§4.3時(shí)間間隔的分布1隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的時(shí)間間隔設(shè)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)以強(qiáng)度為

的泊松過程到達(dá)，N(t)表示在時(shí)段[0,t]內(nèi)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)“服務(wù)臺(tái)”的個(gè)數(shù)，(1)用τi，i=1,2,…表示第i個(gè)隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)服務(wù)臺(tái)的時(shí)刻，其分布由前段結(jié)果可知(2)用Ti=τi-τi-1表示第i-1個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的時(shí)間間隔，可見,其分布可利用等待時(shí)間分布得出特別令τ0=0，則T1=τ1，表示第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的時(shí)間，顯然，Ti,i=1,2,..都是隨機(jī)變量。2計(jì)數(shù)過程為泊松過程的充要條件定理計(jì)數(shù)過程為齊次泊松過程的充要條件是，其質(zhì)點(diǎn)到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立且服從相同的指數(shù)分布。

證明（必要性）(1)n=1

事件{T1>t}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在[0,t]內(nèi)沒有事件發(fā)生

T1服從均值為1/

的指數(shù)分布T1tW10(2)n=2

P{T2>t|T1=s}=P{在(s,s+t]內(nèi)沒有事件發(fā)生|T1=s}=P{N(s+t)-N(s)=0

|N(s)

-N(0)

=1}=P{N(s+t)-N(s)=0}tT2T1=sW2W10s+tsT2服從均值為1/

的指數(shù)分布，而且T1和T2相互獨(dú)立(3)n

2時(shí)間間隔Tn的分布為概率密度為（4）

再證T1，T2，…，

Tn

相互獨(dú)立思路：求T1，T2，…，

Tn聯(lián)合概率密度函數(shù)，驗(yàn)證聯(lián)合概率密度函數(shù)等于邊緣概率密度函數(shù)的乘積。用到的方法：變量變換法。0t1t2tn（）（）（）再證（充分性）:（即證計(jì)數(shù)過程{N(t)，t0}滿足泊松過程的定義）（1）先證隨機(jī)變量N(t)的分布為泊松分布：因?yàn)樗运杂啥x可知{N(t),t0}是強(qiáng)度為

的泊松過程。所以（2）N(0)=0，顯然成立。（3）{N(t),t0}的增量的獨(dú)立性和平穩(wěn)性見安鴻志老師的《時(shí)間序列分析》?？偨Y(jié)：(一、)設(shè){N(t),t≥0}為齊次泊松過程，強(qiáng)度為λ

，那么：(5)用τi，i=1,2,…表示第i次隨機(jī)事件A發(fā)生的時(shí)間，那么，其分布為參數(shù)為n,

的埃爾朗分布

(n,

)。(6)用Ti=τi-τi-1，i=1,2,…,

其中τ0=0,表示第i次與第i-1次隨機(jī)事件A發(fā)生的時(shí)間間隔，那么，其分布為參數(shù)為

的指數(shù)分布Z(

),而且相互獨(dú)立。(二、)用Ti=τi-τi-1，i=1,2,…,

其中τ0=0,表示第i次與第i-1次隨機(jī)事件A發(fā)生的時(shí)間間隔，，Ti的分布為參數(shù)為

的指數(shù)分布Z(

),而且相互獨(dú)立，那么(5)用τi，i=1,2,…表示第i次隨機(jī)事件A發(fā)生的時(shí)間，那么，τi的分布為參數(shù)為n,

的埃爾朗分布

(n,

)。（1）

n服從參數(shù)為n和

的埃爾朗分布。（2）

n的均值函數(shù)和方差函數(shù)為：（3）

n的特征函數(shù)為：補(bǔ)充：如果Xi(i=1,2…)相互獨(dú)立，服從指數(shù)分布Z(

)，那么，(6)如果N(t)表示在時(shí)段[0,t]內(nèi)隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)，那么,{N(t),t≥0}為強(qiáng)度為的齊次泊松過程。3例題

研究一機(jī)械裝置，設(shè)它在[0,t]內(nèi)發(fā)生的“震動(dòng)”次數(shù)N(t)是強(qiáng)度為5（次/小時(shí)）的泊松過程，并且當(dāng)?shù)?00次“震動(dòng)”發(fā)生時(shí)，此機(jī)械裝置發(fā)生故障，試求：（1）這一裝置壽命的概率密度；（2）這一裝置的平均壽命；（3）相鄰兩次“震動(dòng)”時(shí)間間隔的概率密度；（4）相鄰兩次“震動(dòng)”的平均時(shí)間間隔。解：（1）依題意，這一裝置的壽命為τ100，即第100次“震動(dòng)”的等候時(shí)間，它服從參數(shù)為100，λ=5的埃爾朗分布，即壽命的概率密度為（3）由定理2.1知，任意兩次“震動(dòng)”的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其密度為（4）相鄰兩次“震動(dòng)”的平均時(shí)間間隔為例，某機(jī)構(gòu)從上午8時(shí)開始有無(wú)窮多人排隊(duì)等候服務(wù).設(shè)只有1名工作人員,每人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的且服從均值位20分鐘的指數(shù)分布.問(1)到中午12時(shí),平均有多少人離去?(2)有9人接受服務(wù)的概率是多少?

解:

既然時(shí)間間隔是服從均值為1/3小時(shí)(20分鐘)的指數(shù)分布,那離去人數(shù)N(t)就是強(qiáng)度為3(以時(shí)計(jì))的泊松過程.若以8時(shí)為零時(shí)刻,則到12時(shí)離去的人數(shù)平均是12名,(2)

有9人接受服務(wù)的概率

P{N(4)-N(0)=9}例，設(shè)顧客到某商場(chǎng)的過程是泊松過程,已知平均每小時(shí)有30人到達(dá),求所給事件的概率:兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔(1)超過2分鐘;(2)短于4分鐘;(3)在1分到3分鐘之間.解:由題意,顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強(qiáng)度為λ的泊松過程,因而顧客到達(dá)的時(shí)間間隔{Xn,n≥1}服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布:fX(t)=30e-30x,x≥0.復(fù)習(xí)全概率公式復(fù)習(xí)全期望公式例題證明：3查驗(yàn)計(jì)數(shù)過程是否泊松過程的統(tǒng)計(jì)方法

由定理2