第15章軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形（復(fù)習(xí)講義）1.掌握基本概念：使學(xué)生理解軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，掌握對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的概念，并能識(shí)別和繪制軸對(duì)稱(chēng)圖形。同時(shí)，讓學(xué)生掌握等腰三角形的判定定理（兩邊相等或兩底角相等），以及等腰三角形的性質(zhì)（底角相等、三線(xiàn)合一等）.2.培養(yǎng)空間觀念和邏輯推理能力：通過(guò)觀察、分析軸對(duì)稱(chēng)圖形和等腰三角形，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象思維，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流的能力.3.應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題：培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行探究和解決問(wèn)題的素養(yǎng)，通過(guò)小組討論等活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用所學(xué)知識(shí).4.熟練掌握性質(zhì)并應(yīng)用：能夠熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)并能熟練應(yīng)用，特別是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和角的平分線(xiàn)及等腰三角形的性質(zhì)2.●一、軸對(duì)稱(chēng)圖形（一）軸對(duì)稱(chēng)圖形的相關(guān)概念★1、軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)（成軸）對(duì)稱(chēng)．★2、軸對(duì)稱(chēng)圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線(xiàn)分割成的兩部分沿著對(duì)稱(chēng)軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．★3、常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．（二）軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)★1、性質(zhì)：★2、畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸的方法：（1）過(guò)兩對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段的中點(diǎn)作直線(xiàn)；（2）作一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn).●二、軸對(duì)稱(chēng)（一）軸對(duì)稱(chēng)的相關(guān)概念★1、軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（或說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)），這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).【注意】理解軸對(duì)稱(chēng)的定義應(yīng)抓住三點(diǎn)：①有兩個(gè)圖形；②存在一條直線(xiàn)；③一個(gè)圖形沿著這條直線(xiàn)折疊后能與另一個(gè)圖形重合.★2、軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)圖形區(qū)別意義一個(gè)圖形具有的特殊形狀兩個(gè)全等圖形的特殊的位置關(guān)系對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)一條或多條只有一條對(duì)稱(chēng)軸的位置一定經(jīng)過(guò)這個(gè)圖形可能在兩個(gè)圖形的外部，也可以經(jīng)過(guò)兩個(gè)圖形內(nèi)部或它們的公共邊（點(diǎn)）.聯(lián)系1.都是沿著某條直線(xiàn)折疊后能重合.2.若把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)（原對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)．（二）軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)★1、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：（1）成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分．如右圖：直線(xiàn)MN是AA′,BB′,CC′的垂直平分線(xiàn).由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被同一條直線(xiàn)垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸．③成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等.（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．★2、找對(duì)稱(chēng)軸：若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，其對(duì)稱(chēng)軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，因此只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸．軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸作法相同．★3、、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的方法：先確定一些特殊的點(diǎn)，然后作這些特殊點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，順次連接即可．●三、畫(huà)已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形畫(huà)與已知圖形成軸對(duì)稱(chēng)的圖形的步驟：（1）找：觀察已知圖形，找出能代表已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（頂點(diǎn)或拐點(diǎn)）；（2）作：分別作出這些關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)；（3）連：按原圖形的順序依次連結(jié)相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).●四、線(xiàn)段的垂直的平分線(xiàn)◆1、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).如圖，MN⊥AA′，AP=A′P.直線(xiàn)MN是線(xiàn)段AA′的垂直平分線(xiàn).說(shuō)明：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看成是與線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.◆2、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.★★應(yīng)用格式：（如右圖）∵直線(xiàn)l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在直線(xiàn)l，∴PA=PB．★★作用：證明線(xiàn)段相等.◆3、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．★★應(yīng)用格式：（如上圖）∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線(xiàn)上．★★作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.●五、角的平分線(xiàn)（一）角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理◆1、性質(zhì)定理：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.◆2、應(yīng)用所具備的條件：（1）點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上；（2）到角兩邊的距離(垂直).◆3、定理的作用：證明線(xiàn)段相等.◆4、角平分線(xiàn)的性質(zhì)的幾何語(yǔ)言：如圖，∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE【注意】①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線(xiàn)段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線(xiàn)，有垂直.（二）角平分線(xiàn)的判定定理◆1、判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.◆2、應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.◆3、定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角的平分線(xiàn)上.◆4、角平分線(xiàn)的判定的幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上.★拓展三角形的三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等，反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn).●六、等腰三角形的概念及性質(zhì)★1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．★2、等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)“等邊對(duì)等角”).★用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角）.★3、等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形底邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)及頂角平分線(xiàn)重合.簡(jiǎn)稱(chēng)：等腰三角形三線(xiàn)合一.