15.4等腰三角形（等邊三角形）題型一利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)1．（24-25八年級(jí)下·河南·期末）已知：如圖，D、E分別是等邊三角形ABC兩邊AB、AC上的點(diǎn)，連接BE、CD，BE與CD交于點(diǎn)O，AD=CE，則∠BODA．50° B．60° C．65° D．70°【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，找出全等三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBE【詳解】解：∵△ABC∴AC=BC在△ACD和△AD=∴△ACD∴∠ACD∴∠BOD故選：B．2．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知△ABC和△BDE均為等邊三角形，連接AD，CE．若∠BAD=αA．60° B．α C．60°-α D．【答案】B【分析】本題考查三角形全等的判定方法，等邊三角形的性質(zhì)，因?yàn)椤鰽BC和△BDE均為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=∠EBD=60°，【詳解】解：∵△ABC和△∴AB=BC，∠ABC∵∠ABD=∠ABC∴∠在△ABD和△EBC中∴△∴∠故選：B．3．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則A．15° B．22.5° C．30° D．60°【答案】C【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，找到CM是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱的點(diǎn)M，連接CM，與AD交于點(diǎn)F，推出EF+CF最小時(shí)即為【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱的點(diǎn)M，連接CM，與AD交于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC∴AD⊥BC，AD平分∴M在AB上，∴MF=∴EF+∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)C,F,M時(shí)，∵AE=2∴AM=2，即點(diǎn)M為AB∵△ABC∴CM平分∠ACB，∴∠ECF故選：C．4．（24-25八年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期末）如圖，在等邊△ABC的外側(cè)作直線AP，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，DC．依題意補(bǔ)全圖形，若∠PAC=15°，則【答案】30【分析】本題考查了圖形的對(duì)稱以及外角性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，根據(jù)題目要求作圖，根據(jù)對(duì)稱AB=AD，得∠ADB【詳解】解：作圖如圖示：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線AP∴AB=∵∠PAC=15°，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于直線∴∠CAD∴∠BAD∵AB=∴∠ADB∴∠AEB∴∠∴∠BDC故答案為：30．5．（24-25八年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為等邊三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接．AD．，BD，OD，若點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，則∠BDO的度數(shù)為【答案】30°【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，求出∠DOE=∠EOA=90°-∠AOB=30°，OA=【詳解】解：設(shè)AD交y軸于E，如圖，∵△ABO∴∠AOB=60°，∴∠AOE∴∠BOD∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴∠DOE=∠AOE∴OB=∴∠BDO故答案為：30°．題型二利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度6．（24-25八年級(jí)下·陜西延安·期中）如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若BE=2，AE=8，則A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD【詳解】解：∵△ABC與△∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACB-∠DCB在△ACD和△AC=∴△ACD∴AD∵AE∴DE∴CE故選：C．7．（24-25八年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為9，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，DE交CB于點(diǎn)P，點(diǎn)P為DE中點(diǎn)．若DE⊥AC，則CD長(zhǎng)為（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于F，先證△CDF是等邊三角形，再證△PDF≌△PEB，得CD=BE，設(shè)【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A∵DF∴∠CDF∴△CDF∴CD∵點(diǎn)P為DE中點(diǎn)，∴PD在△PDF和△∠DFP∴△PDF∴DF∴CD∵DE∴∠ADE∴∠E設(shè)BE=x，則∴9-x解得：x=3∴CD故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，在直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊是斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是作輔助線證明△PDF8．（24-25八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥BC于點(diǎn)EA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，由等邊三角形性質(zhì)得到AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，根據(jù)含30°【詳解】解：∵△ABC∴AB=BC=∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=∵DF⊥∴∠AFD∴∠ADF∴AF=∴CF=∵EF⊥∴∠CFE∴CE=∴BE=故選：C．