2025考研數(shù)學(xué)《概率論》練習(xí)卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題：本題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）P(A|B)=P(A)（B）P(A|B)=0（C）P(A∪B)=P(A)+P(B)（D）P(B|A)=P(B)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;(1/4)x^2,0≤x<2;1,x≥2}，則P(1<X<3)等于（）。（A）1/4（B）1/2（C）3/4（D）13.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E[(X+Y)^2]等于（）。（A）2λ（B）λ^2（C）λ^2+2λ（D）λ^2+λ4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0.5，方差DX=1，DY=4，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)等于（）。（A）0.5（B）1（C）-0.5（D）25.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤x;0,其他}，則常數(shù)c等于（）。（A）1/3（B）1/2（C）2（D）3二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分。6.設(shè)A和B是兩個(gè)事件，且P(A)=0.7，P(A∪B)=0.9，則P(A^c∩B)=_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n=10,p=0.2的二項(xiàng)分布，則E(X^2)=_______。8.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差DX=1，則根據(jù)切比雪夫不等式，P(|X-2|≥2)≤_______。9.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：Y|01---|-----0|0.20.31|0.10.4則P(Y=1|X=0)=_______。三、解答題：本題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10.（本題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={aexp(-2x),x>0;0,x≤0}。（1）確定常數(shù)a的值；（2）求P(X>1)。11.（本題滿分12分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(0,1)，Y～N(0,4)。（1）求隨機(jī)變量Z=X/Y的分布函數(shù)；（2）計(jì)算P(Z≤-0.5)。12.（本題滿分14分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={4x,0<x<1,0<y<x;0,其他}。（1）求隨機(jī)變量X的邊緣概率密度函數(shù)f_X(x)；（2）求條件概率密度函數(shù)f_{Y|X}(y|x)，當(dāng)x=3/4時(shí)；（3）判斷X和Y是否相互獨(dú)立。13.（本題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望分別為E(X)=1,E(Y)=2，方差分別為DX=1,DY=4，且Cov(X,Y)=-1。（1）求隨機(jī)變量X+Y的期望和方差；（2）求隨機(jī)變量X-2Y的期望和方差；（3）求隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)。14.（本題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(μ,σ^2)，Y～N(μ,σ^2)。證明：隨機(jī)變量Z=X+Y/2和W=X-Y/2也服從正態(tài)分布，并求Z和W的期望和方差，以及Z和W的協(xié)方差。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3.C4.A5.A二、填空題6.0.17.4.848.1/49.2/3三、解答題10.（1）由概率密度函數(shù)的性質(zhì)∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1，得∫_{0}^{+∞}aexp(-2x)dx=1。計(jì)算得a=2。（2）P(X>1)=∫_{1}^{+∞}2exp(-2x)dx=[-exp(-2x)]_{1}^{+∞}=exp(-2)。11.（1）Z=X/Y，其中X～N(0,1)，Y～N(0,4)，且X和Y獨(dú)立。由t分布定義，Z～t(2)。其分布函數(shù)為F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X/Y≤z)=P(X≤zY)。由于X和Y獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，Z服從自由度為2的t分布。其分布函數(shù)形式為F_Z(z)={θ,z<-∞;[1+θ*atan(z)]/2,z≥-∞}，其中θ為某個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相關(guān)的常數(shù)，具體形式通常不要求寫出，但需知道其t分布性質(zhì)。（2）P(Z≤-0.5)=F_Z(-0.5)。根據(jù)t分布的對稱性，F(xiàn)_Z(-0.5)=1-F_Z(0.5)。對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，P(Z≤0.5)≈0.6915。因此，P(Z≤-0.5)≈1-0.6915=0.3085。12.（1）f_X(x)=∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy=∫_{0}^{x}4xdy=4x[x-0]=4x^2，定義域?yàn)?<x<1。即f_X(x)={4x^2,0<x<1;0,其他}。（2）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)={4x/(4x^2)=1/x,0<y<x;0,其他}，定義域?yàn)?<x<1，0<y<x。當(dāng)x=3/4時(shí)，f_{Y|X}(y|3/4)={4*(3/4)/(4*(3/4)^2)=1/(3/4)=4/3,0<y<3/4;0,其他}。（3）判斷獨(dú)立性需驗(yàn)證是否對任意x,y有f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)。先求f_Y(y)=∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dx=∫_{y}^{1}4xdx=[2x^2]_{y}^{1}=2-2y^2，定義域?yàn)?<y<1。取x=1/2，y=1/2，則f_X(1/2)=4*(1/2)^2=1，f_Y(1/2)=2-2*(1/2)^2=1.5，f_X(1/2)f_Y(1/2)=1*1.5=1.5。而f(1/2,1/2)=4*(1/2)=2。由于f(1/2,1/2)≠f_X(1/2)f_Y(1/2)，故X和Y不相互獨(dú)立。13.（1）E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+2=3。DX+DY+2Cov(X,Y)=1+4+2*(-1)=3。DX'=DX+DY+2Cov(X,Y)=3。注意這里DX'是X+Y的方差，但題目問的是X+Y的方差，根據(jù)計(jì)算DX'=3，即DX+Y=3。這里題目表述可能引起歧義，按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為3。若題目本意問的是Var(aX+bY)，則Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=1+4-2=3。按標(biāo)準(zhǔn)公式計(jì)算結(jié)果為3。（2）E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)=1-2*2=-3。DX'=DX+4*DY-2*2*Cov(X,Y)=1+4*4-4=13。即DX-2Y=13。（3）ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(sqrt(DX)*sqrt(DY))=-1/(sqrt(1)*sqrt(4))=-1/2。14.證明Z=X+Y/2服從正態(tài)分布。由于X～N(μ,σ^2)且Y～N(μ,σ^2)且X和Y獨(dú)立，E(Y/2)=E(Y)/2=μ/2，DY/2=(1/2)^2*DY=σ^2/4。由正態(tài)分布性質(zhì)，線性組合仍服從正態(tài)分布。E(Z)=E(X)+E(Y/2)=μ+μ/2=3μ/2。DZ=DX+DY/2+2*Cov(X,Y/2)。由于X和Y獨(dú)立，Cov(X,Y/2)=Cov(X,Y)/2=0/2=0。DZ=σ^2+σ^2/4+0=5σ^2/4。因此，Z～N(3μ/2,5σ^2/4)。同理，W=X-Y/2也服從正態(tài)分布。E(W)=E(X)-E(Y/2)=μ-μ/2=μ/2。DW=DX+DY/2-2*Cov(X,Y/2)=σ^2+σ^2/4-0=5σ^2/4。因此，W～N(μ/2,5σ^2/4)。計(jì)算Z和W的協(xié)方差Cov(