★用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC中，（1）∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線(xiàn)合一）.（2）∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線(xiàn)合一）.（3）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線(xiàn)合一）.★在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線(xiàn)；④頂角平分線(xiàn)．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．★拓展：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為頂角平分線(xiàn)（或底邊上的高或底邊上的中線(xiàn)）所在的直線(xiàn).●七、等邊三角形的概念及性質(zhì)★1、定義：三邊相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形．★2、性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且有3條對(duì)稱(chēng)軸．（2）等邊三角形的各角都等于60°．★3、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)比較：等腰三角形等邊三角形對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)圖形(1條)軸對(duì)稱(chēng)圖形(3條)邊兩腰相等三邊都相等角兩底角相等三個(gè)角都等于60°特殊線(xiàn)底邊上的中線(xiàn)、高和頂角的平分線(xiàn)互相重合(1條)每一邊上的中線(xiàn)、高和這一邊所對(duì)的角的平分線(xiàn)互相重合(3條)●八、等腰三角形的概念及性質(zhì)等腰三角形的判定方法：★1、定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.★2、判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.(簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”)．幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角對(duì)等邊）.★3、等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別條件結(jié)論作用性質(zhì)(等邊對(duì)等角)在同一個(gè)三角形中，兩邊相等.這兩邊所對(duì)的角也相等.證明角相等.判定(等角對(duì)等邊)在同一個(gè)三角形中，兩個(gè)角相等.這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.證明線(xiàn)段相等.●九、等邊三角形的判定★1、等邊三角形的判定（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．★2、等邊三角形與等腰三角形判定的區(qū)別圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三條邊都相等的三角形是等邊三角形.從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.特別說(shuō)明：這個(gè)作法實(shí)際上就是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖法，我們也可以用這種方法確定線(xiàn)段的中點(diǎn)．題型一題型一軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別【例1】（25-26八年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形指的是一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合的圖形，按概念判斷即可．【詳解】解：A．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故A不符合題意；B．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故B不符合題意；C．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故C不符合題意；D．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故D符合題意．故選：D．【變式1-1】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·期中）下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)符合題意；C、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；D、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式1-2】列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；故選：A．題型題型二軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的應(yīng)用【例2】如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，將D點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F，并連接AE、AF．根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，求∠A．113° B．124° C．129° D．134°【答案】D【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解答．連接AD，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：連接AD，∵D點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱(chēng)軸，得到點(diǎn)E、F，∴∠EAB=∠BAD∴∠EAB∵∠B=62°，∴∠BAC∴∠EAF故選：D．【變式2-1】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，△A'B'C'與△ABC關(guān)于直線(xiàn)MNA．直線(xiàn)MN被線(xiàn)段AA'垂直平分 B．線(xiàn)段AAC．直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AA'中點(diǎn)，但不垂直 D．【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，如果把兩個(gè)圖形沿著某條直線(xiàn)折疊后，兩個(gè)圖形能完全重合，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．【詳解】解：∵△A'B'C∴MN是對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)A和點(diǎn)A∴MN是線(xiàn)段A故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵M(jìn)N是線(xiàn)段A∴線(xiàn)段AA'被直線(xiàn)故B選項(xiàng)正確，符合題意；∵M(jìn)N是線(xiàn)段A∴直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AA'的中點(diǎn)，且垂直于線(xiàn)段故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵M(jìn)N是線(xiàn)段A∴直線(xiàn)MN與線(xiàn)段AA'垂直，且經(jīng)過(guò)線(xiàn)段故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式2-2】小華在鏡子中看到身后墻上的鐘，你認(rèn)為時(shí)間最接近8時(shí)整的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了鏡面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握鏡面對(duì)稱(chēng)中像與現(xiàn)實(shí)事物左右顛倒且關(guān)于鏡面對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)鏡面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，判斷每個(gè)選項(xiàng)中鏡子里的時(shí)間對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間，找出最接近8時(shí)整的．【詳解】解：∵鏡面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱(chēng)．∴8時(shí)整時(shí)，時(shí)針指向8，分針指向12，在鏡子里看到的應(yīng)該是4時(shí)整（時(shí)針指向4，分針指向12）．對(duì)于選項(xiàng)A，鏡子里的時(shí)間對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間不是最接近8時(shí)整；對(duì)于選項(xiàng)B，鏡子里的時(shí)間對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間不是最接近8時(shí)整；對(duì)于選項(xiàng)C，鏡子里的時(shí)間對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間不是最接近8時(shí)整；對(duì)于選項(xiàng)D，鏡子里的時(shí)間對(duì)應(yīng)的實(shí)際時(shí)間最接近8時(shí)整．故選：D．【變式2-3】如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的規(guī)格為4×7的臺(tái)球桌面示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)臺(tái)球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】D．【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，臺(tái)球走過(guò)的路徑為：所以球最后將落入的球袋是4號(hào)袋，故選：D．題型題型三與軸對(duì)稱(chēng)有關(guān)的探索規(guī)律問(wèn)題【例3】如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【分析】【詳解】解：如圖所示，小球反彈6次回到點(diǎn)P處，而9﹣6＝3，∴第9次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)N．