9．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且AD=CE，AE與BD相交于點(diǎn)P，BF⊥AE于點(diǎn)F，若PF=3，【答案】7【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記各性質(zhì)并確定出全等三角形，然后求出∠BPF=60°是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利證明△ABD【詳解】解：∵△ABC∴AB=AC∵AD∴△ABD∴∠ABD∴∠APD∴∠BPF∵BF∴∠BFP∴∠PBF∴BP∵PD∴BD∴AE故答案為：7．題型三證明等邊三角形10．（24-25八年級(jí)上·吉林白城·期末）如圖，△ABC中，AB=AC,?AD⊥BC于點(diǎn)D，【答案】△BCE【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先由等腰三角形的“三線合一”得到BD=CD，得到AD為BC的垂直平分線，從而BE=【詳解】解：△BCE∵AB=∴BD=∴AD為BC的垂直平分線，∴BE=∵BC=∴BC=∴△BCE11．（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，已知點(diǎn)A、F、E、B在同一條直線上，CE與DF交于點(diǎn)M，AE=BF，AC=BD，CE=【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定．先證明△ACE≌△BDF(SSS)，得到【詳解】證明：在△ACE和△AC=∴△ACE∴∠AEC∴MF=∵∠FME∴MFE是等邊三角形．12．（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，已知BE【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，等角對(duì)等邊，先證明Rt△BED≌Rt△CFDHL，則∠【詳解】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=∵DE⊥AB，∴△BED和△在Rt△BED和BD=∴Rt△∴∠B∴AB=∴△ABC∵DF⊥∴∠DFC∵∠CDF∴∠C∴△ABC13．（24-25八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于點(diǎn)M，BN(1)證明：AB=(2)若∠CAB=30°，證明：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC=∠即可證明∠BAC=∠BCA（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠MAC=60°，AM=12AC，【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠BAC∵CA平分∠BCD∴∠BCA∴∠BAC∴AB=（2）證明：∵∠CAB∴∠BAC∵AM⊥CD于點(diǎn)∴∠MAC∴∠MAC∵AB=BC，∴AN=∴AN=∴△AMN【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、等邊三角形的判定、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．題型四含30°角的直角三角形性質(zhì)求解14．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥ADA．8cm B．12cm C．16cm【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度的直角三角形，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．由等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得到∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，進(jìn)而得到∠CAD【詳解】解：∵AB=AC∴∠B∴∠BAC∵AB∴∠BAD∴∠CAD∴AD在Rt△ABD中，∴BD∴BC故選：D．15．（24-25八年級(jí)上·安徽淮北·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=15°，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，若∠ADB=30°A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等角對(duì)等邊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠DBC=15°，進(jìn)而BD=CD，又通過(guò)含【詳解】解：∵∠C=15°，∴∠DBC∴BD=∵∠A=90°，∴BD=2∴CD故選：A．16．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，若ED⊥AC交BC于P，且AD=4，BP【答案】4【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AC，∠ABC=∠A【詳解】解：∵△ABC∴AB=BC=∵ED⊥∴∠ADE∴∠E∴AE=2∵∠BPE∴∠BPE∴BE=∴BC=∴PC=故答案為：4．17．（23-24八年級(jí)上·山西呂梁·期末）如圖，點(diǎn)D，E分別為等邊三角形△ABC的邊BC，AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD與BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q．若PE=1，【答案】6【分析】先證明△ABE≌△CAD【詳解】解：∵等邊△ABC∴AB=∵AC=∴△ABE∴BE=∵∠BPQ∴∠BPQ∵BQ⊥∴∠∴BP=2∵PQ=2.5，PE∴BP=5∴BE=∴AD=BE故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知：如圖△ABC，AB=AC，∠B=30°，點(diǎn)D在BC【答案】1【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形．求出∠ADB=60°，從而∠DAC=30°，再證明【詳解】解：∵AB=AC∴∠B又∵AD∴∠ADB∴∠DAC∴∠DAC∴AD在Rt△ABD中，∠B∴AD=1∴DC題型一利用等邊三角形的性質(zhì)求最值19．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)線段AP的值最小時(shí)，BP的長(zhǎng)為【答案】3【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由垂線段最短可得當(dāng)AP⊥BC時(shí)，【詳解】解：∵點(diǎn)P在BC邊上，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，又∵△ABC∴BP故答案為：3．