/NUMPAGES2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考直線與圓的方程卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：滬教版2020選修第一冊(cè)第一、二章直線和圓的方程章節(jié)。5．難度系數(shù)：0.61。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)2.已知直線，，則直線、的夾角為3.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是4.一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)射到直線上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為5.與圓，同時(shí)相切的直線有條6.若方程僅表示一條直線，則k的取值范圍是7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，若已知△ABC的頂點(diǎn)、，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是8．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP=．9．已知直線l:xsinα?ycosα+1=0α∈R①直線l的一個(gè)法向量是sinα,cosα；②直線l的斜率是tanα；③對(duì)任意α∈R，直線l都不過(guò)原點(diǎn)；④存在α∈R，使直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積小于1，所有正確命題的序號(hào)是．10．設(shè)a∈R，k∈R，三條直線l1:ax?y?2a+5=0，則l1與l2的交點(diǎn)M到l3的距離的最大值為11．已知圓O:x2+y2=r過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條互相垂直的弦AC,BD，則四邊形ABCD面積的最大值為.12.在直角坐標(biāo)平面xOy中，已知兩定點(diǎn)、位于動(dòng)直線的同側(cè)，設(shè)集合點(diǎn)與到直線l的距離之差等于1，，記，，則由T中的所有點(diǎn)組成的圖形面積是二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13.已知下列命題：①直線的傾斜角為，則此直線的斜率為；②直線的斜率為，則直線的傾斜角為；③直線的傾斜角為，則.上述命題中不正確的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③14.“”是“直線（）與圓相交”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件15.已知平面向量a，b，c滿足：a=b=c=1，aA．172 B．2 C．5216.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，定義為點(diǎn)、之間的極距，已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間的距離最小時(shí)，其極距為（）A.B.C.D.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知m∈R，設(shè)直線l1：x?my+1=0，直線l2：mx?4y?m+4=0.（1）若l1（2）當(dāng)l1與l2相交時(shí)，求交點(diǎn)I的坐標(biāo)（用m表示），并證明點(diǎn)18．已知直線l:2x?3y+1=0，點(diǎn)A(?1，（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線m的方程；（3）以A為圓心，3為半徑長(zhǎng)作圓，直線n過(guò)點(diǎn)M(2，2)，且被圓A截得的弦長(zhǎng)為27人口普查期間，作為街道工作人員的葉阿姨和王叔叔需要上門登記每戶的家庭成員信息，葉阿姨和王叔叔分別需上門走訪離家不超過(guò)200米、k米的區(qū)域，如圖，、分別是經(jīng)過(guò)葉阿姨家(點(diǎn))的東西和南北走向的街道，且王叔叔家在葉阿姨家的東偏北45度方向，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知張姓家庭(即點(diǎn))和李姓家庭(即點(diǎn))是王叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域中最遠(yuǎn)的兩個(gè)家庭.（1）求出k，并寫出葉阿姨和王叔權(quán)負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程；（2）葉阿姨和王叔叔為交流登記信息，滿在華山路(直線)上碰頭見(jiàn)面，你認(rèn)為在何處最為便捷、省時(shí)間(兩人所走的路程之和最短)？并給出理由.如圖，已知滿足條件z?3i=3?i為圓C（圓心為C），設(shè)復(fù)平面xOy上的復(fù)數(shù)z=x+yix,y∈R對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為x，x+3y+6=0，過(guò)A?1,0的一條動(dòng)直線l與直線m相交于N點(diǎn)，與圓C相交于P、QM是弦PQ中點(diǎn)．（1）若直線l經(jīng)過(guò)圓心C，求證：l與m垂直；（2）當(dāng)PQ=23時(shí)，求直線（3）設(shè)t=AM?AN，試問(wèn)t是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出t21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)圓T外一點(diǎn)P引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若，則稱P為圓T的環(huán)繞點(diǎn).