專題6.3二項式定理（重難點題型精講）1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.(2)二項展開式的規(guī)律

①二項展開式一共有(n+1)項.

②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.2．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角——二項式系數(shù)表

當n依次取1,2,3,時，觀察的展開式的二項式系數(shù)：從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項式定理得到的，右側(cè)三角是算出對應的組合數(shù)的值后所得結(jié)果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

①每一行中的二項式系數(shù)是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數(shù)相等，第二項與倒數(shù)第二項的二項式系數(shù)相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數(shù)之和為2=，第二行的三個數(shù)之和為4=，，第六行的各數(shù)之和為，，第n行的(n+1)個數(shù)之和為.(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)【題型1求展開式的特定項或特定項的系數(shù)】【方法點撥】二項展開式的通項的主要作用是求展開式中的特定項，常見的題型有：①求第k項；②求含(或)的項；③求常數(shù)項；④求有理項.其中求有理項時，一般根據(jù)通項，找出未知數(shù)的指數(shù)，令其為整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性求解.另外，若通項中含有根式，一般把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，以簡化運算.【例1】二項式x?23A．80 B．?80 C．?40 D．40【解題思路】求出展開式的通項，再令x的指數(shù)等于0，即可得出答案.【解答過程】解：二項式x?23令15?5k6=0，則k=3，所以常數(shù)項為【變式1-1】x?25的展開式中x3的系數(shù)為（A．40 B．?40 C．80 D．?80【解題思路】首先寫出展開式的通項，再代入計算可得；【解答過程】x?25的展開式的通項Tr+1=C5rx5?r?2r，令【變式1-2】2x?ax6的展開式中的常數(shù)項為-160，則aA．1 B．-1 C．2 D．-2【解題思路】由已知，根據(jù)二項式列出其展開式的通項，根據(jù)要計算的常數(shù)項，先計算出r，然后根據(jù)其常數(shù)項的系數(shù)列出關(guān)于a的方程，解方程即可完成求解.【解答過程】由已知，2x?ax6展開式的通向為Tr+1=C6r(2x)【變式1-3】x?2x10A．C104 B．C10424【解題思路】區(qū)分二項式系數(shù)和項的系數(shù)的區(qū)別，并求出展開式中項對應的系數(shù)，即可求解【解答過程】x?2x10【題型2用賦值法求系數(shù)和問題】【方法點撥】賦值法是解決二項展開式中項的系數(shù)和問題的常用方法.根據(jù)題目要求，靈活賦值是解題的關(guān)鍵.【例2】1+x4=a0+A．1 B．3 C．0 D．?3【解題思路】根據(jù)展開式，利用賦值法取x=【解答過程】因為1+x4令x=?1【變式2-1】若x+y6=a0yA．0 B．32 C．64 D．128【解題思路】先利用賦值法求得a0?a1+【解答過程】x=1，y=?1時，0=ax=1，y=1時，64=aa=a【變式2-2】若(3x?1)7=aA．?1 B．127 C．128 D．129【解題思路】利用賦值法計算可得.【解答過程】解：因為(3x?1)7=a7x令x=1，可得a7+a【變式2-3】已知Cn3=Cn6，設A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】利用組合數(shù)的性質(zhì)可求得n的值，再利用賦值法可求得a0和a【解答過程】因為Cn3=所以2x?39令x=2，得2×2?39=a令x=1，得2×1?39=a故選：D.【題型3多項式積的展開式中的特定項問題】【方法點撥】對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏.【例3】1x?21?2xA．?4 B．?6C．?8 D．【解題思路】先求出1?2x4【解答過程】1?2x4展開式的通項公式為T所以1x?21?2x【變式3-1】1+1x(1+x)4的展開式中含A．10 B．12 C．4 D．5【解題思路】利用二項式定理的通項公式進行分類討論即可求解.【解答過程】(1+x)4的二項展開式的通項為C4rxr，當r=2時，(1+當r=3時，(1+1x)(1+x)4的展開式中含x2項為(1【變式3-2】二項式(1+x+x2)(1?x)10A．120 B．135 C．140 D．100【解題思路】利用二項式定理得到(1?x)10的展開式通項公式，求出T3=45x2，T4=?120【解答過程】(1?x)10的展開式通項公式為T其中T3=C102故二項式(1+x+x2)(1?x)10即展開式中x4的系數(shù)為135【變式3-3】若2?ax1+x4展開式中x3的系數(shù)為2，則a=A．1 B．?1 C．?13 【解題思路】展開式中x3項的產(chǎn)生一部分來源于2與1+x4中x3項相乘，另一部分來源于?ax與1+x4中【解答過程】1+x4=1+4x+6x2+4x所以8－6a=2，解得【題型4求展開式中系數(shù)最大的項的方法】【方法點撥】由于展開式中各項的系數(shù)是離散型變量，因此，(1)在系數(shù)符號相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值，只需比較兩組相鄰兩項系數(shù)的大小，根據(jù)通項正確地列出不等式組即可.(2)當各項系數(shù)正負相間時，求系數(shù)的最大值應在系數(shù)都為正的各項系數(shù)間構(gòu)造不等式組；求系數(shù)的最小值應在系數(shù)都為負的各項系數(shù)間構(gòu)造不等式組.【例4】在3x?2y20的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是（