20．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的高線，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBE的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠ABP的度數(shù)是（A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求線段和的最小值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱，連接CE，交AD于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，PB+PE取得最小值，△PBE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，此時(shí)點(diǎn)N是三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)，故PB【詳解】連接CE，交AD于點(diǎn)N，連接CP，如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴PB=∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，∴CE⊥∴PB+當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，PB+PE取得最小值，此時(shí)點(diǎn)N是三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，故此時(shí)PB平分∠ABC故∠APB故選：C．21．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=12，CD=9，E是BC的中點(diǎn)，∠AED=120°A．25 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，將△ABE沿AE折疊得到△AB'E，將△CDE沿【詳解】如圖，將△ABE沿AE折疊得到△AB'E，將△CDE沿∵∠AED∴∠AEB∴∠AE∴∠B∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=∵BE=B'∴B'∴B'∴B'∴AD≤∴AD的最大值為19，故選：B．22．（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且PA=5，PC=4．則PBA．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，如圖，將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AD，連接BD、DP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ADP是等邊三角形，得DP=AD=AP=5，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，證明△ABD≌△ACPSAS，得BD=CP=4【詳解】解：如圖，將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AD，連接BD、DP，∴AD=AP=5∴△ADP∴DP=∵△ABC是等邊三角形，PC∴AB=AC，∴∠BAC-∠DAC在△ABD和△AB∴△ABD∴BD=∴BP≤BD+當(dāng)點(diǎn)D在BP上時(shí)取“=”，此時(shí)BP取得最大值9，∴PB的最大值為9．故選：C．23．（24-25八年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=8，E，P分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CP+A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和軸對(duì)稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．要求CP+EP的最小值，需考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化EP，【詳解】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC∴AD⊥∴AD是BC的垂直平分線，∴CF就是EP+∵直線外一點(diǎn)與直線上各個(gè)點(diǎn)的連線中，垂線段最短，∴CF⊥AB時(shí)，∵△ABC∴CF是△ABC∴CF=即CP+EP的最小值為8，故故選：C．題型二探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問(wèn)題24．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，頂點(diǎn)B在第四象限，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．2,-23 B．2,-3 C．2,4 D【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形與坐標(biāo)的特點(diǎn)，掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)的特點(diǎn)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，作圖如下，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，由等邊三角形的性質(zhì)得到OA=OB=AB=4【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)∵△OAB是等邊三角形，A4,0，頂點(diǎn)∴OA=OB=∴OC=∴BC=∴B2,-2故選：A．25．（22-23八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A1,1，B3,1，規(guī)定把等邊三角形ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度”為一次變換，這樣經(jīng)過(guò)2023次變換后，△ABC的頂點(diǎn)CA．-2022,1+3 BC．-2021,1+3 D【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化，平移和軸對(duì)稱變換，以及等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，確定出連續(xù)2021次這樣的變換得到三角形在x軸下方是解題的關(guān)鍵．