（1）當(dāng)圓O半徑為1時(shí)，①在、、中，圓O的環(huán)繞點(diǎn)是；②直線與軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若線段AB上存在圓O的環(huán)繞點(diǎn)，求b的取值范圍；（2）圓T的半徑為1，圓心為，以（）為圓心，為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，若在圖形H上存在圓T的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍.2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考直線與圓的方程卷全解析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：滬教版2020選修第一冊(cè)第一、二章直線和圓的方程章節(jié)。5．難度系數(shù)：0.61。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)1．【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于，所以.故答案為：2.已知直線，，則直線、的夾角為2．【分析】將直線方程化為斜截式方程，進(jìn)而求得傾斜角，再求解夾角即可.【詳解】將直線方程化為斜截式方程得，所以直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以直線與的夾角是故答案為：3.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是3．3x-2y=0或x+y-5=0【分析】分截距為0時(shí)和截距不為0時(shí)兩類討論，分別求出直線的方程可得答案．【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x-2y=0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得a=5，所以直線方程為x+y-5=0.綜上，直線方程為3x-2y=0或x+y-5=0.故答案為：3x-2y=0或x+y-5=0.4.一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)射到直線上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為4．【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線即為所求.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，又點(diǎn)，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡(jiǎn)得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.5.與圓，同時(shí)相切的直線有條5．【分析】判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；圓心距，所以兩圓相交，公切線有條.故答案為：.6.若方程僅表示一條直線，則k的取值范圍是6．或【分析】先將原方程變形，再分類討論，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】原方程可變形為，∴①顯然，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，①式右邊有兩值，則直線不唯一；當(dāng)時(shí)，①式右邊一正一負(fù)，負(fù)值不滿足，故所求的取值范圍是或．故答案為或．7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，若已知△ABC的頂點(diǎn)、，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是7．或【分析】設(shè)，依題意可確定的外心為，可得出一個(gè)關(guān)系式，求出重心坐標(biāo)，代入歐拉直線方程，又可得出另一個(gè)關(guān)系式，解方程組，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程為與直線的交點(diǎn)為，∴①由，，重心為，代入歐拉線方程，得②由①②可得或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查圓的性質(zhì)和三角形的外心與重心，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于較難題.8．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P，若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP=．8．43.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線BC與直線QR的解析式，即可得出AP【詳解】由題意，如圖建立直角坐標(biāo)系：