故選：D．【變式3-1】如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)P，∵2022÷6＝337，∴當(dāng)點(diǎn)P第2022次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第6次反彈，∴第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)P，故選：A．【變式3-2】下面四個(gè)圖形是標(biāo)出了長(zhǎng)寬之比的臺(tái)球桌的俯視圖，一個(gè)球從一個(gè)角落以45°角擊出，在桌子邊沿回彈若干次后，最終必將落入角落的一個(gè)球囊．圖1中回彈次數(shù)為1次，圖2中回彈次數(shù)為2次，圖3中回彈次數(shù)為3次，圖4中回彈次數(shù)為5次．若某臺(tái)球桌長(zhǎng)寬之比為5：4，按同樣的方式擊球，球在邊沿回彈的次數(shù)為（）次．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后即可作出判斷．【詳解】解：根據(jù)圖形可得總共反射了7次．故選：B．題型題型四利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短路徑問(wèn)題【例4】A，B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，隨著居民用水量的增加，現(xiàn)需要在河邊l上修建一個(gè)自來(lái)水廠P，分別向兩個(gè)小鎮(zhèn)供水．要使所用水管總長(zhǎng)度最短，則下列圖形中，自來(lái)水廠P的位置正確的是（）B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形-最短線(xiàn)段問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖即可求解，掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P則AP+由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，此時(shí)AP+故選：B．【變式4-1】如圖，在△ABC中，AC=6，AB=8，△ABC的面積為20，AD平分∠BAC，點(diǎn)F，E分別為AC，AD上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，EFA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)—最短路線(xiàn)問(wèn)題，垂線(xiàn)段最短．作F關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，作AB邊上的高CP，求出EF+EC=EM+EC，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出【詳解】解：作F關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，作AB邊上的高CP，∵AD平分∠BAC∴M必在AC上，∵F關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，∴ME=∴EF+EC=EM+EC∵△ABC的面積為20，AB∴12∴PC=5，即CE+EF故選：B【變式4-2】如圖，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，AB⊥BC，點(diǎn)D、E分別是邊A．365 B．425 C．465【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等面積法求三角形的高，利用軸對(duì)稱(chēng)和垂線(xiàn)段最短將線(xiàn)段和的最小轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)CB至點(diǎn)C'，使得B當(dāng)C'E⊥AC時(shí)，CD+【詳解】延長(zhǎng)CB至點(diǎn)C'，使得BC'=BC=6，連接又AB⊥∴AB垂直平分C∴DC=∴CD當(dāng)C'，D，E當(dāng)C'E⊥AC時(shí)，C'當(dāng)C'E⊥AC時(shí)，由∴12×8=10C解得C'綜上可知，CD+DE的最小值為故選：D．題型題型五線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用【例5】（25-26九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，若∠A=50°，∠B=46°A．34° B．44° C．46° D．50°【答案】A【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，先由三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角求出∠【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=50°∴∠ACB∵AC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，∴DA=∴∠DCA∴∠BCD故選：A．【變式5-1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線(xiàn)交AB于E，垂足為D．若ED=5A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)．先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到線(xiàn)段相等，從而得出角相等，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線(xiàn)交AB于E∴BE∴∠B在Rt△∵∠DCE=30°，∴CE故選：C．【變式5-2】如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于22cm．（1）證明：BE+EC＝AC；（2）求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到EA＝EB，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）證明：∵DE是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∴EA＝EB，∵AC＝AE+CE，∴BE+CE＝AC；（2）解：∵DE是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∴EA＝EB，∵△BCE的周長(zhǎng)等于22cm，∴BC+CE+BE＝22（cm），∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），∵BC＝10cm，∴AC＝12（cm）．【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型題型六線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定【例6】下面是作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖方法．如圖所示，分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C和這樣作的理由是（

）①等腰三角形的三線(xiàn)合一②線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等③兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)④到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上A．① B．②③ C．③④ D．④【答案】C【分析】本題考查了作垂線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的判定，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，先結(jié)合作圖過(guò)程，得出C,D都在AB的垂直平分線(xiàn)上，C,【詳解】解：連接AC,依題意，AC=即C,D都在∴C,D兩點(diǎn)所在直線(xiàn)即為∴這樣作的理由是到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，以及兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)故選：C【變式11-2】如圖，已知：AC=AD,（1）AB平分∠CBD（2）CD垂直平分AB（3）AB與CD互相垂直平分

（4）CD平分∠A．一個(gè) B．兩個(gè) C．三個(gè) D．四個(gè)【答案】A【分析】此題考查了垂直平分線(xiàn)的判定，等腰三角形三線(xiàn)合一．由AC=AD，BC=BD，可得點(diǎn)A在CD的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)B在CD的垂直平分線(xiàn)上，即可得AB垂直平分CD，進(jìn)而得到【詳解】∵AC=AD∴點(diǎn)A在CD的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)B在CD的垂直平分線(xiàn)上，∴AB垂直平分CD∴AB平分∠∴說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有一個(gè)故選：A．【變式11-3】如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB，BC于點(diǎn)M，D，邊AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC，BC于點(diǎn)N，E，(1)若BC=12，求△(2)試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線(xiàn)上，并說(shuō)明理由．【答案】(1)12(2)點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．（1）利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出相等線(xiàn)段，然后利用等量代換進(jìn)行求解即可；（2）連接AO，【詳解】（1）解：∵AB，AC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)D，∴AD=BD∴AD+∴△ADE的周長(zhǎng)為12（2）解：點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上，理由如下：如圖，連接AO，∵OM，ON分別垂直平分∴OA=OB∴OB=∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上．題型題型七利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)解決實(shí)際問(wèn)題【例7】【變式11-1】如圖所示，現(xiàn)要在一塊三角形草坪上建一涼亭供大家休息，使涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) B．