2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)理性精神培育試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）集合與邏輯推理已知集合(A={x\mid\log_2(x-1)<2})，集合(B={x\midx^2-4x+3\leq0})，則“(x\inA)”是“(x\inB)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件理性精神培育點(diǎn)：通過集合運(yùn)算與邏輯關(guān)系的結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)“充分性”“必要性”的嚴(yán)謹(jǐn)判斷能力，培養(yǎng)從數(shù)學(xué)符號(hào)到邏輯推理的轉(zhuǎn)化思維。函數(shù)與抽象思維已知函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?\mathbf{R})，且滿足(f(x+2)=-f(x))，當(dāng)(x\in[0,1])時(shí)，(f(x)=x^2)，則函數(shù)(g(x)=f(x)-\log_5|x|)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4B.6C.8D.10理性精神培育點(diǎn)：通過抽象函數(shù)的周期性與圖像變換，考查學(xué)生將文字描述轉(zhuǎn)化為圖像直觀的能力，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合解決復(fù)雜問題，培養(yǎng)抽象思維與空間想象的結(jié)合。三角函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用某型號(hào)地震儀的記錄紙為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒，筒上相鄰兩條豎線間的時(shí)間間隔為0.02秒。地震時(shí)，振針在紙上留下的曲線記錄了地面振動(dòng)的位移(y)（單位：mm）與時(shí)間(t)（單位：秒）的關(guān)系，若曲線的解析式為(y=5\sin(100\pit+\varphi))，則振針在記錄紙上留下的相鄰兩個(gè)波峰之間的距離為（）A.10mmB.20mmC.25mmD.50mm理性精神培育點(diǎn)：結(jié)合物理背景考查三角函數(shù)的周期性與圖像特征，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用意識(shí)。立體幾何與空間想象如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(E)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，點(diǎn)(F)在棱(DD_1)上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐(F-AEB)的體積（）A.隨點(diǎn)(F)的運(yùn)動(dòng)而變化，最大值為(\frac{4}{3})B.隨點(diǎn)(F)的運(yùn)動(dòng)而變化，最小值為(\frac{2}{3})C.為定值(\frac{2}{3})D.為定值(\frac{4}{3})理性精神培育點(diǎn)：通過動(dòng)態(tài)幾何問題，考查學(xué)生對(duì)三棱錐體積公式中“底面積”與“高”的靈活理解，引導(dǎo)學(xué)生通過不變量分析解決動(dòng)態(tài)問題，培養(yǎng)空間幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸思想。概率與數(shù)據(jù)分析某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：|閱讀時(shí)間（小時(shí)/周）|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8)|[8,10]||---------------------|-------|-------|-------|-------|--------||頻數(shù)|10|20|30|25|15|若用樣本估計(jì)總體，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，記“該學(xué)生的課外閱讀時(shí)間不少于6小時(shí)/周”為事件(A)，則(P(A))與(P(\overline{A}))的大小關(guān)系是（）A.(P(A)>P(\overline{A}))B.(P(A)=P(\overline{A}))C.(P(A)<P(\overline{A}))D.無法確定理性精神培育點(diǎn)：通過實(shí)際數(shù)據(jù)的分析與概率計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的解讀能力，培養(yǎng)基于數(shù)據(jù)進(jìn)行決策的理性思維，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在數(shù)據(jù)分析中的工具性作用。數(shù)列與邏輯推理已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列({a_n})是遞增數(shù)列B.數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n<2)C.數(shù)列(\left{\frac{1}{a_n}\right})是等差數(shù)列D.對(duì)任意(n\in\mathbf{N}^*)，(a_n\geq\frac{1}{2^n})理性精神培育點(diǎn)：通過遞推數(shù)列的性質(zhì)分析，考查學(xué)生對(duì)數(shù)列單調(diào)性、求和、構(gòu)造新數(shù)列的綜合應(yīng)用能力，培養(yǎng)從特殊到一般的歸納推理與嚴(yán)謹(jǐn)證明的結(jié)合。解析幾何與代數(shù)運(yùn)算已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，過(F_2)作雙曲線(C)的一條漸近線的垂線，垂足為(A)，若(|AF_1|=\sqrt{5}a)，則雙曲線(C)的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.(\sqrt{5})理性精神培育點(diǎn)：通過雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)解析幾何中“坐標(biāo)法”的掌握，培養(yǎng)用代數(shù)工具解決幾何問題的嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算能力與邏輯推理能力。導(dǎo)數(shù)與優(yōu)化思想已知函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3bx)在(x=1)處有極小值-1，若對(duì)任意(x\in[0,2])，不等式(f(x)\leqm)恒成立，則(m)的最小值為（）A.2B.4C.6D.8理性精神培育點(diǎn)：通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考查函數(shù)極值與恒成立問題，引導(dǎo)學(xué)生理解“優(yōu)化思想”在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，培養(yǎng)通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性、解決最值問題的邏輯思維。向量與幾何直觀在(\triangleABC)中，(D)為(BC)的中點(diǎn)，(E)為(AD)的中點(diǎn)，若(\overrightarrow{CE}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC})，則(\lambda+\mu=)（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{1}{4})C.(\frac{1}{4})D.(\frac{1}{2})理性精神培育點(diǎn)：通過平面向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)向量分解與幾何意義的結(jié)合，培養(yǎng)用向量工具解決幾何問題的直觀思維與邏輯表達(dá)能力。不等式與邏輯判斷若正數(shù)(x,y)滿足(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為（）A.(3+2\sqrt{2})B.(4+2\sqrt{2})C.(5+2\sqrt{2})D.(6+2\sqrt{2})理性精神培育點(diǎn)：通過基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)“一正二定三相等”條件的嚴(yán)謹(jǐn)判斷，培養(yǎng)在解決最值問題時(shí)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性與分類討論意識(shí)。