則B(4，0)，C(0，4)，直線BC方程為x+y=4即y=?x+4，三角形重心為0+0+43，0+4+03即43，43，設(shè)直線QR斜率為4?a?04??a=4?a4+a，直線方程為y=4?a4+a(x+a)過(guò)重心，即3a29．已知直線l:xsinα?ycosα+1=0α∈R①直線l的一個(gè)法向量是sinα,cosα；②直線l的斜率是tanα；③對(duì)任意α∈R，直線l都不過(guò)原點(diǎn)；④存在α∈R，使直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積小于1，所有正確命題的序號(hào)是．9．③【分析】①根據(jù)直線方程即可得出法向量；②根據(jù)直線方程即可得出斜率；③將0，【詳解】由題意，在直線l:xsinα?ycosα+1=0α∈R中，直線的方向向量為n法向量為n2=sinα，?cosα，①錯(cuò)誤；當(dāng)α=當(dāng)x=0，y=0時(shí)，代入直線方程得，l:1=0，顯然不存在，故對(duì)任意α∈R，直線l都不過(guò)原點(diǎn)，③正確；當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，交點(diǎn)為三角形的面積為121cosα?1sinα使直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積小于1，④錯(cuò)誤，故答案為：③.10．設(shè)a∈R，k∈R，三條直線l1:ax?y?2a+5=0，則l1與l2的交點(diǎn)M到l3的距離的最大值為10．5+2/2+5.【分析】根據(jù)直線l1與l2的的方程易知l1⊥l2，而得到l1與l2的交點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，求出圓心和半徑，結(jié)合到原點(diǎn)的距離加半徑解出．【詳解】因?yàn)閍×1+?1×a=0，所以l1⊥l2．而直線l1:ax?y?2a+5=0，整理為ax?2?y+5=0，令x?2=0?y+5=0，解得：x=2y=5，故l1過(guò)定點(diǎn)A2,5，l2:x+ay?3a?4=0，變形為x?4+ay?3=0，過(guò)定點(diǎn)B4，3，所以l1與l2的交點(diǎn)即(3?0)2+(4?0)已知圓O:x2+函數(shù)fx=loga2x?1+2AC，BD，則四邊形ABCD面積的最大值為11．5【分析】先根據(jù)相切求半徑，再求出定點(diǎn)，最后求得四邊形ABCD面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值.【詳解】由題意圓O:x2+y2半徑為d=r=|?10|32+42=105作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分別為E、F，∵AC⊥BD，∴四邊形已知OA=OC=2，OP=3，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d四邊形ABCD的面積為：S=1從而：S=1當(dāng)且僅當(dāng)d12=d22時(shí)即12.在直角坐標(biāo)平面xOy中，已知兩定點(diǎn)、位于動(dòng)直線的同側(cè)，設(shè)集合點(diǎn)與到直線l的距離之差等于1，，記，，則由T中的所有點(diǎn)組成的圖形面積是12．【詳解】過(guò)與分別作直線的垂線，垂足分別為，，則由題意值，即，∴三角形為正三角形，邊長(zhǎng)為，正三角形的高為，且，∴集合對(duì)應(yīng)的軌跡為線段的上方部分，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榘霃綖?的單位圓內(nèi)部，根據(jù)的定義可知，中的所有點(diǎn)所組成的圖形為圖形陰影部分；∴陰影部分的面積為，故答案為.選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13.已知下列命題：①直線的傾斜角為，則此直線的斜率為；②直線的斜率為，則直線的傾斜角為；③直線的傾斜角為，則.上述命題中不正確的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③13．D【分析】根據(jù)傾斜角、斜率的知識(shí)對(duì)個(gè)命題進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，時(shí)，直線的斜率不存在，①錯(cuò)誤；②，，直線的傾斜角為，不是，②錯(cuò)誤；③，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；所以不正確的是①②③.故選：D.14.“”是“直線（）與圓相交”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件14．A【分析】根據(jù)直線與圓相交的判定，充分條件，必要條件即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，直線為，過(guò)圓心，故直線與圓相交，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，顯然恒成立，不能推出，所以“”是直線與圓相交的充分不必要條件，故選：A.15.已知平面向量a，b，c滿足：a=b=c=1，aA．172 B．2 C．5215.【答案】A【分析】如圖，⊙O為單位圓，A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，根據(jù)相似三角形和向量的運(yùn)算，結(jié)合向量的幾何意義即可求出．【詳解】如圖，⊙O為單位圓，A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠BOA=πB′在OB的延長(zhǎng)線上，OB′=2，B′′為OB中點(diǎn)，A′為OA中點(diǎn)，A′′在OB的延長(zhǎng)線上，OA′′=2，設(shè)a=OA，b=OB，C為⊙O上一點(diǎn)，c=OC，則OA′OC′=OC2c?∴|2c16.