A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項【解題思路】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【解答過程】二項式3x?2y20的通項公式為：T設第r+1項的系數(shù)絕對值最大，所以有C20因為r∈N?，所以【變式4-1】若2+axna≠0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（A．?∞,0∪2,3 C．2,3 D．1【解題思路】計算n=9，計算T6=C9524ax【解答過程】2n=512，n=9，T6=C∵第6項的系數(shù)最大，∴C9524【變式4-2】已知x-2xA．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376【解題思路】先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得n=8，再結(jié)合二項展開式的通項求各項系數(shù)ar=-2r【解答過程】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則n=8∴展開式的通項為Tr+1=若求系數(shù)的最小值，則r為奇數(shù)且ar-ar+2∴系數(shù)的最小值為a5【變式4-3】已知2x+1xnA．二項展開式中各項系數(shù)之和為37 B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為C．二項展開式中無常數(shù)項 D．二項展開式中系數(shù)最大的項為240【解題思路】由二項式系數(shù)之和為64，可得2n=64，得n=6，所以二項式為2x+1x6【解答過程】因為2x+1所以2n=64，得n=6，所以二項式為則二項式展開式的通式公式Tr+1對于A，令x=1，可得二項展開式中各項系數(shù)之和為36對于B，第4項的二項式系數(shù)最大，此時r=3，則二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為T4對于C，令6?32r=0，則r=4對于D，令第r項的系數(shù)最大，則C6r2因為r∈N?，所以則二項展開式中系數(shù)最大的項為T3【題型5利用二項式定理證明整除問題或求余數(shù)】【方法點撥】(1)利用二項式定理證明整除問題，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式，其基本做法：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.(2)用二項式定理處理整除問題時，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或者是前面)一兩項就可以了，要注意余數(shù)的范圍.【例5】250?1除以7的余數(shù)是（A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】把250轉(zhuǎn)化成4×【解答過程】250=4×=4×C160又4×C【變式5-1】設a∈Z，且0≤a<13，若512021+a能被13整除，則aA．0 B．1 C．11 D．12【解題思路】由512021=(52?1)2021且52可以被13整除，即其展開式中不含【解答過程】由512021=(52?1)2021，展開式通項為所以展開式(52)2021?r中2021?r≠0的項均可被13整除，余項為T2022=?1，要使512021+a【變式5-2】設a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，則a=（A．0 B．1 C．11 D．12【解題思路】轉(zhuǎn)化為512021【解答過程】因為a∈Z，且0≤a≤13，所以51=C20210所以?C20212021【變式5-3】設n為正奇數(shù)，則5n+CA．?2 B．0 C．3 D．5【解題思路】按照二項式定理將原式改寫成7的倍數(shù)的形式，剩余的部分即為余數(shù).【解答過程】5===7C∵Cn故5n【題型6楊輝三角問題】【方法點撥】解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路：(1)觀察：對數(shù)據(jù)要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；(2)規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)據(jù)之間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律；(3)表達：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學式子表達出來；(4)結(jié)論：用數(shù)學表達式寫出結(jié)論.【例6】“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個數(shù)為該行中的最大值，則n=（

