重難點培優(yōu)04四大分布的期望與均值目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 4題型一兩點分布期望與均值（★★） 4題型二二項分布期望與均值（★★★） 6題型三超幾何分布期望與均值（★★★） 7題型四正態(tài)分布（★★★） 903實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效 11檢測Ⅰ組重難知識鞏固 11檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 131.兩點分布兩點分布：是很簡單的一種概率分布，其實驗結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點分布的應用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.（想象成扔硬幣問題）2.二項分布1．n重伯努利試驗的概念只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗具有如下共同特征(1)同一個伯努利試驗重復做n次；(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立．3．二項分布（若有件產(chǎn)品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服從二項分布的）一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．3.超幾何分布01……為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布.注意：若有件產(chǎn)品，其中件為次品，無放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服出超幾何分布.4.正態(tài)分布1．正態(tài)曲線及其性質(zhì)(1)正態(tài)曲線：(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,\r(2πσ))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越?。€越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：甲乙2．正態(tài)分布3．正態(tài)總體三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．4．3σ原則通常服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值．【規(guī)律方法】1.求正態(tài)曲線的兩個方法(1)圖解法：明確頂點坐標即可，橫坐標為樣本的均值μ，縱坐標為eq\f(1,\r(2π)σ)．(2)待定系數(shù)法：求出μ，σ便可．2.正態(tài)分布下2類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．3.正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對稱性和曲線與x軸之間面積為1．(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－Pμ－b<X<μ＋b,2)．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對稱，只有標準正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對稱．題型一兩點分布期望與均值【技巧通法·提分快招】兩點分布：是很簡單的一種概率分布，其實驗結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點分布列又稱分布列或佰努利分布列；兩點分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點分布的應用十分廣泛，如抽取的彩票是否中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.1．（2025·天津·模擬預測）已知甲盒子中有1個黑球，1個白球和2個紅球，乙盒子中有1個黑球，1個白球和3個紅球，現(xiàn)在從甲乙兩個盒子中各取1個球，分別記取出的紅球的個數(shù)為，則有（

）A．增加，增加 B．增加，減小C．減小，增加 D．減小，減小X01PA．增大 B．先增大后減小 C．減小 D．先減小后增大A． B．0 C．1 D．3A． B．0 C． D．1題型二二項分布期望與均值【技巧通法·提分快招】一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．（2024·天津?qū)氎妗つM預測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病，而新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀，發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴重病例中，感染可導致肺炎，嚴重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫(yī)藥研究機構(gòu)合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經(jīng)試驗，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，現(xiàn)已進入藥物臨床試用階段．每個試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”．（1））求一個試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用機組“甲類組”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．3．（2025·天津河西·模擬預測）袋中有2個紅球，2個白球，2個黑球共6個球，現(xiàn)有一個游戲：從袋中任取3個球，恰好三種顏色各取到1個則獲獎，否則不獲獎.則獲獎的概率是.有3個人參與這個游戲，則至少有1人獲獎的概率是.（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅲ）從企業(yè)中任選個，這個企業(yè)年上繳稅收少于萬元的個數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）6．（2025·天津·二模）為幫助學生減壓，高三某班準備了“幸運抽獎箱”，箱中共有10張卡片，其中6張為“獲獎卡”．每位同學隨機抽取3張，抽到獲獎卡可兌換獎品，每人抽完后箱中恢復原先10張卡片．甲同學參加了一次抽獎活動，則甲同學恰好抽到2張“獲獎卡”的概率為；若該班有60名同學，每人都恰參加一次抽獎活動，則至少抽到1張“獲獎卡”的人數(shù)的均值是．7．（2025·天津武清·模擬預測）下列說法錯誤的是（