據(jù)軸對(duì)稱判斷出點(diǎn)C變換后在x軸上方，然后求出點(diǎn)C縱坐標(biāo)，再根據(jù)平移的距離求出點(diǎn)C變換后的橫坐標(biāo)，最后寫出即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形AB∴點(diǎn)C到x軸的距離為1+2×3∵橫坐標(biāo)為2，∴C第2023次變換后的三角形在x軸下方，點(diǎn)C'的縱坐標(biāo)為-3-所以，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)是-故選：D．26．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A0,6，點(diǎn)B，C在x軸上，Q是（1）∠CAO=（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)點(diǎn)Q，再沿QB到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線QB上運(yùn)動(dòng)的速度的2倍，若點(diǎn)P按上述要求到達(dá)點(diǎn)B所用時(shí)間最短，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．【答案】300,2【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)即可得解；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC于H，設(shè)點(diǎn)P在y軸的速度為x，則點(diǎn)P在BQ上的速度為12x，表示出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B所用時(shí)間得到當(dāng)12AQ+BQ有最小值時(shí)，點(diǎn)Q，點(diǎn)【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AO∴∠CAO故答案為：30；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC于設(shè)點(diǎn)P在y軸的速度為x，則點(diǎn)P在BQ上的速度為12∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B所用時(shí)間=AQ∴當(dāng)12AQ+BQ有最小值時(shí)，點(diǎn)∵∠OAC∴QH=∴12∴當(dāng)點(diǎn)Q，點(diǎn)B，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，12AQ+∴BH⊥∵△ABC∴∠ABQ∴BQ=2QO，∴AQ=∴AQ=2∵點(diǎn)A0,6∴AO=6∴OQ=2∴點(diǎn)Q0,2故答案為：0,2．27．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖在等邊△ABC中，∠BAC的平分線交y軸于點(diǎn)D，C(1)如圖1，求D的坐標(biāo)．(2)如圖2，E為x軸上任意一點(diǎn)，以CE為邊，在第一象限內(nèi)作等邊△CEF，延長(zhǎng)FB交y軸于點(diǎn)G，求OG(3)如圖3，在（1）條件下，M為y軸正半軸上D點(diǎn)上方的任意一點(diǎn)，在BM右上方作∠BMN=60°交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，求【答案】(1)0,3(2)9(3)6【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB=12AB=12AC,∠BAC（2）過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BC,FH⊥x軸，垂足分別為K，H，（3）在DN上截取DP=DM，連接MP,DB,MN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB=2OD=6，再證明△DMP是等邊三角形，可得DM=MP，∠DPM【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，OC∴OA=在Rt△ACO中，∵C的坐標(biāo)為0,9，∴OC=9∴OA=3∵∠BAC的平分線交y軸于點(diǎn)D∴∠BAD∴AD=2∴OA=∴OD=3∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,3；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥BC,FH⊥∵△CEF∴FC=∵∠OBC∴∠CBE∴∠FCB∵∠∴∠FCB在△FCK和△∵∠FKC∴△FCK∴FK=∴BF平分∠CBE∴∠FBE∴∠OBG∴∠BGO∴BG=∴OB∴OG=（3）解：如圖，在DN上截取DP=DM，連接∵OD垂直平分AB，∴DA=∵∠DAO∴∠ADO∴∠MDP=60°，∴∠BDN∵DM=∴△DMP∴DM=∴∠MPN∵∠BMN∴∠BMN∴點(diǎn)M，D，B，N四點(diǎn)共圓，∴∠MND在△MNP和△∵∠MNP∴△MNP∴PN=∴DN-【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型三探究等邊三角形中的折疊問(wèn)題28．（23-24八年級(jí)上·安徽·期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D，E分別是邊AB，AC上的兩點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A'A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和折疊問(wèn)題．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1∴AB=∵D，E分別是邊AB，AC上的兩點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A∴AD=A'則陰影部分圖形的周長(zhǎng)為：BC+故選：D．29．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，已知等邊三角形ABC，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，△ADC沿AD折疊得△ADE，連接BE，若∠ADB=70°，則A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰及等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．由折疊性質(zhì)可得△ADC≌△ADE得到AC=AE，∠【詳解】解：∵等邊△ABC∴∠C=∠ABC∵∠ADB=70°，∴∠CAD由折疊性質(zhì)可得△ADC∴AC=AE∴∠BAE∵AB∴∠AEB∴∠DBE故答案為：A．30．（24-25八年級(jí)上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC邊上取D、E兩點(diǎn)，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F的位置，若DF⊥BC，則

