2025年算法設(shè)計試題及答案一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.對于基數(shù)排序算法，其時間復雜度主要取決于（）。A.待排序元素的個數(shù)nB.待排序元素的最大值與最小值之差C.關(guān)鍵字的位數(shù)d和基數(shù)rD.比較操作的次數(shù)2.動態(tài)規(guī)劃算法與分治算法的本質(zhì)區(qū)別在于（）。A.動態(tài)規(guī)劃處理離散問題，分治處理連續(xù)問題B.動態(tài)規(guī)劃要求子問題重疊，分治要求子問題獨立C.動態(tài)規(guī)劃使用迭代實現(xiàn)，分治使用遞歸實現(xiàn)D.動態(tài)規(guī)劃的時間復雜度更低3.以下問題中，最適合用貪心算法求解的是（）。A.帶權(quán)區(qū)間調(diào)度問題（最大化總權(quán)重）B.0-1背包問題（物品不可分割）C.最短路徑問題（邊權(quán)可能為負）D.活動選擇問題（最大化活動數(shù)量）4.對于n個節(jié)點的圖，使用優(yōu)先隊列（最小堆）實現(xiàn)的Dijkstra算法，其時間復雜度為（）（假設(shè)鄰接表存儲，每個節(jié)點平均度數(shù)為m）。A.O(n2)B.O(mlogn)C.O(nlogn)D.O(m+nlogn)5.以下關(guān)于NP難問題的描述，正確的是（）。A.NP難問題一定存在多項式時間算法B.旅行商問題（TSP）是NP難問題C.所有NP問題都是NP難問題D.NP難問題的解可以在多項式時間內(nèi)驗證二、填空題（每小題4分，共20分）1.模式串為"ABABC"，其KMP算法的next數(shù)組（從0開始索引）為________。2.對5個節(jié)點的連通圖（節(jié)點編號1-5）使用Dijkstra算法求單源最短路徑（源點為1），鄰接表存儲。假設(shè)初始時優(yōu)先隊列包含節(jié)點2（距離3）、3（距離5）、4（距離2）、5（距離∞），第一次取出節(jié)點4后，需要松弛其鄰接節(jié)點2（邊權(quán)1）、3（邊權(quán)2）。此時優(yōu)先隊列中節(jié)點的距離值依次為________（按節(jié)點編號順序）。3.0-1背包問題中，背包容量為10，物品重量為[3,4,5]，價值為[5,6,7]。使用動態(tài)規(guī)劃求解，當處理前兩個物品時，容量為7的子問題的最大價值為________。4.快速排序在最好情況下（每次劃分完全平衡）的遞歸調(diào)用深度為________（假設(shè)n為待排序元素個數(shù)）。5.Floyd-Warshall算法中，中間節(jié)點k的循環(huán)順序（從1到n或從n到1）________（填“會”或“不會”）影響最終結(jié)果。三、算法設(shè)計與分析題（共65分）1.（15分）區(qū)間分組問題：給定n個區(qū)間[si,ei]（si≤ei），要求用最少數(shù)量的教室安排這些區(qū)間，使得同一教室的區(qū)間不重疊（即同一教室中任意兩個區(qū)間的[si,ei]和[sj,ej]滿足si≥ej或sj≥ei）。（1）設(shè)計一個貪心算法求解該問題；（2）證明該算法的正確性；（3）分析算法的時間復雜度。2.（20分）動態(tài)規(guī)劃問題：給定兩個字符串A和B，長度分別為m和n。允許對字符串A進行最多k次刪除操作（每次刪除一個字符），求處理后A與B的最長公共子序列（LCS）長度。（1）定義狀態(tài)dp[i][j][t]，其中i表示A的前i個字符，j表示B的前j個字符，t表示已刪除t次；（2）寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；（3）分析時間復雜度。3.（15分）算法分析題：以下是計算a^n（a≠0，n為正整數(shù)）的遞歸算法：```pythondefpower(a,n):ifn==1:returnaifn%2==0:half=power(a,n//2)returnhalfhalfelse:half=power(a,(n-1)//2)returnhalfhalfa```（1）寫出該算法的時間復雜度遞歸表達式；（2）用主定理求解時間復雜度；（3）若n為2^k形式，計算遞歸調(diào)用次數(shù)。4.（15分）圖論問題：某物流網(wǎng)絡(luò)由n個節(jié)點和m條有向邊組成，邊權(quán)表示運輸時間（均為正數(shù)）。部分邊有時間限制：只能在每天的[L,R]時間段內(nèi)使用（L<R）。假設(shè)當前時間為0，求從起點s到終點t的最短到達時間（即到達t的最早可能時間）。（1）設(shè)計算法思路（需說明如何處理時間限制）；（2）證明算法的正確性；（3）分析時間復雜度（假設(shè)使用優(yōu)先隊列優(yōu)化）。