1，四邊形中，，是上一點，平分，平分．則線段的長度滿足的數(shù)量關系為______；

（2）如圖2，將（1）中的條件“”改為“”，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立，如果成立，請說明理由；如果不成立，請舉出反例；（3）將（1）中的條件“”改為“”，其他條件不變，試探究線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．6．（24-25七年級下·四川成都·期中）問題初探：（1）如圖1，在等腰直角中，，，將沿著折疊得到，的對應邊落在上，點的對應點為，折痕交于點．求證：；方法遷移：（2）如圖2，是的角平分線，．求證：；問題拓展：（3）如圖3，在中，，是的外角的平分線，交的延長線于點．請你直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．7．（24-25八年級下·河北唐山·階段練習）【問題情境】如圖①，在正方形中，，，分別與，交于點E，F(xiàn)．【探索發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①，為探究線段，，之間的數(shù)量關系，小楊延長至點G，使得，連接．先證明，再證明，即可得到，，之間的數(shù)量關系為：______；【操作探究】(2)如圖②，當點E，F(xiàn)分別在，的延長線上時，請根據(jù)上述小楊的思路，探究線段，，之間的數(shù)量關系；【問題解決】(3)如圖③，在中，，，點D，E在邊上，且，若，，則的長為______．8．（24-25八年級上·山東威海·期末）如圖1，在四邊形中，，點，點分別在邊，上，已知，．(1)求證：；(2)如圖2，若點，點分別在邊，的延長線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請寫出新的結(jié)論，并說明理由．題型三補全圖形構造全等9．（北京市海淀區(qū)清華附中上莊學校2024-2025學年八年級上學期期中數(shù)學試卷）如圖，為內(nèi)一點，，平分，且．如果，，求的長．10．（江西省吉安市青原區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試題）【問題情境】（1）利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點為上一點，過點作，垂足為，延長交于點，可根據(jù)_____證明，則，（即點為的中點）．【類比解答】（2）如圖2，在中，平分，于，若，，若通過上述構造全等的方法，求的度數(shù)．【拓展延伸】（3）如圖3，中，，，平分，，垂足在的延長線上，試探究和的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．11．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）問題提出：（1）如圖1，在等腰直角中，，，直線經(jīng)過點，過點作于點，過點作于點，求證：．問題探究：（2）如圖2，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與軸交于點，與軸交于點，以為腰在第二象限作等腰直角，，求點的坐標．問題解決：（3）如圖3，地鐵某線路原計劃按的方向施工，由于在方向發(fā)現(xiàn)一處地下古建筑，地鐵修建須繞開此區(qū)域．經(jīng)實地勘測，若將方向改為或方向，則可以繞開此區(qū)域．已知，平分，，的長為1千米，以點為原點，所在直線為軸，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系，且射線與直線平行，請幫助施工隊計算出和所在直線的函數(shù)表達式．［溫馨提示：若點，，則線段的中點坐標為］12．（23-24八年級上·重慶江津·期末）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖，，，過點作于點，過點作交的延長線于點．由，得．又，，可以推理得到，進而得到＝______，＝______．（請完成填空）我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型．【模型應用】（2）①如圖，，，，連接、，且于點，與直線交于點，求證：點是的中點；②如圖，若點為軸上一動點，點為軸上一動點，點的坐標為，是否存在以、、為頂點且以為斜邊的三角形為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．題型四旋轉(zhuǎn)構造全等13．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）已知是等邊三角形，點是邊上一點，點是邊上一點，且滿足，連接、交于點．(1)①如圖1，直接寫出的度數(shù)；②如圖2，過點作于點，當時，求證：；(2)如圖3，當時，求的度數(shù)．14．（24-25七年級下·上海金山·期末）設平面上的三個點、、，需確定點的位置，使最?。旤c、、共線時，點應取三點中居中的點．當點、、不共線時，分成兩類：有一個內(nèi)角大于或等于和的三個內(nèi)角均小于．約年，法國數(shù)學家費馬，提出了這個問題，此問題中求得的點也稱為費馬點，并由意大利數(shù)學家托里拆利首次證明．下面來探究當點、、不共線時的情況：(1)如圖1，已知：在中，時，____為所求費馬點．(2)如圖2，已知：在中，最大角時，我們可以快速找到這類三角形的費馬點，作法如下：分別以的邊、為邊向外作等邊三角形和等邊三角形，此時和交于一點，點就是所求的費馬點．①請找出圖中與相等的線段，并說明理由；②為了驗證作圖中找到的點就是費馬點，連接．求證：．15．（22-23八年級上·福建福州·期末）定義：若為內(nèi)一點，且滿足，則點叫做的費馬點．

(1)如圖1，若點是高為的等邊的費馬點，則=；(2)如圖2，已知是等邊外一點，且，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，已知，分別以、為邊向外作等邊與等邊，線段、交于點，連接，求證：①點是的費馬點；②．1．（24-25七年級下·山東威?！て谥校┲芯€是三角形中的重要線段之一．在利用中線解決幾何問題時，當條件中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件時，可以考慮作輔助線，即把中線延長一倍，通過構造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個三角形中，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題，這種作輔助線的方法稱為“倍長中線法”．(1)如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．嘉淇在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點H，使，連接．可以判定，從而得到．這樣就能把線段，，集中在中，利用三角形三邊的關系，可得中線的取值范圍是．(2)如圖2，中，，為角平分線，E為邊的中點，過點E作的平行線，交于點F，交的延長線于點P．①判斷和的數(shù)量關系，并說明理由；②若，，，則的長為．2．（24-25七年級下·河南平頂山·期末）如圖（1），點P是等邊三角形內(nèi)的任意一點，過點P向三邊作垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)．試探究與周長的關系．記，的周長．(1)從特殊情形入手：①若點P在的中心，如圖（2），此時l與c的關系為________；②若點P在的一條高上，如圖（3），此時①中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(2)若點P不在的高上，如圖（4），研究發(fā)現(xiàn)可以轉(zhuǎn)化為上述特殊情形進行解決，請直接在圖（4）中畫出解決問題所需的所有輔助線．3．（24-25八年級下·陜西榆林·期中）（1）【閱讀理解】如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線＋對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．老師給出一個方法：延長到點N，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；結(jié)合圖1，根據(jù)老師提出的方法，添加輔助線并完成證明；（2）【問題解決】如圖2，在（1）的條件下，連接，當，時，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．4．（24-25七年級下·陜西咸陽·期末）我們規(guī)定：兩組邊相等及其夾角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，在和中，．(1)和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”）(2)取的中點P，連接，試說明，小王同學根據(jù)要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線（點）倍延”的輔助線構造方法，解決了這個問題．①請在圖中通過作輔助線構造，試判斷與的數(shù)量關系，并說