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，定義為點(diǎn)、之間的極距，已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間的距離最小時(shí)，其極距為（）A.B.C.D.16．C【分析】先分析出極距的含義，就是直角三角形中較小的直角邊的大小.先用幾何法求出PQ的最小值，再求P，Q兩點(diǎn)之間的極距.【詳解】如圖示：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，作出直角三角形,則由極距的定義知，就是直角三角形中較小的直角邊的大??；因?yàn)辄c(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，要使PQ最小，則，最小，此時(shí).設(shè)直線l交x軸于A，交y軸于B,因?yàn)橹本€l的斜率為-2，所以，過(guò)P作軸，過(guò)Q作軸，則,所以在直角三角形中，P，Q兩點(diǎn)之間的極距即為RQ,設(shè)，則,所以，解得：，即，所以P，Q兩點(diǎn)之間的距離最小時(shí)的極距為，故選：C.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知m∈R，設(shè)直線l1：x?my+1=0，直線l2：mx?4y?m+4=0.（1）若l1（2）當(dāng)l1與l2相交時(shí)，求交點(diǎn)I的坐標(biāo)（用m表示），并證明點(diǎn)17．（1）m=?2；（2）Im?2m+2,2m+2，點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)直線平行的條件列方程可得m，然后驗(yàn)證是否重合可得；（2）聯(lián)立直線方程求解可得點(diǎn)I的坐標(biāo)，然后消參可知點(diǎn)I在定直線上.【詳解】（1）因?yàn)閘1∥l2，所以當(dāng)m=2時(shí)，直線l1：x?2y+1=0，直線l2：2x?4y+2=0即當(dāng)m=?2時(shí)，直線l1：x+2y+1=0，直線l2：?2x?4y+6=0即x+2y?3=0，符合題意，故（2）由（1）知，當(dāng)l1，l2相交時(shí)m≠±2，聯(lián)立x?my+1=0mx?4y?m+4=0，解得x=因?yàn)閤+2y=m?2m+2+2×2m+2=m+218．已知直線l:2x?3y+1=0，點(diǎn)A(?1，（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線m的方程；（3）以A為圓心，3為半徑長(zhǎng)作圓，直線n過(guò)點(diǎn)M(2，2)，且被圓A截得的弦長(zhǎng)為2718．（1）B(?3313，413)；（2）【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B(m,n)，由A,B關(guān)于直線l對(duì)稱，列出方程，解得m,n，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)P(x,y)是直線m上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在直線l，用代入法可求得直線m的方程；（3）用垂徑定理將弦長(zhǎng)為27，轉(zhuǎn)化為圓心A到直線n的距離為2，設(shè)出直線n的方程，用點(diǎn)到直線的距離公式求解，注意考慮直線n【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)B(m,n)，則n+2m+1?2即點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?33（2）設(shè)P(x，y)是直線m上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P(x，y)在直線l上，所以2(?2?x)?3(?4?y)+1=0，即2x?3y?9=0；（3）設(shè)圓心A到直線n的距離為d，直線n被圓A截得的弦長(zhǎng)為27，因此d=當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，x=2不滿足條件；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y?2=k(x?2)，則|3k?4|1+解得k=12±307，綜上，直線l的方程為y=19.人口普查期間，作為街道工作人員的葉阿姨和王叔叔需要上門登記每戶的家庭成員信息，葉阿姨和王叔叔分別需上門走訪離家不超過(guò)200米、k米的區(qū)域，如圖，、分別是經(jīng)過(guò)葉阿姨家(點(diǎn))的東西和南北走向的街道，且王叔叔家在葉阿姨家的東偏北45度方向，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知張姓家庭(即點(diǎn))和李姓家庭(即點(diǎn))是王叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域中最遠(yuǎn)的兩個(gè)家庭.（1）求出k，并寫出葉阿姨和王叔權(quán)負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程；（2）葉阿姨和王叔叔為交流登記信息，滿在華山路(直線)上碰頭見(jiàn)面，你認(rèn)為在何處最為便捷、省時(shí)間(兩人所走的路程之和最短)？并給出理由.19.【答案】（1），，；（2）【分析】（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)出圓心，利用圓上兩點(diǎn)距離到圓心相等，可算得圓心和半徑.（2）可先求圓心O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,找到直線PC與l的交點(diǎn)，即為所求.