△C．△ABC三條中線(xiàn)的交點(diǎn) D．△【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線(xiàn)的判定，根據(jù)到線(xiàn)段的端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：∵涼亭到草坪三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在△ABC故選：D【變式7-1】如圖，物業(yè)公司計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車(chē)充電樁，要求到A，B，C三個(gè)出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)建在（）A．△ABC的三條高的交點(diǎn)處 B．△ABC的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處 C．△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)處 D．△ABC的三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處【答案】D．【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)充電樁到A，B，C三個(gè)出口的距離都相等時(shí)，則充電樁應(yīng)建在△ABC的三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】某公園的A，B，C處分別有海盜船、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目，現(xiàn)要在公園內(nèi)一個(gè)售票中心，使三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，則售票中心應(yīng)建立在（）A．△ABC三邊高線(xiàn)的交點(diǎn)處 B．△ABC三角角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處 C．△ABC三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)處 D．△ABC三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處【答案】D．【分析】由三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，可得售票中心是海盜船、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三個(gè)娛樂(lè)場(chǎng)組成三角形的三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)．【詳解】解：∵售票中心到出口A、B的距離相等，∴售票中心到在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，同理可得，售票中心應(yīng)該在三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法．題型題型十五尺規(guī)作圖（作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)）【例8】下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角的平分線(xiàn)；②作一個(gè)角等于已知角；③作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A．【分析】利用作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線(xiàn)；作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的作法進(jìn)而判斷即可得出答案．【詳解】解：①作一個(gè)角的平分線(xiàn)的作法正確；②作一個(gè)角等于已知角的方法正確；③作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，缺少另一個(gè)交點(diǎn)，故作法錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，正確把握作圖方法是解題關(guān)鍵．【變式8-1】如圖，在三角形ABC中，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)O，連接COA．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO【答案】D．【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AB，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，可對(duì)A、B、C進(jìn)行判斷；由于當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，OC=12AB，則可對(duì)【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，OC=12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；作已知角的角平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)）．也考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．【變式8-2】（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）如圖：(1)用尺規(guī)作圖，在圖中作出Rt△ABC邊BC垂直平分線(xiàn)EF，交BC于點(diǎn)F，AB于點(diǎn)(2)在（1）的條件下，若∠B=25°，求【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖方法作圖即可；（2）由題意得∠ACB=180°-∠A-∠B=65°，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得【詳解】（1）解：如圖，直線(xiàn)EF即為所作；（2）連接CE，∵∠A=90°，∴∠ACB∵直線(xiàn)EF為線(xiàn)段BC垂直平分線(xiàn)，∴BE=∴∠BCE∴∠ACE即∠ACE的度數(shù)為40°【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖—作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，直角三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角．【變式8-3】如圖，△ABC(1)請(qǐng)?jiān)趫D中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線(xiàn)MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD；((2)在（1）的條件下，若△ADC的周長(zhǎng)為10，AB=7，則【答案】(1)見(jiàn)解析(2)17【分析】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中步驟作圖；（2）根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：由作圖得：MN垂直平分AB，∴AD∵△ADC的周長(zhǎng)為10，即：AC∴△ABC的周長(zhǎng)為：AC所以△ABC的周長(zhǎng)為17題型題型九角平分線(xiàn)的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)【例9】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，若AC＝9，CD＝6，則點(diǎn)D到BC的距離是（）?A．2 B．4 C．3 D．6【答案】C．【分析】根據(jù)題意作輔助線(xiàn)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出DE＝AD，根據(jù)已知可得AD＝3，所以DE＝3，即D點(diǎn)到BC的距離是3．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，DE⊥BC，∴∠A＝∠DEB＝90°，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得：DE＝AD．∵AC＝9，CD＝6，∴DA＝3．∴DE＝3，即D點(diǎn)到BC的距離是3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵，難度適中．【變式9-1】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，則BD的長(zhǎng)為（）A．3 B．5 C．8 D．10【答案】B．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出ED＝CD＝3，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，∴ED＝CD＝3，∵BC＝8，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，CD=37AC，BD平分∠ABC，則點(diǎn)A．2 B．3 C．4 D．7【答案】B．【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，CD=37AC，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出點(diǎn)【詳解】解：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC，∵AC＝7，CD=∴CD＝3，∴DE＝3，∴點(diǎn)D到AB的距離等于3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DC．【變式9-3】（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是BC中點(diǎn)，連接DG，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交(1)求證：DG⊥(2)若AB=5,?AC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接BD,CD，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理得到DE=DF，再證明（2）先證明Rt△ADE≌Rt△【詳解】（1）證明：連接BD,∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥∴DE在△BDE和△BE=∴△BDE∴BD∵G是BC∴DG（2）解：由(1)知：DE在Rt△ADE和Rt∴Rt∴AE∴AB∵BE=CF，AB∴5-BE∴BE題型題型十角平分線(xiàn)的性質(zhì)求面積【例10】如圖，射線(xiàn)OC是∠AOB角平分線(xiàn)，D是OC射線(xiàn)上一點(diǎn)，DP⊥OA于點(diǎn)P，DP＝4，若點(diǎn)Q是射線(xiàn)OB上一點(diǎn)，OQ＝3，則△ODQ的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B．