專題7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型精講）1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：則稱E(X)=+++++為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

(2)對(duì)均值(期望)的理解

求離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意：

①期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.

②E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).

③均值與隨機(jī)變量有相同的單位.2．均值的性質(zhì)若離散型隨機(jī)變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特別地，當(dāng)a=0時(shí)，E(b)=b；

當(dāng)a=1時(shí)，E(X+b)=E(X)+b；

當(dāng)b=0時(shí)，E(aX)=aE(X).3．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱D(X)=+++=為隨機(jī)變量X的方差，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為(X).

(2)意義

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.4．方差的有關(guān)性質(zhì)當(dāng)a，b均為常數(shù)時(shí)，隨機(jī)變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).

特別地，當(dāng)a=0時(shí)，D(b)=0；當(dāng)a=1時(shí)，D(X+b)=D(X)；

當(dāng)b=0時(shí)，D(aX)=D(X).5．兩點(diǎn)分布的均值與方差一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【題型1均值的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)均值的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則E(2X?3)=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【變式1-1】已知離散型隨機(jī)變量X的期望EX=1，則E2X+1A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】已知隨機(jī)變量ξξ>0滿足E2?3ξ+E2A．?1或4 B．2 C．3 D．4【變式1-3】已知X的分布列為：X-101P11a設(shè)Y=2X+1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是(

)A．?16 B．16 C．2【題型2方差的有關(guān)性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合方差的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X?1，則D(Y)=A．9 B．8 C．5 D．4【變式2-1】已知隨機(jī)變量X的方差為DX=3，則D1A．9 B．3 C．13 D．【變式2-2】已知隨機(jī)變量X的分布列如下：236P11a則D(3X+2）的值為（

A．2 B．6 C．8 D．18【變式2-3】已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X?2012Pn11m若E(X)=0，則D(3X?1)=（

）A．6 B．7 C．20 D．21【題型3離散型隨機(jī)變量的均值的求法】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值；第二步，求X取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來(lái)求均值.【例3】已知某隨機(jī)變量X的分布為X?101P0.30.2m則EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．無(wú)法確定【變式3-1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【變式3-2】設(shè)a為正實(shí)數(shù)，若隨機(jī)變量X的分布列為PX=i=i2ai=1,2,3A．3 B．1 C．73 D．【變式3-3】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q則E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【題型4離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差】【方法點(diǎn)撥】第一步，理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有可能取值；第二步，求X取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步，寫出X的分布列，由均值的定義來(lái)求均值.第四步，利用方差的計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例4】隨機(jī)變量X的分布列是X?112Pab1若E2X+1=2，則DXA．1 B．4 C．117 D．【變式4-1】已知隨機(jī)變量X的分布列為：X12Pab則隨機(jī)變量X的方差DX的最大值為（

A．14 B．12 C．1 【變式4-2】已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若EX=2，則DXX123P1mnA．23 B．43 C．8【變式4-3】設(shè)0<m<1，隨機(jī)變量的分布列為：ξ0m1Pa12a?1則當(dāng)m在0,1上增大時(shí)（

）A．Dξ單調(diào)遞增，最大值為12B．DC．Dξ單調(diào)遞減，最小值為29D．D【題型5兩點(diǎn)分布的均值與方差】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義，結(jié)合均值、方差的性質(zhì)和計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例5】設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=1?PX=0=0.4，則A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【變式5-1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足PX=0=29PX=1，且PA．13 B．12 C．23【變式5-2】某運(yùn)動(dòng)員罰球命中得1分，不中得0分，如果該運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球一次的得分X的方差為（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【變式5-3】設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A，且P(A)=m，令隨機(jī)變量ξ=1,A發(fā)生0,A不發(fā)生，則ξ的方差A(yù)．m B．2m(1?m) C．m(m?1) D．m(1?m)【題型6均值與方差的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)審題，確定實(shí)際問(wèn)題是哪一種概率模型以及可能用到的事件類型和公式.(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值、方差.(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率、均值、方差等所表示的結(jié)論.【例6】我市擬建立一個(gè)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層師選，甲?乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲?(1)求甲公司至少答對(duì)2道題目的概率；(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲?乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？【變式6-1】為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為14,1(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【變式6-2】開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）中，Y表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差DX與D【變式6-3】已知投資甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，X1表1：X0.30.180.1P0.20.50.3表2：X0.250.15P0.20.8(1)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資甲?乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)，求Y1和Y2的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此(2)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬(wàn)元，求在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬(wàn)元時(shí)，可使所獲利潤(rùn)的方差和最??？注：利潤(rùn)率=利潤(rùn)專題7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．單選題1．下列說(shuō)法正確的是（