立體幾何與空間向量在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，則異面直線(A_1B)與(AC_1)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(\frac{\sqrt{3}}{6})理性精神培育點(diǎn)：通過空間向量解決異面直線所成角問題，考查學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的能力，培養(yǎng)空間坐標(biāo)系建立的規(guī)范性與運(yùn)算的準(zhǔn)確性。概率與邏輯推理甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽，每局兩人比賽，另一人休息，三人約定每一局的輸方下一局休息。比賽開始時(shí)，甲對(duì)乙，若丙最終獲勝2局，則比賽至少進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為（）A.4B.5C.6D.7理性精神培育點(diǎn)：通過實(shí)際比賽情境中的概率問題，考查學(xué)生對(duì)邏輯推理與分類討論思想的應(yīng)用，培養(yǎng)在復(fù)雜情境中分析事件可能性的理性思維。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）復(fù)數(shù)與代數(shù)運(yùn)算已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。理性精神培育點(diǎn)：通過復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)代數(shù)運(yùn)算中的細(xì)節(jié)把控能力。二項(xiàng)式定理與組合思想((x^2-\frac{2}{x})^5)的展開式中，(x^4)的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）。理性精神培育點(diǎn)：通過二項(xiàng)式定理考查組合數(shù)的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)公式的準(zhǔn)確應(yīng)用與分類討論思想。圓錐曲線與幾何性質(zhì)已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則線段(AB)的長(zhǎng)度為________。理性精神培育點(diǎn)：通過拋物線的焦點(diǎn)弦問題，考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義的靈活應(yīng)用，培養(yǎng)幾何性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合能力。數(shù)列與創(chuàng)新思維定義“等比數(shù)列”：在數(shù)列({a_n})中，若存在常數(shù)(q)（(q\neq0)），使得對(duì)任意(n\in\mathbf{N}^*)，都有(a_{n+1}=qa_n)，則稱數(shù)列({a_n})為等比數(shù)列。類比上述定義，定義“等積數(shù)列”：在數(shù)列({b_n})中，若存在常數(shù)(k)（(k\neq0)），使得對(duì)任意(n\in\mathbf{N}^*)，都有(b_{n+1}b_n=k)，則稱數(shù)列({b_n})為等積數(shù)列。已知等積數(shù)列({b_n})中，(b_1=2)，(k=8)，則數(shù)列({b_n})的前2025項(xiàng)和為________。理性精神培育點(diǎn)：通過類比“等比數(shù)列”定義新數(shù)列“等積數(shù)列”，考查學(xué)生的創(chuàng)新思維與知識(shí)遷移能力，培養(yǎng)從已知概念推導(dǎo)出新結(jié)論的邏輯推理能力。三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）三角函數(shù)與解三角形（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且滿足(\sinA+\sinC=2\sinB)，(a^2+c^2=3ac)。（1）求角(B)的大?。唬?）若(b=2)，求(\triangleABC)的面積。理性精神培育點(diǎn)：通過正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)解三角形問題的邏輯推理與代數(shù)運(yùn)算能力，培養(yǎng)“一題多解”的發(fā)散思維與嚴(yán)謹(jǐn)性。立體幾何與空間證明（12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(E)為(PD)的中點(diǎn)，(PA=AB=2)，(AD=4)。（1）求證：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求平面(AEC)與平面(PBC)所成銳二面角的余弦值。理性精神培育點(diǎn)：通過立體幾何中的證明與計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)空間線面平行、二面角的理解，培養(yǎng)空間想象能力與邏輯證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，引導(dǎo)學(xué)生通過向量法或幾何法解決問題的靈活性。統(tǒng)計(jì)與概率（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造。為了解改造效果，隨機(jī)抽取了技術(shù)改造前后的各100件產(chǎn)品，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，得到如下頻率分布直方圖：（注：質(zhì)量指標(biāo)值在[85,115]內(nèi)的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品）（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別估計(jì)技術(shù)改造前后合格產(chǎn)品的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，分別估計(jì)技術(shù)改造前后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若從技術(shù)改造后的合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[95,105]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為(X)，求(X)的分布列與數(shù)學(xué)期望。理性精神培育點(diǎn)：通過統(tǒng)計(jì)圖表的分析與概率計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)期望的理解，培養(yǎng)基于數(shù)據(jù)進(jìn)行決策的理性思維，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用價(jià)值。解析幾何與綜合應(yīng)用（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求證：點(diǎn)(O)到直線(l)的距離為定值。理性精神培育點(diǎn)：通過橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)解析幾何中“設(shè)而不求”思想的應(yīng)用，培養(yǎng)代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯推理能力，引導(dǎo)學(xué)生通過向量數(shù)量積為零的條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求證：(x_1+x_2>2)。理性精神培育點(diǎn)：通過導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考查函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生理解“分類討論”“構(gòu)造函數(shù)”等思想在解決復(fù)雜問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理的深度與嚴(yán)謹(jǐn)性，提升數(shù)學(xué)思維的抽象性與創(chuàng)新性。選考內(nèi)容：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)(O)為極點(diǎn)，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的極坐標(biāo)方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）與曲線(C_1,C_2)分別交于(A,B)兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求(|AB|)的值。理性精神培育點(diǎn)：通過參數(shù)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的理解，培養(yǎng)在不同坐標(biāo)系下解決問題的靈活性與邏輯轉(zhuǎn)化能力。四、題型分布、難