【分析】作DE⊥OB于E，如圖，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得DE＝DP＝4，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算S△ODQ．【詳解】解：作DE⊥OB于E，如圖，∵OC是∠AOB的角平分線(xiàn)，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ=12×3×4故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式10-1】如圖，在△ABC中，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥BC于點(diǎn)E．若AB＝4，DE＝2，則△ABD的面積為．【答案】4．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得DF＝DE，根據(jù)△ABD的面積=1【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示：∵BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵AB＝4，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∴△ABD的面積=12故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，已知，BC＝8，DE＝2，則△BCE的面積等于．【答案】8．【分析】先作輔助線(xiàn)EF⊥BC交BC于點(diǎn)F，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可以得到DE＝EF，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△BCE的面積．【詳解】解：作EF⊥BC交BC于點(diǎn)F，∵CD是AB邊上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，∴S△BCE=BC?故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)EF⊥BC，求出EF的長(zhǎng)．【變式10-3】如圖，△ABC中，AD是∠A的角平分線(xiàn)，BE是△ABD邊AD上的中線(xiàn)，若△ABC的面積是24，AB＝5，AC＝3，則△ABE的面積是．【答案】7.5．【分析】根據(jù)角分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的面積先求出點(diǎn)D到AB、AC的距離，然后再根據(jù)三角形的中線(xiàn)的性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分別為F、G，∵AD是角平分線(xiàn)，∴DF＝DG，設(shè)DF＝DG＝h，∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，∴24=12AB?DF+12∴5h+3h＝48，解得h＝6，∴S△ABD=12×5×6∵BE是△ABD中的中線(xiàn)，∴S△ABE＝S△BDE=12S△ABD＝故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角分線(xiàn)、中線(xiàn)，角分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是角分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題型題型十一角平分線(xiàn)性質(zhì)求最值【例11】如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，點(diǎn)D是OB上的動(dòng)點(diǎn)，若PC＝3，則PD的長(zhǎng)的最小值為．【答案】3．【分析】根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)PD⊥OB時(shí)最短，再根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得PD＝PC，進(jìn)而求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PD′⊥OB，垂足為點(diǎn)D′．∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD′⊥OB，∴PD′＝PC，∵PC＝3，∴PD′＝PC＝3，即當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′的位置時(shí)，PD長(zhǎng)度最短，最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)，確定出PD最小時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P是射線(xiàn)OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線(xiàn)OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若PM＝4，則PN的長(zhǎng)度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)及垂線(xiàn)段最短解答即可．【詳解】解：當(dāng)PN⊥OA時(shí)，PN最短，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于點(diǎn)M，PM＝4，∴PN最短＝4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】如圖，點(diǎn)P在∠AOB的角平分線(xiàn)上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5【答案】B．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短解答．【詳解】解：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，∴點(diǎn)P到OB的距離為5，∵點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，∴PQ≥5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型題型十二角平分線(xiàn)性質(zhì)的證明【例12】如圖，已知BD為∠ABC的平分線(xiàn)，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證：PM＝PN．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明即可．【解答】證明：∵BD為∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E，D分別為垂足，CF＝CB．求證：BE＝FD．【分析】利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到CD＝CE，然后證明Rt△CBE≌Rt△CFD，從而得到BE＝FD．【詳解】證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CE，在Rt△CBE和Rt△CFD中，CB=∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），∴BE＝FD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答．【變式6-2】如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)D，若BD＝CD．求證：AD平分∠BAC．【分析】要證AD平分∠BAC，只需證DF＝DE．可通過(guò)證△BDF≌△CDE（AAS）來(lái)實(shí)現(xiàn)．根據(jù)已知條件，利用AAS可直接證明△BDF≌△CDE，從而可得出AD平分∠BAC．【詳解】證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°．在△BDF與△CDE中，∠BFD∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF＝DE，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD是∠BAC的平分線(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上等知識(shí)．發(fā)現(xiàn)并利用△BDF≌△CDE是正確解答本題的關(guān)鍵．題型題型十三角平分線(xiàn)的判定【例13】如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，則∠PCA=．【分析】由“HL”可證Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP=∠BOP=12∠AOB=25°，由外角可求解．【詳解】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵PA=PB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP=∠BOP=12∠AOB=25°，∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°，故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明Rt△OAP≌Rt△OBP是本題的關(guān)鍵．【變式13-1】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求證：AD平分∠BAC．【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），則可得DE＝DF，然后由角平分線(xiàn)的判定定理，即可證得AD平分∠BAC．【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵AD＝AD，Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的判定與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式13-2】如圖，△AOB中，點(diǎn)C為∠AOB的角平分線(xiàn)與外角∠DAB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接CB．求證：BC平分外角∠ABE．【分析】作CH⊥AB于H，CM⊥OD于M，CN⊥OE于N，如圖，先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到CM＝CN，CH＝CM，利用等量代換得到CH＝CN，然后根據(jù)角平分線(xiàn)定理的逆定理可得結(jié)論．