【詳解】（1）易知，王阿姨負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程為：李叔叔家在王阿姨家的東偏北方向，設(shè)李叔叔家所在的位置為，離和距離相等故故即故故李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程為（2）圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則有，解得，，聯(lián)立與，可得交點(diǎn)為，王阿姨和李叔叔為交流登記信息，可選擇在地點(diǎn)碰面，距離之和最近.20.如圖，已知滿足條件z?3i=3?i為圓C（圓心為C），設(shè)復(fù)平面xOy上的復(fù)數(shù)z=x+yix,y∈R對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為x，x+3y+6=0，過(guò)A?1,0的一條動(dòng)直線l與直線m相交于N點(diǎn)，與圓C相交于P、QM是弦PQ中點(diǎn)．（1）若直線l經(jīng)過(guò)圓心C，求證：l與m垂直；（2）當(dāng)PQ=23時(shí)，求直線（3）設(shè)t=AM?AN，試問(wèn)t是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出t20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）x+1=0或4x?3y+4=0；（3）是，t=?5【分析】（1）通過(guò)圓心C和A計(jì)算出l的斜率kl，m的斜率已知為km，計(jì)算kl?k對(duì)直線l的斜率是否存在分類討論，利用幾何方法PQ=2R2?d圓的半徑）求解斜率；（3）對(duì)直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，斜率不存在時(shí)通過(guò)數(shù)值直接計(jì)算即可；斜率存在時(shí)，l先與圓的方程聯(lián)立求從而求解出AM的坐標(biāo)表示，同理l與m聯(lián)立求解出AN的坐標(biāo)表示，由此計(jì)算t是否為定值.【詳解】（1）因?yàn)閦?3i=3?i，所以C:又因?yàn)锳?1,0，所以kl=3?00??1=3，而k（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l:x=?1，此時(shí)d=1，所以PQ=2當(dāng)l的斜率存在且為k時(shí)，l:y=kx+1，即kx?y+k=0，則d=所以由PQ=2R2?d2=2綜上：直線l的方程為x+1=0或4x?3y+4=0（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知M?1,3所以AM=0,3,AN=當(dāng)直線l的斜率存在且為k時(shí)，設(shè)l:y=kx+1，P聯(lián)立y=kx+1x2+y?3所以xM=x1+x2又由y=kx+1x+3y+6=0，可得N?3k?6故t=AM?AN=?15k?5【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，難度較難：（1）復(fù)數(shù)的常見(jiàn)軌跡問(wèn)題：z?z0=rr>0表示以z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓；z?z121.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)圓T外一點(diǎn)P引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若，則稱P為圓T的環(huán)繞點(diǎn).（1）當(dāng)圓O半徑為1時(shí)，①在、、中，圓O的環(huán)繞點(diǎn)是；②直線與軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若線段AB上存在圓O的環(huán)繞點(diǎn)，求b的取值范圍；（2）圓T的半徑為1，圓心為，以（）為圓心，為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，若在圖形H上存在圓T的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍.21.（1）①P1，P3；②或；（2）-2<t≤4.【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得TP=2TM，然后以T為圓心，TP為半徑作⊙T，觀察圖可得答案，②如圖，設(shè)小圓交y軸的正半軸與于E，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，b=1，當(dāng)直線與大圓相切于K(在第二象限)時(shí)，結(jié)合勾股定理可求出的值，從而可求出的取值范圍；如圖以E(m，m)(m>0)為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，圖形H即為∠MON的內(nèi)部，包括射線OM，ON上，然后分⊙T的圓心在y軸的正半軸上時(shí)和當(dāng)⊙T的圓心在y軸的負(fù)半軸上時(shí)結(jié)合切線長(zhǎng)定理兩種情況求解【詳解】（1）①P1，P3；如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，連接TM，TN，當(dāng)時(shí)，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM=∠TPN=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM，以T為圓心，TP為半徑作⊙T，觀察圖象可知：當(dāng)60°≤∠MPN<180°時(shí)，⊙T的環(huán)繞點(diǎn)在圖中的圓環(huán)內(nèi)部(包括大圓上的點(diǎn)不包括小圓上的點(diǎn)).