【答案】45°/45度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出相關(guān)角度，再利用折疊性質(zhì)得到角的等量關(guān)系，最后通過(guò)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED【詳解】∵△ABC∴∠A∵DF⊥∴∠DFB∴∠BDF由折疊可知，∠ADE∵∠BDF∴∠ADE∴∠AED故答案為：45°．31．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAD=30°，將△ABD沿AD折疊至△ADB'，∠ACB=2α，連接B'【答案】90°-【分析】連接BB'，過(guò)點(diǎn)B'作B'E⊥BC于E，B'F⊥AC于F，可得△【詳解】解：如圖，連接BB'，過(guò)點(diǎn)B'作B'E⊥BC于E由折疊可知，∠BAD∴∠BA∴△AB∴AB∵B'C平分∴∠AC又∵B'∴B'在Rt△BBB'∴Rt△∴∠B∴∠B即∠ABC∵∠ACB∴∠ABC∴∠A故答案為：90°-α【點(diǎn)睛】本題考查折疊變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．題型四探究等邊三角形中的三角板問(wèn)題32．（24-25八年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱后，小華在課外研究三角板時(shí)發(fā)現(xiàn)“兩塊完全相同的含有30°角的三角板可以拼成一個(gè)等邊三角形”，請(qǐng)你幫他解決以下問(wèn)題：在直角△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6,BC=23，點(diǎn)E，【答案】6【分析】本題考查最短路徑問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱將EP+BP的最小值轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，過(guò)B'作B'E⊥AB交【詳解】解：如圖：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，過(guò)B'作B'E⊥AB交AC于點(diǎn)由題意可得兩塊完全相同的含有30°的三角板可以拼成一個(gè)等邊三角形，∴BP=∴EP+BP=EP+B'P∴EP+BP∵B'E∴B∴EP+BP的最小值為故答案為：6．33．（22-23八年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期末）如圖，某同學(xué)拿著含45°角的直角三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MNC，連結(jié)BM，與AC相交于點(diǎn)O．已知CM=4，則OC的長(zhǎng)為【答案】2【分析】連接AM，由題意可得△ACM為等邊三角形，AC=CM，再根據(jù)AB=BC，CM【詳解】如圖，連接AM，∵含45°角的直角三角板繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MNC∴CA=CM=4∴△ACM∴AM=∵AB=BC，∴BM垂直平分AC，∴OC=故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（21-22八年級(jí)上·山西臨汾·期末）實(shí)踐與探索：在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)含30°角的完全相同的直角三角形拼擺”為主題開展教學(xué)活動(dòng)．(1)將兩個(gè)三角板較長(zhǎng)的直角邊靠在一起，拼成了如圖1所示的三角形，則ΔABC是三角形，理由是

(2)經(jīng)過(guò)拼擺，發(fā)現(xiàn)小組認(rèn)真觀察圖1，得到了一個(gè)結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，并給出了證明的一部分．請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．已知：如圖2，ΔABD是直角三角形，∠D=90°,∠證明：如圖3，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)C，使CD=BD，連接∴BD=(3)實(shí)驗(yàn)小組受到了發(fā)現(xiàn)小組的啟發(fā)，將圖1中的ΔACD以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(α<90°)，旋轉(zhuǎn)后得到ΔA'C'D，如圖4問(wèn)題一：求證DO平分∠AD問(wèn)題二：當(dāng)點(diǎn)A恰好在A'D的垂直平分線上時(shí)，則∠AOD【答案】(1)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形(2)詳見解析(3)問(wèn)題一：見解析；問(wèn)題二：120【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得AB=AC,∠（2）延長(zhǎng)BD至點(diǎn)C，使CD=BD，連接AC．證ΔABD≌ΔACD(SAS)（3）問(wèn)題一：連接AA'，證ΔADO問(wèn)題二：連接AA'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=A'D，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AA【詳解】（1）解：由題意得：ΔABD∴AB=∴∠BAC∴ΔABC是等邊三角形（有一個(gè)角為60°故答案為：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，（2）證明：如圖3，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)C，使CD=BD，連接∴BD=在ΔABD和ΔBD=∴ΔABD∴AB=∴∠BAC∴ΔABC∴BC=∴BD=（3）問(wèn)題一：證明：如圖4，連接AA由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠OAD∴∠DA∴∠OA∴OA=在ΔADO和ΔAD=∴ΔADO∴∠ADO∴DO平分∠AD問(wèn)題二：解：如圖5，連接AA由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=∵點(diǎn)A恰好在AD的垂直平分線上，∴AA∴AA∴ΔA∴∠AD由問(wèn)題一可知，OD平分∠AD∴∠ADO∴∠AOD故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．題型五探究等邊三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題35．