專題8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（重難點(diǎn)題型精講）1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來表示.

(2)相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2．散點(diǎn)圖(1)散點(diǎn)圖

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).3．線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).4．樣本相關(guān)系數(shù)(1)對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.【題型1變量間的相關(guān)關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)變量間的相關(guān)關(guān)系的定義，進(jìn)行判斷求解即可.【例1】下列兩個(gè)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系 B．學(xué)生的成績和身高C．兒童的年齡與體重 D．物體的體積和質(zhì)量【變式1-1】下列說法正確的是（

）A．y=2x2+1中的xB．正四面體的體積與棱長具有相關(guān)關(guān)系C．電腦的銷售量與電腦的價(jià)格之間是一種確定性的關(guān)系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務(wù)人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量【變式1-2】有幾組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績；③立方體的棱長和體積.其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是（

）A．①③ B．②③C．② D．③【變式1-3】下列說法正確的是（

）A．任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系B．球的體積與該球的半徑具有相關(guān)關(guān)系C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系D．一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間是一種非確定性的關(guān)系【題型2利用散點(diǎn)圖判斷相關(guān)性】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給的散點(diǎn)圖，研究兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【例2】對變量x、y由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖1，對變量y、z由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（

）A．變量x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)C．變量x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)D．變量x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)【變式2-1】在下列各散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】某中學(xué)的興趣小組在某座山測得海拔高度?氣壓?沸點(diǎn)的六組數(shù)據(jù)，并繪制出如圖所示的散點(diǎn)圖，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．氣壓與海拔高度呈負(fù)相關(guān) B．沸點(diǎn)與氣壓呈正相關(guān)C．沸點(diǎn)與海拔高度呈正相關(guān) D．沸點(diǎn)與海拔高度的相關(guān)性很強(qiáng)【變式2-3】對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A．r2<rC．r4<r【題型3樣本相關(guān)系數(shù)的意義】【方法點(diǎn)撥】對于所給題目，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義和有關(guān)概念來進(jìn)行判斷，即可得解.【例3】兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下表，其中擬合效果最好的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相關(guān)系數(shù)r0.480.960.150.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【變式3-1】對于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性B．樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負(fù)的C．樣本相關(guān)系數(shù)r∈D．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)【變式3-2】下列有關(guān)樣本線性相關(guān)系數(shù)r的說法，錯(cuò)誤的是（）A．相關(guān)系數(shù)r可用來衡量x與y之間的線性相關(guān)程度B．r≤1，且rC．r≤1，且rD．r≤1，且r【變式3-3】對于樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說法不正確的是（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)r可以用來判斷成對數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性B．樣本相關(guān)系數(shù)r∈[?1,1]C．當(dāng)r=0時(shí)，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系D．樣本相關(guān)系數(shù)r越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)【題型4樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】樣本相關(guān)系數(shù)是對兩個(gè)變量相關(guān)程度進(jìn)行定量刻畫，|r|越大，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，運(yùn)用樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷的一般步驟如下：(1)整理數(shù)據(jù)，求出相關(guān)值；(2)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)；(3)得出結(jié)論.【例4】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得i=120xi=60，i=120yi(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(x【變式4-1】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)xi,yi(i=1,2,?,20)，其中xi和yi分別表示第i(1)估計(jì)該地區(qū)這種野生動(dòng)物的數(shù)量；(2)求樣本xi【變式4-2】下圖是我國2014年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．（注：年份代碼1~7分別對應(yīng)年份2014~2021.）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．請求出相關(guān)系數(shù)r，并用相關(guān)系數(shù)的大小說明y與t相關(guān)性的強(qiáng)弱．參考數(shù)據(jù)和公式：i=17yi=10.97，i=17【變式4-3】為調(diào)查野生動(dòng)物保護(hù)地某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將保護(hù)地分成面積相近的300個(gè)地塊，并設(shè)計(jì)兩種抽樣方案．方案一：在該地區(qū)應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取30個(gè)作為樣本區(qū)，依據(jù)抽樣數(shù)據(jù)計(jì)算得到相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r=0.81；方案二：在該地區(qū)應(yīng)用分層抽樣的方法抽取30個(gè)作為樣本區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,???,30，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得i=130x(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；(2)求方案二抽取的樣本xi,y附：若相關(guān)系數(shù)r∈0.75,1則相關(guān)性很強(qiáng)，專題8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（重難點(diǎn)題型檢測）一．單選題1．對兩變量間的關(guān)系，下列論述正確的是（

）A．任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系B．正方形的面積與該正方形的邊長具有相關(guān)關(guān)系C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系D．一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間是一種非確定性的關(guān)系2．下列說法正確的是（

）A．圓的面積與半徑之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系B．糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系C．一定范圍內(nèi)，學(xué)生的成績與學(xué)習(xí)時(shí)間成正相關(guān)關(guān)系D．人的體重與視力成負(fù)相關(guān)關(guān)系3．在建立兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合最好的模型是（

A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R24．已知r1表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，且r1＝0.837，r2＝﹣0.957，則（