如圖中，以O(shè)為圓心2為半徑作⊙O，觀察圖象可知，P1，P3是⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，故答案為P1，P3.②如圖，設(shè)小圓交y軸的正半軸與于E，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，b=1；當(dāng)直線與大圓相切于K(在第二象限)時(shí)，連接OK，由題意B(0，b)，A(-2b，0)，∴OB=b，OA=2b，，∵OK=2，?AB?OK=?OA?OB，∴，解得，觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的b的值為或；（2）如圖3中，不妨設(shè)E(m，m)，則點(diǎn)E在直線y=x上，∵m>0，∴點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，作EM⊥x軸，∵E(m，m)，∴OM=m，EM=，∴以E(m，m)(m>0)為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，觀察圖象可知，以E(m，m)(m>0)為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，圖形H即為∠MON的內(nèi)部，包括射線OM，ON上；當(dāng)⊙T的圓心在y軸的正半軸上時(shí)，假設(shè)以T為圓心，2為半徑的圓與射線ON相切于D，連接TD.∵，∴∠EOM=30°，∵ON，OM是⊙E的切線，∴∠EON=∠EOM=30°，∴∠TOD=30°，∴OT=2DT=4，∴T(0，4)，當(dāng)⊙T的圓心在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0，0)時(shí)，T(0，-2)，觀察圖象可知，當(dāng)-2<t≤4時(shí)，在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線長(zhǎng)定理，直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.屬于壓軸題.

2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考卷數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分參考（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：滬教版2020選修第一冊(cè)第一、二章直線和圓的方程章節(jié)。5．難度系數(shù)：0.61。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．2．3．3x-2y=0或x+y-5=04．5．6.或7．或8．439．③10．5+2/2+511．512．選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．D14．A15．A16．C三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知m∈R，設(shè)直線l1：x?my+1=0，直線l2：mx?4y?m+4=0.（1）若l1（2）當(dāng)l1與l2相交時(shí)，求交點(diǎn)I的坐標(biāo)（用m表示），并證明點(diǎn)17．（1）m=?2；（2）Im?2m+2,2m+2，點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)直線平行的條件列方程可得m，然后驗(yàn)證是否重合可得；（2）聯(lián)立直線方程求解可得點(diǎn)I的坐標(biāo)，然后消參可知點(diǎn)I在定直線上.【詳解】（1）因?yàn)閘1∥l2，所以1×(?4)=(?m)×m，解得當(dāng)m=2時(shí)，直線l1：x?2y+1=0，直線l2：2x?4y+2=0即顯然此時(shí)兩直線重合……2分，當(dāng)m=?2時(shí)，直線l1：x+2y+1=0直線l2：?2x?4y+6=0即x+2y?3=0，符合題意，故m=?2……2分由（1）知，當(dāng)l1，l2相交時(shí)m≠±2，聯(lián)立x?my+1=0mx?4y?m+4=0∴Im?2m+2,2m+2……2分，因?yàn)閤+2y=所以點(diǎn)I恒在定直線x+2y?1=0上……2分.18．已知直線l:2x?3y+1=0，點(diǎn)A(?1，（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線m的方程；（3）以A為圓心，3為半徑長(zhǎng)作圓，直線n過(guò)點(diǎn)M(2，2)，且被圓A截得的弦長(zhǎng)為2718．