【詳解】解：作CH⊥AB于H，CM⊥OD于M，CN⊥OE于N，如圖，∵點(diǎn)C為∠AOB的角平分線(xiàn)與外角∠DAB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴CM＝CN，CH＝CM，∴CH＝CN，∴BC平分外角∠ABE．【點(diǎn)睛】本題考查了解平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．題型題型十四角平分線(xiàn)性質(zhì)與判定的綜合【例14】（2025·北京門(mén)頭溝·二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)G在AB上，①DC=DE；②GD平分∠FGE；③∠CABA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，正確做出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可判斷①正確；過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FG于點(diǎn)H，則DC=DH，結(jié)合DC=DE可得DH=DE，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理可判斷②正確；由角平分線(xiàn)的定義及三角形內(nèi)角和定理可判斷【詳解】解：①∵AD平分∠BAC，∠C=90°∴DC=故結(jié)論①正確；②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FG于點(diǎn)∵FD平分∠CFG，∠C=90°∴DC=又∵DC=∴DH=∴點(diǎn)D在∠FGE∴GD平分∠FGE故結(jié)論②正確；③∵FD平分∠CFG，GD平分∠∴∠CFG=2∠DFG∴∠AFG=180°-∠CFG∴∠AFG在△DFG中，∠∴∠AFG在△AFG中，∠∴∠CAB故結(jié)論③正確；④在Rt△CDF和DC=∴Rt△∴S△同理證明：Rt△∴S△∴S△即S△故結(jié)論④正確，綜上所述：正確的結(jié)論是①②③④，共4個(gè)．故選：D．【變式14-1】如圖，CD⊥OM,CE⊥ON，垂足分別為D,【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的判定定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，先根據(jù)“斜邊直角邊”證明Rt△ADC≌Rt【詳解】證明：∵CD∴∠ADC在Rt△ADC和AC=∴∴CD∵CD∴OC平分∠MON【變式14-2】如圖，過(guò)△ABC的邊AC的垂直平分線(xiàn)MN上的點(diǎn)M，作△ABC的另外兩邊AB，BC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為D，E，AD=CE，作射線(xiàn)BM；求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查角平分線(xiàn)的判定定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線(xiàn)的判定定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；連接MA，MC；由題意易得MA=MC，然后可得Rt△【詳解】證明：連接MA，MC，∵點(diǎn)M在AC的垂直平分線(xiàn)上，∴MA∵M(jìn)D⊥AB∴∠ADM在Rt△MAD和MA∴Rt△∴MD又∵M(jìn)D⊥BA∴點(diǎn)M在∠ABC的平分線(xiàn)上，即BM平分∠題型題型十五利用等腰三角形的性質(zhì)求角度【例15】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B．【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B＝∠C，根據(jù)∠BAC＝130°即可求出∠C的度數(shù)，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，從而求出∠ADC的度數(shù)，問(wèn)題得解．【詳解】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B＝∠C=180°-130°2∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故選：B．【詳解】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式15-1】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,A．36° B．72° C．108° D．144°【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=72°，再由角平分線(xiàn)求出【詳解】解：∵AB=∴∠ABC∵BD,CE分別是∴∠CBE∴∠BEC故選：C．【變式15-1】如圖，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的線(xiàn)段MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，且M，N分別在PA，PC的垂直平分線(xiàn)上．若∠APC=143°A．74° B．106° C．126° D．132°【答案】B【分析】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平角的概念求出∠MPA+∠NPC，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到MP=MA，NP【詳解】解：∵∠APC∴∠MPA∵M(jìn)，N分別在PA，PC∴MP=MA∴∠MAP=∠MPA∵∠BMN=∠MPA∴∠BMN∴∠ABC故選：B．【變式15-2】（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)D，在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)E，使BD=BE，連接DE，延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)F，若CEA．24° B．30° C．36° D．45°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB=∴∠ABC∴∠A∵CE=∴∠ECF∴∠E∵∠ACB∴∠A∵BD=∴∠D∵∠ABC∴∠A∴∠A故選：C．題型題型十六利用等腰三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)【例16】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝5cm，則BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B．【分析】先得出AD是△ABC的中線(xiàn)，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×12AB?DE＝AB?DE＝5AB，又S△ABC=12AC?BF，將AC＝【詳解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線(xiàn)，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×12AB?DE＝AB?DE＝5∵S△ABC=12AC?∴12AC?BF＝5AB∵AC＝AB，∴12BF＝5∴BF＝10（cm），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，利用面積公式得出等式是解題的關(guān)鍵．【變式16-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，則AE等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝12，BD＝CE，進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝12，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中∠BAD∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝12，BD＝CE，∵BD＝4，∴CE＝BD＝4，∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式16-2】（24-25八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，△ABC中，AC=BC，BE⊥AC，E為垂足，點(diǎn)D在BC上，且AB=AD，若CE【答案】5【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，過(guò)A作AH⊥BD于H，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)先證明△BCE≌△【詳解】解：過(guò)A作AH⊥BD于∵AB=∴BH=∵BE⊥∴∠AHC∵AC=BC∴△BCE∴CH=∴DH=2∵AC=∴BH=∴DH=∴CD=∴BC故答案為：5．題型題型十七等腰三角形性質(zhì)的證明【例17】已知，如圖，AB=AE，∠B=∠E，BC【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)．由已知證明△ABC≌△AED，得到AC=AD，又因?yàn)椤稀驹斀狻孔C明：在△ABC與△AB=∴△ABC∴AC∴△ACD∵∠CAF=∠DAF，即AF∴AF【變式17-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，過(guò)點(diǎn)A分別作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求證：∠EAB＝∠DAC．【答案】(1)證明見(jiàn)解析【分析】由等腰三角形的判定定理得出AB＝AC，由HL證明Rt△AEC≌Rt△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠EAC＝∠DAB，即可即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°，即△AEC和△ADB是直角三角形，在Rt△AEC和Rt△ADB中，AC=∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL），∴∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC﹣∠BAC＝∠DAB﹣∠BAC，∴∠EAB＝∠DAC．【變式17-2】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，E為邊BC上的點(diǎn)，且AB=AE，D為線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，過(guò)點(diǎn)A(1)求證：∠C(2)求證：AC=【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，由余角的性質(zhì)可得（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF【詳解】（1）證明：∵AB=AE，D為線(xiàn)段∴AD⊥∴∠C∵∠BAC∴∠BAD∴∠C（2）證明：∵AF∥∴∠FAE∵AB=∴∠B∴∠B在△ABC和△∠B∴△ABC∴AC=題型題型十八等腰三角形的判定【例18】下列對(duì)△ABC的判斷，錯(cuò)誤的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°【答案】D．