）A．21 B．22 C．23 D．24【解題思路】由題意可知，第n行的數(shù)就是二項式a+bn【解答過程】由題意可知，第n行的數(shù)就是二項式a+bn的展開式中各項的二項式系數(shù).因為只有第12項的二項式系數(shù)Cn11最大，所以n為偶數(shù)，故n【變式6-1】如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了(a+b)n（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（

A．256 B．512 C．1024 D．1023【解題思路】由圖形以及二項式系數(shù)和的有關(guān)性質(zhì)可得.【解答過程】由圖知，第10行的所有數(shù)字之和為C100+【變式6-2】我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯誤的是（

）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：CC．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051【解題思路】由組合數(shù)及二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷A、B、C，由二項式定理運算可判斷D.【解答過程】對于A，由組合數(shù)的互補性質(zhì)可得Cn對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)可得Cn對于C，由二項式系數(shù)和的性質(zhì)可得Cn對于D，115故選：D.【變式6-3】將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,便可以得到如圖的“0-1三角”.在“0-1三角”中,從第1行起,設第n(n∈N+)次出現(xiàn)全行為1時,1的個數(shù)為an,則a3等于()A．26 B．27C．7 D．8【解題思路】由于是將奇數(shù)換成1，故Cnr都是奇數(shù)，分別驗證n=6,7時【解答過程】第1行和第3行全是1，已經(jīng)出現(xiàn)了2次，依題意，第6行原來的數(shù)是C6r，而C61=6為偶數(shù)，不合題意；第7行原來的數(shù)是C7r，即1,7,21,35,35,21,7,1專題6.3二項式定理（重難點題型檢測）一．單選題1．x?2xA．-160 B．-140 C．160 D．140【解題思路】先寫出展開式的通項，然后根據(jù)x的指數(shù)部分為0確定常數(shù)項的項數(shù)，代入通項公式可得常數(shù)項.【解答過程】展開式通項為Tr+1=C6r所以常數(shù)項為?232．已知m>0，且152021+m恰能被14整除，則m的取值可以是（A．1 B．3 C．7 D．13【解題思路】由152021+m=(14+1)【解答過程】由152021∴要使152021+m恰能被14整除，只需m+1能被14整除即可且∴m=14k?1,(k∈N?)，當k3．1+x2x?A．?160 B．?100 C．?20 D．20【解題思路】求出2x?1x6的通項公式T【解答過程】2x?1x6展開式的通項為Tr+1=?1r26?rC64．習近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，第10行第9個數(shù)是（