）A．離散型隨機(jī)變量的均值是0,1上的一個(gè)數(shù)B．離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平C．若離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2，則E(2X+1)=4D．離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)=2．設(shè)ξ的分布列如表所示，又設(shè)η=2ξ+5，則E(η)等于（

）ξ1234P1111A．76 B．176 C．1733．設(shè)隨機(jī)變量X，Y滿足：Y=3X?1，X～B2,13，則DA．4 B．5 C．6 D．74．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X12Pmn若EX=53，則A．16 B．13 C．235．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))X0123P0.20.30.4a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．a(chǎn)=0.2 B．PX≥2=0.7 C．EX=1.46．設(shè)0<a<12，隨機(jī)變量X-112P11a則當(dāng)DX最大時(shí)的a的值是A．14 B．316 C．17．已知0<p<12，隨機(jī)變量ξ、η相互獨(dú)立，隨機(jī)變量ξ的分布為?112313，η的分布為?1A．Eξ+η減小，Dξ+η增大 B．Eξ+ηC．Eξ+η增大，Dξ+η增大 D．Eξ+η8.互不相等的正實(shí)數(shù)x1,x2,x3,xA．EX<EYC．EX<EY二．多選題9．已知隨機(jī)變量X滿足EX=?4，DXA．E1?X=?5 C．D1?X=5 10．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PX=0=14，EX，DA．PX=1=EXC．DX=311．設(shè)a∈(0,13)，隨機(jī)變量X的分布列如表所示，隨機(jī)變量Y=3X+2，則當(dāng)a在(0,13)上增大時(shí)，下列關(guān)于X?2?10P2bb?aaA．E(Y)增大B．E(Y)先減小后增大C．D(Y)先增大后減小D．D(Y)增大12．2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標(biāo)賽，是揚(yáng)州首次承辦高規(guī)格、大規(guī)模的國(guó)際體育賽事.運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．設(shè)“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A，則PB．設(shè)“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件B，則PC．用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則ED．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則D三．填空題13．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=1)=0.4，設(shè)ξ=2X?3，那么E(ξ)=．14．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若EX=13，則D(3X?2)=X－101P1ab15．袋中有1個(gè)白球，2個(gè)黃球，2個(gè)紅球，這5個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回地從中取出1個(gè)球，取出白球即停，記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差，則E(X)=.16．已知A，B兩個(gè)不透明的盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)，A盒中有m0<m<10個(gè)紅球與10?m個(gè)白球，B盒中有10?m個(gè)紅球與m個(gè)白球，若從A，B兩盒中各取1個(gè)球，ξ表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則當(dāng)Dξ取到最大值時(shí)，m的值為四．解答題17．已知隨機(jī)變量X的分布列為X?2?1012P111m1（1）求E（2）若Y=2X?3，求EY18．已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且E(X)=2X01xP11p(1)求D(X)的值；(2)若Y=X+4，求D(Y)的值；(3)若Z=2?3X，求D(Z)的值．19．第二十二屆世界足球賽于2022年11月21日在卡塔爾舉行，是歷史上首次在中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場(chǎng)設(shè)計(jì)了一款足球游戲：場(chǎng)地上共有大、小2個(gè)球門，大門和小門依次射門，射進(jìn)大門后才能進(jìn)行小門射球，兩次均進(jìn)球后可得到一個(gè)世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顧客射進(jìn)大門的概率均為34，射進(jìn)小門的概率依次為23，13(1)求這3人中至少有2人射進(jìn)大門的概率；(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．20．某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020(1)若將頻率視為概率，從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取5個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考，方案1：不分類賣出，單價(jià)為21元/kg方案2：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)（元/16182224從采購(gòu)商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？(3)用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求X的分布列及方差DX21．某知名電腦品牌為了解