）A．一組數(shù)據(jù)5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位數(shù)為17題型三超幾何分布期望與均值【技巧通法·提分快招】01……2．（2024·天津武清·模擬預測）某校高三年級有男生360人，女生240人，對高三學生進行問卷調(diào)查，采用分層抽樣的方法，從這600名學生中抽取5人進行問卷調(diào)查，再從這5名學生中隨機抽取3人進行數(shù)據(jù)分析，則這3人中既有男生又有女生的概率是，記抽取的男生人數(shù)為，則隨機變量的數(shù)學期望為．4．（2025·天津北辰·二模）近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)．環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染．現(xiàn)工作人員從這7天中隨機抽取3天進行某項研究，則抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率為；記表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則隨機變量的數(shù)學期望為．5．（2025·天津河西·二模）某批產(chǎn)品共10件，其中含有2件次品，若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為；取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)的期望是.6．（2024·天津·一模）近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴重和電池技術(shù)的提高，電動汽車已被世界公認為21世紀汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向.為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動汽車車型和車型，并在周期間同時投放市場.為了了解這兩款車型在周的銷售情況，制造商隨機調(diào)查了5家汽車店的銷量（單位：臺），得到下表：店甲乙丙丁戊車型6613811車型1291364（1）若從甲、乙兩家店銷售出的電動汽車中分別各自隨機抽取1臺電動汽車作滿意度調(diào)查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型的概率；（2）現(xiàn)從這5家汽車店中任選3家舉行促銷活動，用表示其中車型銷量超過車型銷量的店的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.7．（2024·天津河西·一模）某中學用簡單隨機抽樣方法抽取了100名同學，對其社會實踐次數(shù)進行調(diào)查，結(jié)果如下：男同學人數(shù)715111221女同學人數(shù)51320932若將社會實踐次數(shù)不低于12次的學生稱為“社會實踐標兵”．（Ⅰ）將頻率視為概率，估計該校1600名學生中“社會實踐標兵”有多少人？（Ⅱ）從已抽取的8名“社會實踐標兵”中隨機抽取4位同學參加社會實踐表彰活動．（i）設(shè)為事件“抽取的4位同學中既有男同學又有女同學”，求事件發(fā)生的概率；（ii）用表示抽取的“社會實踐標兵”中男生的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．8．（2025·天津·一模）某大學在一次公益活動中聘用了10名志愿者，他們分別來自A、B、C三個不同的專業(yè)，其中A專業(yè)2人，B專業(yè)3人，C專業(yè)5人，現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個訪談節(jié)目．（1）求3個人來自兩個不同專業(yè)的概率；（2）設(shè)X表示取到B專業(yè)的人數(shù)，求X的分布列．題型四正態(tài)分布【技巧通法·提分快招】利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．1．（2025·天津?qū)幒印つM預測）下列說法中，正確的有（

）③在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好；A．個 B．個 C．個 D．個2．（2025·天津北辰·三模）下列命題中①根據(jù)經(jīng)驗回歸方程所得到的預報值就是響應變量的精確值③兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2025·天津·二模）如圖是兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象，則下列表述正確的是（

）4．（2025·天津濱海新·三模）下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為146．（2025·天津·一模）下列說法錯誤的是（

）B．在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好D．一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7A．該物理量在一次測量中小于2的概率為0.5B．該物理量在一次測量中小于1.98與大于2.02的概率相等8．（2025·天津?qū)幒印ひ荒＃┫铝姓f法不正確的是（

）C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)程度越高D．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14檢測Ⅰ組重難知識鞏固1．（2025·天津河西·模擬預測）一紙箱中裝有4瓶未過期的飲料和2瓶過期飲料．若每次從中隨機取出1瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期飲料的概率為；對這6瓶飲料依次進行檢驗，每次檢驗后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質(zhì)期時終止檢驗，記檢驗的次數(shù)為，則隨機變量的期望為．2．（2025·天津和平·三模）下列結(jié)論中不正確的是（

）B．用決定系數(shù)來刻畫回歸的效果時，的值越接近1，說明模型擬合的效果越好C．用0，1，2，3四個數(shù)字，組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為303．（2025·天津·一模）已知甲、乙兩名乒乓球運動員進行比賽，根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計，在一局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽互不影響.現(xiàn)在甲、乙二人準備進行三局比賽.則在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率是，用表示三局比賽中甲獲勝的局數(shù)，則的數(shù)學期望是.6．（2024·天津北辰·模擬預測）下列命題中，不正確的是（

）D．兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強7．（2025·天津和平·三模）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2024·天津·一模）下列說法正確的是（

）C．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；10．（2024·天津和平·一模）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)X的數(shù)學期望為；黨員甲能通過初試的概率為.11．（2025·天津南開·二模）一個盒子中裝有5個電子產(chǎn)品，其中有3個一等品，2個二等品，從中每次抽取1個產(chǎn)品.若抽取后不再放回，則抽取三次，第三次才取得一等品的概率為；若抽取后再放回，共抽取10次，則平均取得一等品次.12．（2025·天津河西·模擬預測）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答．（1）已知張同學至少取到1道乙類題，則他取到的題目不是同一類的概率為；（2）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立．用表示張同學答對題的個數(shù)，則的數(shù)學期望為．13．（2025·天津·二模）某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是①每人進行5個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為0.6，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲第一輪通過的概率為；甲5個輪次通過的次數(shù)的期望是.檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升2．（2025·天津·一模）下列命題錯誤的是（

）A．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于3．（2025·天津西青·模擬預測）天津市某學校組織學生進行知識競賽，規(guī)則為：每位參賽學生都要回答3個問題，且這3個問題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對1個問題，得1分；答錯，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分設(shè)為一、二、三等獎給予獎勵.已知對給出的3個問題，學生甲答對的概率分別為，，，則學生甲恰好答對1個問題的概率為；在上述條件下，設(shè)隨機變量X表示學生甲答對題目的個數(shù)，則X的數(shù)學期望為.5．（2025·天津南開·模擬預測）某學校高一年級計劃成立一個統(tǒng)計方向的社團，為了了解高一學生對統(tǒng)計方面的