（1）B(?3313，413)；（2）【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B(m,n)，由A,B關(guān)于直線l對(duì)稱，列出方程，解得m,n，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)P(x,y)是直線m上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在直線l，用代入法可求得直線m的方程；（3）用垂徑定理將弦長(zhǎng)為27，轉(zhuǎn)化為圓心A到直線n的距離為2，設(shè)出直線n的方程，用點(diǎn)到直線的距離公式求解，注意考慮直線n【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)B(m，n)，則n+2m+1即點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?33（2）設(shè)P(x，y)是直線m上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P(x，y)在直線l上……2分，所以2(?2?x)?3(?4?y)+1=0，即2x?3y?9=0……（3）設(shè)圓心A到直線n的距離為d，直線n被圓A截得的弦長(zhǎng)為27，因此d=當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，x=2不滿足條件……2分；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y?2=k(x?2)，則|3k?4|1+k2=2綜上，直線l的方程為y=12+30719.人口普查期間，作為街道工作人員的葉阿姨和王叔叔需要上門登記每戶的家庭成員信息，葉阿姨和王叔叔分別需上門走訪離家不超過(guò)200米、k米的區(qū)域，如圖，、分別是經(jīng)過(guò)葉阿姨家(點(diǎn))的東西和南北走向的街道，且王叔叔家在葉阿姨家的東偏北45度方向，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知張姓家庭(即點(diǎn))和李姓家庭(即點(diǎn))是王叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域中最遠(yuǎn)的兩個(gè)家庭.（1）求出k，并寫出葉阿姨和王叔權(quán)負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程；（2）葉阿姨和王叔叔為交流登記信息，滿在華山路(直線)上碰頭見(jiàn)面，你認(rèn)為在何處最為便捷、省時(shí)間(兩人所走的路程之和最短)？并給出理由.19.【答案】（1），，；（2）【分析】（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)出圓心，利用圓上兩點(diǎn)距離到圓心相等，可算得圓心和半徑.（2）可先求圓心O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,找到直線PC與l的交點(diǎn)，即為所求.【詳解】（1）易知，王阿姨負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程為：，李叔叔家在王阿姨家的東偏北方向……2分，設(shè)李叔叔家所在的位置為，離和距離相等，故……2分，故即故，……2分，故李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程為……2分；（2）圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則有……2分，解得，……2分，聯(lián)立與，可得交點(diǎn)為，王阿姨和李叔叔為交流登記信息，可選擇在地點(diǎn)碰面，距離之和最近……2分.20.如圖，已知滿足條件z?3i=3?i為圓C（圓心為C），設(shè)復(fù)平面xOy上的復(fù)數(shù)z=x+yix,y∈R對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為x，x+3y+6=0，過(guò)A?1,0的一條動(dòng)直線l與直線m相交于N點(diǎn)，與圓C相交于P、QM是弦PQ中點(diǎn)．（1）若直線l經(jīng)過(guò)圓心C，求證：l與m垂直；（2）當(dāng)PQ=23時(shí)，求直線（3）設(shè)t=AM?AN，試問(wèn)t是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出t20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）x+1=0或4x?3y+4=0；（3）是，t=?5【分析】（1）通過(guò)圓心C和A計(jì)算出l的斜率kl，m的斜率已知為km，計(jì)算kl?k對(duì)直線l的斜率是否存在分類討論，利用幾何方法PQ=2R2?d圓的半徑）求解斜率；（3）對(duì)直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，斜率不存在時(shí)通過(guò)數(shù)值直接計(jì)算即可；斜率存在時(shí)，l先與圓的方程聯(lián)立求從而求解出AM的坐標(biāo)表示，同理l與m聯(lián)立求解出AN的坐標(biāo)表示，由此計(jì)算t是否為定值.【詳解】（1）因?yàn)閦?3i=3?i，所以C:x2又因?yàn)锳?1,0，所以kl=3?00??1=3，而km=?1（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l:x=?1，此時(shí)d=1，所以PQ=2滿足題意……2分；當(dāng)l的斜率存在且為k時(shí)，l:y=kx+1，即kx?y+k=0，則d=k?31+所以由PQ=2R2?d2=23，得綜上：直線l的方程為x+1=0或4x?3y+4=0……2分當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知M?1所以AM=0，3，當(dāng)直線l的斜率存在且為k時(shí)，設(shè)l:y=kx+1，P聯(lián)立y=kx+1x2+y?32=4所以xM=x1+所以AM=1+3k1+k2，3k故t=AM?AN=?15k?5【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，難度較難：（1）復(fù)數(shù)的常見(jiàn)軌跡問(wèn)題：z?z以z0對(duì)應(yīng)