（21-22八年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖1所示，在邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)當(dāng)t=時(shí)，△(2)如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)．那么當(dāng)t取何值時(shí)，△(3)如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于E．試問(wèn)線段DE【答案】(1)3(2)當(dāng)t為2s或4s時(shí)，(3)DE的長(zhǎng)度不變化，為3【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC=AC=6cm，∠A（2）分兩種情況：當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，當(dāng)（3）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，證明△APE≌△CQFAAS，得出AE=CF，【詳解】（1）解：∵△ABC∴AB=BC=∵△PAC∴∠APC∴∠ACP∴AP=∵動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，∴t=3÷1=3（2）解：∵△PAQ∴分兩種情況：當(dāng)∠APQ則∠AQP∴AQ=2由題意可得：AP=∴AQ=∴6-t解得：t=2當(dāng)∠AQP則∠APQ∴AP=2∴t=2解得：t=4綜上所述，當(dāng)t為2s或4s時(shí)，（3）解：DE的長(zhǎng)度不變化，為3cm如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于∵PE⊥AC，∴∠AEP∵∠QCF∴∠A∵AP=∴△APE∴AE=CF，又∵∠PDE∴△PDE∴DE=∵EF=CE+∴EF=∴DE=∴DE的長(zhǎng)度不變化，為3cm【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．36．（24-25八年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，且AB=AE，AF平分∠CAE交(1)如圖1，求證：EF=(2)如圖2，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，在BE上取點(diǎn)M，使BM=EF，連接【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，根據(jù)題意可推出AE（2）由△ACF≌△AEF，結(jié)合題意可推出CF=BM，∠ACF=∠ABM，證明△ABM≌△ACF，得到AM【詳解】（1）證明：∵AF平分∠∴∠∵AB∴在△ACF和△AEF中，∴△∴EF（2）如圖，在BE上截取BM=EF，連接∵△ACF≌△∴在△ABM和△AB=∴△ABM∴∵∴△ABC∴∠BAC∴∠MAF∵∴△AMF題型六探究等邊三角形中線段關(guān)系37．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知△ABC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP(1)如圖1，點(diǎn)E在AC邊上，且AE=BP，連接BE交CP于點(diǎn)①求證：BE=②填空：∠BFC=______(2)如圖2，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至CQ，即CP=CQ，∠PCQ=120°，連接BQ交AC于點(diǎn)D，試確定(3)如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=BP，連接QE，DE．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)S【答案】(1)①詳見解析；②∠(2)4(3)12【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）①證明△ABE≌△BCP（2）在AC上截取AE=BP，連接BE，QE，證明（3）延長(zhǎng)CE至M，使CM=BC=4，連接QM．證明△ACP≌△【詳解】（1）①證明：∵△ABC∴AB=BC，在△ABE和△BCP中∴△ABE≌△∴BE=②∵△ABE∴∠AEB∴∠故答案為120°；（2）如圖2，在AC上截取AE=BP，連接由（1）可知，BE=CP，∵CP∴BE=∵∠QCP∴∠BFC∴BE∴∠EBD=∠CQD，在△EBD和△CQD∴△EBD∴∵AE∴BP（3）如圖3，延長(zhǎng)CE至M，使CM=BC=4∵∠ACP=∠QCM=120°-∠ACQ∴△ACP∴∠M=∠A∵CE=BP，則∴△EMQ∵S∴S∴CE:EM∴S∵S∴S由（2）可知BD=QD，則∴故答案為：12538．（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期末）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BE(1)若AB是∠DBE的平分線，求∠(2)如圖2，連接EA并延長(zhǎng)交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠F=60°，試探究EA，AF和【答案】(1)∠(2)BF=AE+2【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．（1）設(shè)∠EBA=∠ABD=α，根據(jù)對(duì)稱得出∠CBD=∠（2）連接CF，在BF上截取FG=AF，連接AG，可推出∠AGB=∠AFC=120°，進(jìn)而得出△【詳解】（1）解：設(shè)∠EBA∵點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于BD對(duì)稱，∴∠CBD∵△ABC∴∠ABC∴∠ABD∴3α∴α=20°∴∠ABD（2）解：BF=AE+2連接CF，在BF上截取FG=AF，連接∵點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于BD對(duì)稱，∴CF=EF=AE∴△AGF∴∠AGF=60°，∴∠AGB∵∠ADB=∠∴∠ABD∵AB∴△ABG∴BG∴BF39．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·期中）閱讀材料：如圖1，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r(1)連接AP，則S△ABP+S△ACP=S△ABC(2)深入探究如圖2，將“在△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)”改成“P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG(3)理解與應(yīng)用如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，PE、PF【答案】(1)PE(2)PE+(3)PE+【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積．熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．（1）PE、PF、CM替代r1+r2=h，中的r1，r2【詳解】（1）解：PE+故答案為：PE+（2）解：PE+連接AP、則S△∵等邊三角形ABC，∴AB=∵PE⊥∴12∴12∴PE+（3）解：PE+連接AP、則S△∵等邊三角形ABC，∴AB=∵PE⊥∴12∴12∴PE+題型七等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題判斷正誤40．（24-25八年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，且A，C，E三點(diǎn)共線．AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②∠ADB=60°；③AP=BQ；④△A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，證△ACD≌△BCESAS，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到∠CAD=∠CBE，結(jié)合對(duì)頂角相等可推出∠AOB=∠ACP=60°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可判斷②【詳解】解：∵△ABC和△∴AC=BC，CD=∴∠ACB∴∠ACD在△ACD和△AC=∴△ACD∴AD=故①結(jié)論正確；∵△ACD∴∠CAD又∵∠APC∴∠AOB∵∠AOB是△∴∠AOB∴∠ADB故②結(jié)論錯(cuò)誤；∵∠PCQ∴∠ACP在△ACP和△∠CAP∴△ACP∴AP=故③結(jié)論正確；∵△ACP∴PC=又∵∠PCQ∴△PCQ故④結(jié)論正確；∴∠CPQ∴∠ACP∴PQ∥故⑤結(jié)論正確；即正確結(jié)論的是①③④⑤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形判定和的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．41．（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，已知等邊三角形ABC，AB=2，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G．DF交BC于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：①BE=CG；②△A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB=60°，則∠GCF=∠ACB=60°，則可根據(jù)“AAS”判定△BDE≌△CFG，所以BE=CG；于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用DE=FG可判斷△EDP≌△GFP，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于只有當(dāng)【詳解】解：∵△ABC∴∠B∵∠GCF∴∠B∵DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥∴∠DEB在△BDE和△∠B∴△BDE∴BE=所以①正確；在△EDP和△∠DPE∴△EDP所以②正確；∵∠BDE∴只有當(dāng)PD⊥AB時(shí)，所以③錯(cuò)誤；∵△EDP∴EP=∵BE=∴EG=∴EP=所以④正確．故選：D．42．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角二角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CD分別交AE，AB于點(diǎn)F，G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD分別交①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③其中一定正確的是．【答案】①②④【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得△CAD是等腰三角形，∠CAD=150°，求解可知①正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)以及三線合一定理得出∠DAE=45°，由三角形的內(nèi)角和可求出∠BAH=∠ADF，通過(guò)證明△ADF≌△BAH即可得到DF=AH；BH=AF，可知②正確，由∠FAP=30°AH⊥CD，可得AF=2PF，BH【詳解】解：∵△ABC∴∠BAC=60°，∵△ABD為等腰直角三角形，∠∴AB=AD，∴△CAD是等腰三角形，∠∴∠ADC∴∠BAC故①正確；∵∠ADB=∠ABD∴∠EDF=30°又∵AE⊥∴∠AFG=∠EFD∵AH⊥∴∠FAP=90°-∠∴∠BAH在△ADF和△∠ADF∴△ADF∴DF=AH，故②正確；∵∠FAP=30°，∴AF=2∴BH=2PF，故如圖，取AD的中點(diǎn)Q，連接QP，QE，∵∠APD∴PQ=∴∠QPD∵∠DAP∴∠QPA=∠QAP∴∠AQP=180°-2×75°=30°，∴∠PQE∴△PQE∴∠QPE=60°∴∠EPD=60°-15°=45°，故故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．43．（24-25八年級(jí)上·安徽黃山·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．已知∠ADC=120°，∠ABC=60°．“箏形”①△ABC②AD=③S四邊形④點(diǎn)P、Q分別在線段AB、BC上，且∠PDQ=60°，則其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】由“箏形”的性質(zhì)可得AB=BC，AD=CD，根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論，故可判定①；證明△ABD≌△CBDSSS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB=60°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出BD與AD的數(shù)量關(guān)系，故可判定②；由面積關(guān)系可求出四邊形ABCD的面積，故可判定③；延長(zhǎng)【詳解】解：∵四邊形ABCD是“箏形”四邊形，∴AB=BC，∵∠ABC∴△ABC是等邊三角形，故結(jié)論①∴∠BAC∵AD=CD，∴∠DAC∴∠DAB在△ABD和△AD=CD∴△ABD∴∠ABD∠ADB∴AD=12∵∠DOA∴BD⊥∵S四邊形ABCD=如圖所示，延長(zhǎng)BC到E，使CE=AP，連接DE∵∠DAB∴∠DAB在△DAP和△DA=∴△DAP∴∠ADP=∠CDE∵∠