）A．9 B．10 C．36 D．45【解題思路】結(jié)合二項式展開式的二項式系數(shù)求得正確結(jié)論.【解答過程】由題意知第10行的數(shù)就是二項式（a+b）10的展開式中各項的二項式系數(shù)，故第10行第9個數(shù)是C105．在二項式1?4x8①第5項的系數(shù)最大；②所有項的系數(shù)和為38③所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為?2④所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為27其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】比較二項式(1?4x)8的展開式中第9項的系數(shù)與第5項的系數(shù)可判斷的①正誤；利用二項式形式的性質(zhì)可判斷②③④的正誤【解答過程】第9項的系數(shù)為C88?(?4)8=48，第5項的系數(shù)為C84?(?4)4=70×44，6．若1+2x1?x+x210=A．1 B．2 C．1?3102【解題思路】利用賦值法可求出結(jié)果.【解答過程】在1+2x1?x+x210=令x=1，得a0+a1+所以a0+a2+7．關(guān)于x?12020及其展開式，下列說法正確的是（A．該二項展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和是2B．該二項展開式中第六項為CC．該二項展開式中不含有理項（有理項即為x的指數(shù)為整數(shù)的項）D．當x=100時，x?1【解題思路】對于A：由二項式系數(shù)和是22020，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和是2對于B：利用通項公式求出該二項展開式中第六項；對于C：利用通項公式求出該二項展開式的有理項，即可判斷；對于D.：利用二項式定理討論出(最后一項等于1),前面的所有項都能被100整除即可判斷.【解答過程】對于A：該二項展開式中二項式系數(shù)和是22020，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和是2對于B：.由于x?12020展開式的通項公式Tr+1對于C：通項公式Tr+1=C對于D.：當x=100時，10?1除了最后一項1，前面的所有項都能被100整除，故D正確；故選：D.8．在3x+x?23n的二項展開式中，Cnr3n?rxn?A．若n=8，則二項展開式中系數(shù)最大的項是C8B．已知x>0，若n=9，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數(shù)x的取值范圍是0<x≤4C．若n=10，則二項展開式中的常數(shù)項是C10D．若n=27，則二項展開式中x的冪指數(shù)是負數(shù)的項一共有12項．【解題思路】A選項：根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可；B選項：根據(jù)題意列不等式，然后分0<x≤1和x>1兩種情況解不等式即可；C選項：令10?53r=0【解答過程】A選項：令C8r38?r>B選項：C9138x223≤C92C選項：令10?53r=0，解得r=6D選項：令27?5r3<0，解得r>815二．多選題9．關(guān)于x?12021及其二項展開式，下列說法正確的是（A．該二項展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2B．該二項展開式中第8項為?C．當x=100時，x?1D．該二項展開式中不含有理項【解題思路】對于A，由二項式系數(shù)的性質(zhì)，由公式可得答案；對于B，根據(jù)二項式定理的通項公式，令r=7時，可得答案；對于C，根據(jù)二項式定理，結(jié)合帶余除法的變換等式，可得答案；對于D，利用二項式定理通項，使x的指數(shù)為整數(shù)，可得答案.【解答過程】偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為22020展開式中第8項為T7+1當x=100時，x=100C∵C2021∴當x=100時，x?1x?12021的展開式的通項為當2021?r2為整數(shù)，即r=1,3,5,?,2021時，T故選：BC．10．定義有n行的“楊輝三角”為n階“楊輝三角”，如圖就是一個8階“楊輝三角”.給出的下列命題中正確的是（