【分析】根據(jù)等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理即可作出判斷．【詳解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，則∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等邊三角形，故此選項(xiàng)判斷正確，不符合題意；B．C．若∠A＝20°，∠B＝80°，則∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此選項(xiàng)判斷正確，不符合題意；D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝100°，故此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【變式18-1】【答案】是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，利用△ABC是等邊三角形并結(jié)合已知條件可得到∠BEF=∠2+∠BCE=60°【詳解】解：△DEF∵△ABC∴∠ACB∴∠3+∠BCE∵∠2=∠3，∴∠BEF同理∠EFD∴△DEF【變式18-2】如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是BP延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠ABP=∠ACD求證：△APD【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，進(jìn)而依據(jù)“SAS”判定△ABP【詳解】證明：∵△ABC∴AB=在△ABP和△AB=∴△ABP∴AP=∴∠BAP即∠BAC∴△APD題型題型十九等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合【例19】（25-26八年級(jí)上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE(1)求證：△DEF(2)當(dāng)∠A=50°時(shí)，求【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)有關(guān)知識(shí)．（1）通過(guò)全等三角形的判定定理SAS證得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”推知DE=EF（2）由等腰△ABC的性質(zhì)求得∠B=∠C=180°-50°÷2=65°，結(jié)合△DBE≌△ECF【詳解】（1）證明：∵AB=∴∠B∵AB=∴BD在△DBE和△BE∴△DBE≌△∴DE∴△DEF（2）解：∵∠A=50°，∴∠B∵△DBE≌△∴∠BDE∴∠DEC∴∠DEF【變式19-1】【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠ACB，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，進(jìn)而得到∠OBC＝∠OCB，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得OB＝0C；再根據(jù)ASA證明△OBD≌△OCE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是角平分線(xiàn)，它們相交于點(diǎn)O，∴∠OBC＝∠OBD=12∠ABC，∠OCB＝∠OCE=1∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC；在△OBD與△OCE中，∠OBD∴△OBD≌△OCE（ASA），∴OD＝OE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．得出∠OBC＝∠OCB是解題的關(guān)鍵．【變式19-2】如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，CE∥AD，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且FC＝AC．求證：（1）△ACE是等腰三角形；（2）AB∥CF．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠BAF＝∠CAF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E，根據(jù)等腰三角形的判定得出答案即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出∠CAF＝∠F，根據(jù)平行線(xiàn)的判定即可得出答案．【詳解】證明：（1）∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BAF＝∠CAF，∵CE∥AD，∴∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．（2）∵FC＝AC，∴∠CAF＝∠F，∵∠CAF＝∠BAF，∴∠F＝∠BAF，∴AB∥CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)．題型題型二十等邊三角形的性質(zhì)的計(jì)算【例20】正三角形ABC中，BD=CE，AD與BE交于點(diǎn)P，∠APEA．45° B．60° C．55° D．75°【答案】B【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．證明△ABD≌△BCE【詳解】解：∵正三角形ABC，∴AB=∵BD=∴△ABD∴∠BAD∴∠APE故選：B．【變式20-1】（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，D是CB邊上一點(diǎn)，以AD為邊向右側(cè)構(gòu)造等邊△ADE，連結(jié)CE，則∠BCEA．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)．利用等邊三角形的性質(zhì)得出相等的角和邊，證明△ABD≌△ACE【詳解】解：∵△ABC∴AB=AC,∴∠BAC即∠BAD在△ABD與△AB∴△ABD∴∠ACE∴∠BCE故選：A．【變式20-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，∠DAC=2∠DBE，BE與AC交于點(diǎn)F，若CF=1，DE【答案】3【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是正確的應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到三個(gè)內(nèi)角是60°，再根據(jù)角度的計(jì)算用x表示出相關(guān)的角，得到AE=AB=【詳解】解：如圖，在AD上截取DG=DC，連接設(shè)∠DBE=x∵△ABC∴∠ABC=∠BAC∴∠ABE=∠ABC∴∠AEB=∠D∴∠ABE∴AB=∴AE=∵DG=∴∠DGC∵∠D∴∠DGC∴∠AGC∴∠AGC又∵∠CAG=∠EAF∴△ACG∴AG=∴AE-∴EG=∴CD=故答案為：3．題型題型二十一等邊三角形的判定【例21】下列對(duì)△ABC的判斷，錯(cuò)誤的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°【答案】D．【分析】根據(jù)等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理即可作出判斷．【詳解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，則∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等邊三角形，故此選項(xiàng)判斷正確，不符合題意；B．C．若∠A＝20°，∠B＝80°，則∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此選項(xiàng)判斷正確，不符合題意；D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝100°，故此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【變式21-1】【答案】是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，利用△ABC是等邊三角形并結(jié)合已知條件可得到∠BEF=∠2+∠BCE=60°【詳解】解：△DEF∵△ABC∴∠ACB∴∠3+∠BCE∵∠2=∠3，∴∠BEF同理∠EFD∴△DEF【變式21-2】如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是BP延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠ABP=∠ACD求證：△APD【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，進(jìn)而依據(jù)“SAS”判定△ABP【詳解】證明：∵△ABC∴AB=在△ABP和△AB=∴△ABP∴AP=∴∠BAP即∠BAC∴△APD題型題型二十二30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半【例22】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，則AD的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】C．【分析】先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BDC＝30°，從而可得BD＝2BC＝3，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得∠A＝∠ABD＝15°，再利用等角對(duì)等邊即可解答．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∵BC＝1.5，∴BD＝2BC＝3，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式22-1】如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝3，則AB的長(zhǎng)為（）A．16 B．12 C．9 D．10【答案】B．【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CD，從而得到AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，在Rt△DEC中，CD＝2CE＝2×3＝6，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝12．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義：角的平分線(xiàn)把角分成相等的兩部分．