）A．變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性B．變量X與Y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性C．變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性D．變量U與V之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性5．下列命題中正確的為（）A．相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng) B．相關(guān)系數(shù)r越小，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱C．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 D．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R6．若已知i=1nxi?x2是i=1nyiA．21.2 B．1.22 C．0.927．相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程y=b1x+a1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)10,32，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程A．0<r1<C．?1<r1<8．給出下列結(jié)論：在回歸分析中（1）可用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R（2）可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好；（3）可用相關(guān)系數(shù)r的值判斷模型的擬合效果，r越大，模型的擬合效果越好；（4）可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高.以上結(jié)論中，不正確的是（

）A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）二．多選題9．在下列各量之間，存在相關(guān)關(guān)系的是（

）.A．正方體的體積與棱長之間的關(guān)系B．一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系C．人的身高與年齡之間的關(guān)系D．某戶家庭用電量與電價(jià)之間的關(guān)系10．某同學(xué)用搜集到的六組數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,?,6繪制了如下散點(diǎn)圖，在這六個(gè)點(diǎn)中去掉BA．決定系數(shù)R2變小 B．相關(guān)系數(shù)rC．殘差平方和變小 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y相關(guān)性變?nèi)?1．對兩個(gè)變量x與y進(jìn)行線性相關(guān)性和回歸效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù):x1,yA．若所有樣本點(diǎn)都在直線y=?x+1上，則兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)為r=1B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．若r越大，則變量x與y的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．若r越小，則變量x與y的線性相關(guān)性越強(qiáng)12．某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測中，語文成績、數(shù)學(xué)成績與六科總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，“”表示的是該班甲、乙、丙三位同學(xué)對應(yīng)的點(diǎn).從這次考試的成績看，下列結(jié)論正確的是（

）A．該班六科總成績排名前6的同學(xué)語文成績比數(shù)學(xué)成績排名更好B．在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是語文C．?dāng)?shù)學(xué)成績與六科總成績的相關(guān)性比語文成績與六科總成績的相關(guān)性更強(qiáng)D．在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其六科總成績名次靠前的學(xué)生是甲三．填空題13．有下列關(guān)系：①人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②學(xué)生與他（她）的學(xué)號之間的關(guān)系；③森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；④曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．其中有相關(guān)關(guān)系的是．（填上你認(rèn)為正確的所有序號）14．對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，依次獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的大小比較，將0、r1、r2、r3、r4從小到大排列，應(yīng)為15．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為：(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，是則r1與r2的大小關(guān)系是16．某中學(xué)統(tǒng)計(jì)了2011~2021這11年本校學(xué)生參加高考數(shù)學(xué)均分、英語均分、總分均分，得到如表所示的表格：年份20112012201320142015201620172018201920202021數(shù)學(xué)x（分）7577797480817783808281英語m（分）959810010110210310198107106100總分y（分）473481479485490487478492488493489從表中可知，數(shù)學(xué)和英語這兩科中與總分相關(guān)性較高的是.四．解答題17．判斷下列兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系：(1)月平均氣溫與家庭月用電量；(2)一天中的最高氣溫與最低氣溫；(3)某企業(yè)生產(chǎn)的一種商品的銷量與其廣告費(fèi)用；(4)谷物的價(jià)格與牛肉的價(jià)格；(5)在公式LW=12中的L與W．18．某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限x（單位：年）與失效費(fèi)y（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限x（單位：年）24568失效費(fèi)y（單位：萬元）34567根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱．（已知若0.75≤r≤1，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；若0.3≤r<0.75，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；若r<0.3，則認(rèn)為y19．科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)，如下表：x（年齡/歲）26273941495356586061y（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到下圖的散點(diǎn)圖．根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并描述它們的相關(guān)程度．附：參考數(shù)據(jù)：y=27，i=110xiyi=13527.8參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=120．“海水稻”就是耐鹽堿水稻，是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區(qū)，具有耐鹽堿的水稻，它比其它普通的水稻均有更強(qiáng)的生存競爭能力，具有抗?jié)常共∠x害，抗倒伏等特點(diǎn)，還具有預(yù)防和治療多種疾病的功效，防癌效果尤為顯著.海水稻的灌溉是將海水稀釋后進(jìn)行灌溉.某試驗(yàn)基地為了研究海水濃度x(‰)對畝產(chǎn)量y(噸)的影響，通過在試驗(yàn)田的種植實(shí)驗(yàn)，測得了某種海水稻的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如表.繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量y與海水濃度x之間的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算得y與x之間的線性回歸方程為y=海水濃度xi34567畝產(chǎn)量yi0.620.580.490.40.31殘差e（1）請你估計(jì)：當(dāng)澆灌海水濃度為8‰時(shí)，該品種的畝產(chǎn)量.（2）①完成上述殘差表：②統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大，模型擬合效果越好，并用它來說明預(yù)報(bào)變量與解釋變量的相關(guān)性.你能否利用以上表格中的數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識，說明澆灌海水濃度對畝產(chǎn)量的貢獻(xiàn)率？（計(jì)算中數(shù)據(jù)精確到(附：殘差公式ei=y21．某學(xué)校組織學(xué)生觀看了“天宮課堂”第二課的直播后，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識的興趣，提高