）.A．記第i(i∈N?)行中從左到右的第j(j∈N?)個數(shù)為aB．第k行各個數(shù)的和是2C．n階“楊輝三角”中共有nn+1D．n階“楊輝三角”的所有數(shù)的和是2【解題思路】明確第i行各個數(shù)是a+bi各行的所有數(shù)的和是各行對應的二項式系數(shù)和,由此判斷B;根據(jù)楊輝三角每行的數(shù)的個數(shù)，可計算n階“楊輝三角”中共有nn+1計算“楊輝三角”的所有數(shù)的和，即可判斷D.【解答過程】第i行各個數(shù)是a+bi則數(shù)列aij的通項公式為a各行的所有數(shù)的和是各行相應的二項式系數(shù)和，第k行各個數(shù)的和是2k第k行共有（k+1）個數(shù)，從而n階“楊輝三角”共有1+2+???+n=n“楊輝三角”的所有數(shù)的和是1+2+22+???+11．已知1+x?x25A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【解題思路】令x=1，可判定A正確；令x=?1，聯(lián)立方程組，可判定B錯誤，C正確；化簡1+x?x25【解答過程】因為1+x?令x=1，則(1+1?1)5令x=?1，則(1?1?1)5又由a0所以a0由1+x?x令x=1，則5×1+1?12．對于二項式x+3xA．存在n∈NB．對任意n∈NC．對任意n∈N?，展開式中沒有D．存在n∈N?，展開式中有【解題思路】求得二項式x+3xn和1x分別考察x的指數(shù)為0，1的情況，進而判定常數(shù)項和一次項的系數(shù)的存在性.【解答過程】解：對于二項式x+3xn的展開式的通項公式為而1x+x3n對于二項式x+3x未知數(shù)的次數(shù)為n?3r當?32r?n2+4k=0時，即3r+n=8k，當r=1，當?32r?n2+4k=1時，即3r+n+2=8k，當r=0，三．填空題13．2x?1x9【解題思路】利用二項式定理即可得解.【解答過程】因為2x?1當9?3k2=0，即k=3時，T4故答案為：?5376.14．已知(1+2x)6展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則ba【解題思路】由(a+b)n的二項展開式的通項Tr+1=Cnran?rbr，可知(1+2x)6展開式的二項式系數(shù)為C6r【解答過程】由題意可知(1+2x)6展開式的二項式系數(shù)為C當r=3時，取得最大值a=C63=20，當滿足C6r2∴16?r≥2r+12又∵r=0,1,?,6，∴r=4時，系數(shù)的最大值為b=C642415．若(3x+2)2022=a0+【解題思路】利用賦值法求出a0+a【解答過程】解：因為(3x+2)2022令x=1則52022=令x=?1則12022=+②得a0其中25=1+C所以251011則25其中C=C10111+C10112所以a0+a2+16．已知函數(shù)f(x)=(3x?2x)n，則下列關(guān)于f(x)①當n=11時，(3x?2②若(3x?2x)n的展開式的第3項與第5項的二項式系數(shù)之比為③當n=7時，(3x?2x)④當n=5時，(3x?2x)【解題思路】①由二項式展開式項數(shù)與指數(shù)n的關(guān)系即可判斷；②由題設Cn2Cn4【解答過程】①當n=11時，(3x?2②f(x)的展開式的第3項與第5項的二項式系數(shù)比為Cn2Cn4=n(n?1)③當n=7時，設f(x)=(3x?令x=1，得f(1)=1=a④當a=5時，(3x?2x)5的展開式的通項Tr+1=C5r?(3x)當r=1時，T2=?810x3，當r=3時，T4故系數(shù)最小的項是T2=?810x四．解答題17．在x+3(1)n的值；(2)展開式中x2【解題思路】（1）先求出各項二項式系數(shù)和與系數(shù)和，根據(jù)4n（2）根據(jù)二項展開式的通項公式可求出結(jié)果；【解答過程】(1)各項二項式系數(shù)和為2n，令x=1，則各項系數(shù)和為4所以可得4n2n=321，得(2)由（1）知，n=5，所以x+3x5的展開式的通項為T令5?32k=2，得k=2，所以展開式中x18．設x+12(1)求a5(2)求a0【解題思路】（1）根據(jù)2x2?1（2）令x=2,x=?2，對結(jié)果變形即可容易求得.【解答過程】(1)由題意知得a5是展開式x2x2?15的通項公式Tr+1則x+12令10?2r=4得r=3，再令10?2r=5得r=5則(?1)rC5(2)令x=2得3×75=令x=?2得?75=由①+②219．已知f(x)=(2x?3)n展開式的二項式系數(shù)和為512，且（1）求a2（2）求a1（3）求f(20)?20被6整除的余數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)二項式定理，由f(x)=(2x?3)n展開式的二項式系數(shù)和為512，可求出n=9，再將n=9代入(2x?3)n中，變形可得[2(x?1)?1]9，則（2）由（1）的結(jié)論，用賦值法，在(2x?3)9=a0+a1(x?1)+a（3）根據(jù)題意，可得f(20)?20=379?20，變形可得f(20)?20=(36+1)9【解答過程】解：（1）因為f(x)=(2x?3)n展開式的二項式系數(shù)和為512，所以2n因為(2x?3)9=[2(x?1)?1]（2）在(2x?3)9=a0+令x=2，可得a