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．【變式22-1】如圖，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分線(xiàn)交BC于D．交AC于E，DE＝2．求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝30°，再利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AD＝CD，∠DEC＝90°，從而可得AD＝CD＝2DE＝4，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠DAC＝30°，從而可得∠BAD＝90°，最后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BD＝2AD＝8，即可解答；【詳解】解：（1）連接AD，∵AB＝AC．∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝∵DE是AC的垂直平分線(xiàn)，∴AD＝CD，∠DEC＝90°，∵DE＝2，∴CD＝2DE＝4，∴AD＝CD＝4，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8，∴BD的長(zhǎng)為8；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式22-2】如圖，在△ABC中，AB=AC=12cm(1)求∠BCD(2)求△ABC【答案】(1)45°(2)36【分析】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACB=∠B（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，得到【詳解】（1）解：∵，AB=AC=12∴∠ACB∵DE垂直平分AC，∴AD=∴∠ACD∴∠（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于則∠AFB∵∠A=30°，∴BF=∴△ABC的面積是1題型題型二十三等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合【例23】(1)求證：DE平分∠BDC(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）證明△ADC≌△BDC，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得∠EDC=∠EDB=60°（2）連接MC，證明△DMC是等邊三角形，結(jié)合（1）的結(jié)論，證明∠MEC=∠DCB=45°，進(jìn)而SAS【詳解】（1）證明：∵△ABC∴CA=∵∠CAD∴∠DAB∴DA又∵∴△∴∠ACD∴∠∠∴∠EDC∴DE平分∠BDC（2）證明：連接MC，如圖，

∵DC∴△DMC∴MC=DC，∠∵CE=CA，∴CE=BC∴∠ACE∴∠MCE∴∠∴△DBC∴ME【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式23-1】如圖1，等邊△ABC與等邊△ECD的頂點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連接AD，BE(1)求∠BFD(2)如圖2，連接FC，①求證：FB是∠AFC②若AF=4，CF=2，求【答案】(1)120(2)①見(jiàn)解析②6【分析】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)觀察圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BCE≌△ACD，得出∠ADC=∠BEC，而有∠（2）①過(guò)C作CG⊥BF于G，CH⊥AD于H，得到∠BGC=∠AHC=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH=CG，求得∠CFG=∠CFH=12∠BFD，由（1）知∠AFB【詳解】（1）解：∵△ABC和△∴BC∴∠BCA∵∠在△BCE和△BC=∴△BCE≌△∴∠ADC∵∠AFB∴∠AFB∵∠AFB∴∠BFD（2）①證明：過(guò)C作CG⊥BF于G，CH⊥∴∠BGC=∠∵△BCE≌△∴∠CAH∵AC∴△ACH≌△∴CH∴∠CFG由（1）知∴∠BFC∴FB是∠②解：如圖，在BF上截取FM=CF，連接因∠BFC=60°，則∴∠FCM∵∠ACB∴∠ACF∴∠BCM∵∠CBM∴∠BCM≌△∴BM∴BF∵AF∴【變式23-2】如圖，在△ABC中，∠BAC為銳角．點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊且在AD的右側(cè)作等邊三角形(1)如果AB=①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖1，線(xiàn)段CE、BD的數(shù)量關(guān)系為，∠BCE=②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖3，如果AB≠AC，∠BAC<60°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)【答案】(1)①CE=②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，理由見(jiàn)解析；(2)∠BCE的度數(shù)為120°【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△BAD≌△CAE，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可得線(xiàn)段CE、BD的數(shù)量關(guān)系，∠BCE的度數(shù)；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△BAD≌△CAE，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，可得線(xiàn)段CE（2）在AC上截取AF=DC，連接EF，AC與DE的交點(diǎn)即為點(diǎn)O，由三角形的內(nèi)角和定理，可得∠FAE=∠CDE，證明△FAE≌△CDE，可得BD=【詳解】（1）解：①∵三角形ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∴∠CAE∵AB=∴△ABC∴∠BAC=60°，∠B∴∠BAD∴∠CAE在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵∠B∴∠ACE∴∠BCE∴線(xiàn)段CE、BD的數(shù)量關(guān)系為CE=BD，故答案為：CE=BD，②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，理由：∵三角形ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∴∠CAE∵AB=∴△ABC∴∠BAC=60°，∠B∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵∠B∴∠ACE∴∠BCE∴線(xiàn)段CE、BD的數(shù)量關(guān)系為CE=BD，∴當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立．（2）解：在AC上截取AF=DC，連接EF，AC與DE的交點(diǎn)即為點(diǎn)∵三角形ADE是等邊三角形，∴AE=DE，∵∠ACB∴∠ACB又∵∠AOE∴∠FAE在△FAE和△AE=∴△FAE∴EF=EC，∴∠FEC∴△FEC∴∠ECF∴∠BCE∴∠BCE的度數(shù)為120°題型題型二十四等腰三角形與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【例24】如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tS，已知點(diǎn)M的速度1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．?（1）當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的位置在；當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【分析】（1）求出M運(yùn)動(dòng)的路程即可判斷M的位置，由題意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可；（2）分兩種情況，列出關(guān)于t的方程，求出t的值，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，t＝18÷2＝9（s），∴M運(yùn)動(dòng)了1×9＝9（cm），∴點(diǎn)M的位置在BC中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)N追上點(diǎn)M時(shí)，由題意得：2t＝1×t+6，∴t＝6，∴當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)，點(diǎn)N追上點(diǎn)M，故答案為：BC中點(diǎn)，6．（2）如圖，AM＝AN，作AH⊥BC于H，∴HC＝HB，HM＝HN，∴MC＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，∴t＝8，∴M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2s或8s時(shí)．得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN．【變式24-1】在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等邊三角形？【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，從而得出△BPQ是等邊三角形，列方程求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)Q所在的位置不同，分類(lèi)討論△APQ是否為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到等量關(guān)系，列方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等邊三角形，∴BP＝BQ，由題意可知：AP＝t，則BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴當(dāng)t的值為3時(shí)，PQ∥AC；（2）如圖2，①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，此時(shí)△APQ不可能為等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，若△APQ為等邊三角形，則AP＝AQ，由題意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴當(dāng)t＝6時(shí)，△APQ為等邊三角形．【變式24-2】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒(1)BP=（用t(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)