答案一、單項選擇題1.C（基數(shù)排序時間復雜度為O(d(n+r))，d為關(guān)鍵字位數(shù)，r為基數(shù)）2.B（動態(tài)規(guī)劃利用子問題重疊，通過存儲子問題解避免重復計算；分治要求子問題獨立）3.D（活動選擇問題滿足貪心選擇性質(zhì)和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)；帶權(quán)區(qū)間調(diào)度需動態(tài)規(guī)劃，0-1背包不滿足貪心選擇，負權(quán)最短路徑需Bellman-Ford）4.D（每次松弛操作O(logn)，共m次松弛，初始化O(n)，總時間O(mlogn+nlogn)=O(m+nlogn)）5.B（TSP是NP難問題；NP難問題不一定存在多項式算法，NP問題包含于NP難問題當且僅當P=NP，NP問題的解可在多項式時間驗證）二、填空題1.[-1,0,0,1,2]（next[0]=-1，next[1]=0；i=2時，"A"≠"B"→0；i=3時，"AB"與前綴"AB"的最長公共前后綴長度為1；i=4時，"ABA"與前綴"AB"的最長公共前后綴長度為2）2.節(jié)點2（距離min(3,2+1=3)→3）、節(jié)點3（距離min(5,2+2=4)→4）、節(jié)點5（∞）→優(yōu)先隊列中距離為3（節(jié)點2）、4（節(jié)點3）、∞（節(jié)點5），按節(jié)點順序為[3,4,∞]（注：優(yōu)先隊列存儲的是未確定最短距離的節(jié)點，此處節(jié)點4已確定，故剩余節(jié)點為2、3、5）3.11（前兩個物品重量3、4，容量7時，可選3+4=7，價值5+6=11；或僅選4（容量4）價值6，或僅選3（容量3）價值5，最大為11）4.log?n（每次劃分成兩個大小為n/2的子問題，遞歸深度為log?n）5.不會（Floyd-Warshall算法中，k表示允許中間節(jié)點為1~k，順序不影響最終所有節(jié)點對的最短路徑）三、算法設(shè)計與分析題1.（1）貪心算法步驟：將所有區(qū)間按起始時間si升序排序；初始化一個優(yōu)先隊列（最小堆），存儲當前各教室的最后結(jié)束時間；遍歷每個區(qū)間[si,ei]：若堆頂元素（最小結(jié)束時間）≤si，則彈出堆頂，將ei壓入堆（復用該教室）；否則，將ei壓入堆（新開教室）；最終堆的大小即為最少教室數(shù)。（2）正確性證明：貪心選擇性質(zhì)：按起始時間排序后，選擇最早結(jié)束的教室復用，可最大化后續(xù)區(qū)間的可用時間，減少教室需求；最優(yōu)子結(jié)構(gòu)：假設(shè)存在最優(yōu)解S，其第一個區(qū)間分配的教室結(jié)束時間為e'，而貪心解分配的結(jié)束時間為e≤e'。若e'<e，則S中后續(xù)區(qū)間可能需要更多教室，與S最優(yōu)矛盾。故貪心選擇可導出最優(yōu)解。（3）時間復雜度：排序O(nlogn)，遍歷n次，每次堆操作O(logk)（k為當前教室數(shù)，k≤n），總時間O(nlogn)。2.（1）狀態(tài)定義：dp[i][j][t]表示A的前i個字符、B的前j個字符、已刪除t次時的LCS長度。（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移：若A[i]==B[j]，則不刪除A[i]時，dp[i][j][t]=dp[i-1][j-1][t]+1；若A[i]!=B[j]，或選擇刪除A[i]（t>0），則取以下情況的最大值：不刪除A[i]：dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[i-1][j][t])；刪除A[i]（t≥1）：dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[i-1][j][t-1])；邊界條件：dp[0][j][t]=0（i=0無字符），dp[i][0][t]=0（j=0無字符），dp[i][j][0]為普通LCS（不可刪除）。（3）時間復雜度：狀態(tài)數(shù)為m×n×(k+1)，每個狀態(tài)轉(zhuǎn)移O(1)，總時間O(mnk)。3.（1）遞歸表達式：設(shè)T(n)為計算a^n的時間，n=1時T(1)=O(1)；n>1時，若n為偶數(shù)，T(n)=T(n/2)+O(1)（乘法為常數(shù)時間）；若n為奇數(shù)，T(n)=T((n-1)/2)+O(1)。統(tǒng)一為T(n)=T(?n/2?)+O(1)。（2）主定理應用：遞歸式T(n)=T(n/2)+O(1)，對應主定理情況2（a=1,b=2,f(n)=O(1)=n^0，log_ba=0），故T(n)=O(logn)。（3）n=2^k時，遞歸調(diào)用次數(shù)：每次n減半，直到n=1，共k次（n=2^k→2^(k-1)→…→2^0=1，調(diào)用次數(shù)k=log?n）。4.（1）算法思路：修改Dijkstra算法，維護每個節(jié)點的最早到達時間。優(yōu)先隊列存儲（到達時間，節(jié)點），初始時s的到達時間為0。對于當前節(jié)點u，遍歷其出邊(u,v)，邊權(quán)為w，時間限制[L,R]。若當前到達u的時間為t_u，則使用該邊的最早出發(fā)時間為max(t_u,L)，需滿足max(t_u,L)≤R（否則邊不可用）。到達v的時間為max(t_u,L)+w。若該時間小于v的當前最早到達時間，則更新并加入隊列。（2）正確性證明：由于